双曲线及其标准方程优秀教案
优秀教案双曲线及其标准方程
良机网首页高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多电视台，一根拉链，小夹子教学过程：一、复习提问师：椭圆定义是什么？生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。
（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入1、设问师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。
师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。
师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F1F2的中垂线。
老师做出的中垂线。
师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的右侧。
师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。
师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。
2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。
三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。
5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。
五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。
六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。
七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。
八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。
九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。
2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。
十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。
双曲线及其标准方程优秀教案
双曲线及其标准方程一.教学目标:（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义三.教学难点:双曲线方程的推导四.教学过程:(一)复习回顾(二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3.简单演示(使用几何画板).4. （*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）.②当时，表示两条射线.③当时，不表示任何图形.(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．(3)代数方程, ,(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．(四).例题分析:练习:写出下列双曲线的焦点坐标:(1)(2)(3)(4)例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：,所以所求双曲线的标准方程为:(五)小结(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？(七)板书设计:。
3.2.1双曲线及其标准方程(教案)
3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念，能从椭圆，双曲线定义的形成中感受它们的内在联系与区别，能初步应用双曲线的定义解决一些简单的问题.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双曲线的定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程，能识别焦点在不同坐标上的双曲线的标准方程，能说出标准方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些关联问题.3.通过类比学习双曲线定义和标准方程的过程，提升学生直观想象和运算求解的能力. 二．教学重难点双曲线的几何特征，双曲线的定义及标准方程三．教学过程1.复习回顾椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？怎么推导而来？设计意图：对旧知识的复习巩固为引入新知做好铺垫.2.探究定义提出新知:在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？可利用什么工具来展示？实验活动要求：取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1，F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出什么样的曲线？大家开始分组合作，尝试实验.设计意图：实际操作，学生并不能准确的画出图象，但可强化学生对双曲线几何特征的认识|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a上面两条合起来叫做双曲线||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）设计意图：多媒体展示，引导学生抽象出双曲线的定义定义探究1：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹叫做双曲线. ||MF 1|-|MF 2||=2a , F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.问：类比椭圆的定义此定义是否可以为双曲线定义.常数即2a 的分析（1）2a ＜2c （图一） 双曲线图一 图二 图三(2)2a ＝2c （图二）两条射线（3）2a ＞2c 不表示任何图形（4）2a ＝0（图三）F 1F 2的中垂线定义探究2：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为非零常数（小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <2c ), F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.设计意图：通过强化双曲线概念的建立过程，提高学生思维的严谨性与语言的表达能力，同时让学生获得焦点，焦距的概念.3.推导方程过焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系. 解：根据题目可设),(y x M ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，由a MF MF 2||||21±=-，得a y c x y c x 2)()(2222±=+--++a y c x y c x 2)()(2222±+-=++⇒22222224)(4)()(a y c x a y c x y c x ++-±+-=++⇒222)(y c x a a cx +-±=-⇒])[()(22222y c x a a cx +-=-⇒)()(22222222a c a y a x a c -=--⇒，F1F2F'F'MM'令222b a c =-（0>b ），得222222b a y a x b =-，即12222=-b y a x ． 设计意图：类比椭圆标准方程的推导过程，明确曲线的方程的大致步骤，以此为载体，深化学生对曲线与方程的关系的理解.思考：如果焦点在y 轴上，它的标准方程又是怎样？——把上面方程的x 2和y 2互换即可，即方程为 双曲线的标准方程当焦点在x 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-by a x 当焦点在y 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-bx a y 参数a,b,c 的关系222b a c +=（0,,>c b a ） a MF MF 2||||21±=-（实轴长） c F F 2||21=（焦距） 设计意图：形成和完善双曲线标准方程的概念4.巩固新知例1 一动点到两定点F 1(-3, 3 )、F 2(3 ,3)的距离差为4，则动点轨迹为（ ）A 、双曲线B 、双曲线一支C 、不存在D 、一条射线例2写出以下双曲线的焦点坐标（1）221169x y -=（2）221169y x -=例3已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0), F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例4如果方程22112x y m m-=--表示的是双曲线，求m 的取值范围 设计意图：进一步巩固双曲线的概念与双曲线的标准方程.5.课堂小结22221(0,0)y x a b a b-=>>设计意图：及时梳理，提炼与升华所学知识.6生活中双曲线（1）建筑（2）天文在1970年以前就已经确定了610颗彗星，其中245颗的轨道是椭圆，295颗的轨道是抛物线，还有70颗是沿着双曲线轨道运行.只有沿着椭圆轨道运行的彗星能够在以后回归，其它的均要不停地向宇宙深处飞去（3）定位导航(Time Difference of Arrival)利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法设计意图：双曲线的实际应用，感受数学课堂与实际的联系.7．布置作业（1）教材P121 1，2，3（2）思考：已知有相距8公里的A、B两座城镇；某日B城镇听到了山体滑坡带来的轰鸣声，二十秒后A城镇听到了这次声音，设声速为340米/秒，你作为救援队队长如何及时找到灾情发生地前去救援呢？。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
双曲线及其标准方程精品教案
双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教课目的掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能依据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教课教程【复习发问】由一位学生口答，教师板书．问题 1：椭圆的第必定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是如何的？【新知探究】1．双曲线的观点假如把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是如何的呢？（1）演示如图，定点F1、 F2是两个按钉，MN 是一个细套管，点 M 挪动时， MF1MF2是常数，这样就画出双曲线的一支，由MF2MF1是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（ 2）设问①定点 F1、 F2与动点M不在同一平面内，可否获得双曲线？请学生回答，不可以．指出一定“在平面内”．② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，不然只表示双曲线的一支，即MF1MF2是一个常数．③这个常能否会大于或等F1F2？请学生回答，应小于F1F2 且大于零．当常数F1 F2 时，轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线；当常数F1F2 时，无轨迹．（3）定义在此基础上，指引学生归纳出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导．（ 1）建系设点取过焦点 F1、 F2的直线为 x 轴，线段 F1F 的垂直平分线为 y 轴成立在直角坐标系（如图）．设 M x， y 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c c 0F c，、 F c，0 ，又设点M与F1、 F2 ，则 1 0 2的距离的差的绝对值等于常数2a 2a 2c ．（ 2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的会合是P M MF1MF22a （ 3）代数方程x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为x c 2 y2 x c 2 y2 2a移项两边平方后整理得：cx a2 a x c 22y两边再平方后整理得：c2 a2 x2 a 2 y2 a 2 c 2 a2由双曲线定义知 2c 2a 即c a ，∴ c2 a2 0，设c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：x2 y2 1 a 0， b 0a2 b2这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F c，、 F c，0 ，这里 2 2 2．1 02 c a b假如双曲线的焦点在y 轴上，即焦点F1 0， c ， F2 0， c ，能够获得方程y 2 x21 a 0， b 0a2 b2这个方程也是双曲线的标准方程．教师应该指出：（ 1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（ 2）双曲线方程中 a 0 ， b 0 ，但a不必定大于 b ；（ 3）假如x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点的地点；（ 4 ）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2 a 2 b2，不同于椭圆方程中c2 a2 b2．【例题剖析】例 1 说明：椭圆x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点同样．25 9由一位学生板演达成，答案都是4，0 ．例 2 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程．假如把上边的 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说解：按定义，所求点的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线．这里 a 3 ， c 5 ，∴ b2 c2 a 2 25 9 16 故所求双曲线的方程为x2 y2 9 116若 2a 12，则2c 10 且2a 2c ，因此动点无轨迹．（三）随堂练习1．求合适以下条件的双曲线的标准方程．（ 1）a 4，b 3 ；（ 2）焦点（ 0，－ 6），（ 0， 6），经过点（ 2，－ 5）．2．已知方程mx2 ny 2 m n m 0 m n ，求它的焦点坐标．x2 y 21表示双曲线，求 m 的取值范围．3．已知方程m m2 1答案： 1．（ 1）x2 y 2 1或 y 2 x2 1 ；（2）y2x2 1；2．0，m2 n2 ；16 9 16 9 20 16 mn 3．m 2 或 m 1（四）总结提炼1．双曲线定义m MF1 MF2 2a 2a F1F2（ F1， F2为定点， a 为常数）图形标准方程x2 y21 a 0， b 0y 2 x 21 a 0， b 0 a2 b2 a2 b2焦点坐标F1 c，0 ， F2 c，0 F1 0， c ， F2 0， ca ，b， c 关系c2 a2 b2 c a 0， cb 02．双曲线的标准方程可一致写成Ax 2 By2 1 AB 0．若A 0 ， B 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线，若 A 0 ， B 0 则表示焦点在y 轴上的双曲线．（五）部署作业1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：“MF1 MF2 2a （a为常数）”，命题乙：“ M 点轨迹是F1、F2为焦点的双曲线” ，则甲是乙的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．已知A 0，5 ，B 0，5 ， PA PB 2a ，当 a 3和5时， P 点的轨迹为（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线 D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线4x2 y2 64 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一焦点的距离等于 ___________ ；若P到它的一个焦点的距离等于17，则点P到另一焦点的距离等_____________ ．4．假如椭圆x2 y 2 1与双曲线x2 y2 1的焦点同样，那么 a __________．4 a 2 a 2x2y25．已知方程 14 a5 a（1）a为什么值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为F1 0， 13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1． B；2． D；3．17， 1 或 33；4． 1；5． 5 a 4 ，当 5 a 4 时，方程x2 y 21 表示双曲线．方程可表示4 a 5 a为 y2a x 2 1 c2 5 a 4 a 1，焦点坐标为（0，± 1）．5 4 ay2 x 2 6．1．144 25 （六）板书设计（一）复习发问问题 1问题 2 （二）双曲线的观点1演示2设问3定义双曲线及其标准方程（一）（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例 1例 2练习（五）小结。
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双曲线及其标准方程
一.教学目标:
（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等
思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学
生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义
三.教学难点:双曲线方程的推导
四.教学过程:
(一)复习回顾
(二)双曲线的定义:
1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?
2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
3.简单演示(使用几何画板).
4. （*）
注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：
时为双曲线的一支（含的一支）；
时为双曲线的另一支（含的一支）.
②当时，表示两条射线.
③当时，不表示任何图形.
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导
学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.
(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．
(3)代数方程, ,
(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)
由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.
(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)
强调指出：
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．
(四).例题分析:
练习:写出下列双曲线的焦点坐标:
(1)(2)(3)(4)
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：
,所以所求双曲线的标准方程为:
(五)小结
(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4
思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？
(七)板书设计:。