高等教育：《 证题法、初等几何变换、度量与计算1 》
陕西师范大学第二学士学位数学专业课程计划(1)
数学与应用数学辅修专业培养方案一、培养目标为了充分发挥学校各学科的教育资源优势，让学有余力的学生，在完成主修专业的同时，自愿进行跨院系、跨学科学习。
旨在培养数学功底扎实，具有在工科专业或数学学科和其它学科进一步深造和发展潜力的复合型人才；接受系统的数学训练、数学功底扎实，具有双学位的复合型人才；接受系统的数学训练、数学功底扎实的高素质教师。
二、专业主干课程数学分析、高等代数、几何学、概率论与数理统计、常微分方程三、学制学制2年四、学分要求本专业辅修学生最低需修满54个学分五、授予学位理学学士（不进行学历电子注册）六、各类课程结构及学分、学时比例七、数学与应用数学辅修专业教学计划表八、专业主干课程简介（一）课程名称：数学分析课程英文名称：Mathematical Analysis课程简介：《数学分析》是数学专业学生必修的最重要的基础课程之一，对学生良好的数学素质的形成及后续课程的学习起着至关重要的作用。
学习内容包括实数集与完备性，一元函数的极限、连续性，导数与微分，不定积分，反常积分等。
教材：《数学分析》，华东师范大学数学系主编（著），高等教育出版社，2007年5月参考书目：1．《数学分析》，陈纪修主编（著），高等教育出版社，2001年7月2．《数学分析讲义》，刘玉琏、傅沛仁主编（著），高等教育出版社，2005年9月主讲教师简介：1、曹小红，女，博士，教授，主要从事算子理论与算子代数的研究。
先后为本科生主讲过《数学分析》、《高等数学》、《文科高数》等课程。
在“Proc. Amer. Math. Soc.”、“J. Math. Anal. Appl.”、“L. Alg. Appl.”、“Studia Math.”等国内外刊物上发表学术论文30余篇，入选“2006年教育部新世纪优秀人才支持计划”资助项目。
2、任亲谋，男，副教授。
任教期间曾三次获校级教学质量优秀奖。
曾讲授过《数学分析》、《复变函数》、《线性代数》、《高等代数》、《高等数学》、《亚纯函数值分布论》、《亚纯函数奇导方向》等，后两门为函数论硕士生开设，其余均为本科生课程。
《初等数学研究》课程标准
《初等数学研究》课程标准初等数学研究是高等师范类数学教育专业的一门专业基础课，它是在学员掌握了一定的数学理论知识的基础上开设的。
本课程的教学目的是使学员掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初中数学打下较坚实的基础。
本课程分为初等代数（包括初等函数、排列与组合）和初等几何（包括制图基本知识）两部分，其基本要求是：一、从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。
二、对各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技能技巧的训练。
三、要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
教学内容和教学要求第一部分初等代数绪言1.关于代数的几个历史观点2.作为教学科目的中学代数一、数系（一）教学要求1.了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。
2.掌握自然数的序数理论及整数环的构造。
3.确切理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数集的性质。
4.明确绝对误差、相对误差、有效数字与可靠数字等概念，掌握近似值四则运算的经验法则。
5.确切理解无理数、实数概念、掌握实数大小比较的法则、实数的运算和实数集的性质。
6.确切理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。
（二）主要内容1.数的概念的扩展2.自然数集序数理论*。
3.整数环4.有理数域有理数的概念、有理数的大小比较、有理数的运算、有理数集的性质。
5.近似计算初步近似值的截取方法、绝对误差和相对误差、有效数字和可靠数字、近似值四则运算的经验法则、预定精确度的计算方法。
6.实数域无理数的引入、实数的概念及其大小比较、退缩有理闭区间序列、实数的运算、实数集的性质。
几何学的发展概述.pptx
• 例如，用公理IV给出下述命题的证明：
中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是
OM 的长度。
[插入图5.27]
曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的
含x和y有限次代数方程来表示的曲线
费马的工作
费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。
例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成 圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变 为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换
转化为相应的圆的命题：设△ABC为圆内接三
角形，以其顶点作切线构成了切线三角形
A1B1C1。如果A1B1∥AB. B1C1∥BC。那么 A1C1∥AC。一旦我们证明了这个有关圆的命题，
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1） 图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 勾方 + 弦方 = 勾方 + 股方。
• 阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明
，在AB上存在一个点R，使得：所有位
于它之前的点属于第一类，并且所有位
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一、《高等代数》的课程性质高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础课，是中学代数的继续和提高，但是又与中学代数有很大不同，表现在内容的深度和广度上，更主要表现在观点和方法上。
具体表现在内容的高度抽象性、推理的严密性和解题技巧的独特性。
本课程最活跃研究内容：数域上一元多项式理论、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换矩阵、欧氏空间和双线性函数。
方法的特点：在阐述上更强调一般性原则，广泛使用公理化方法，用结构化方法揭示代数系统的内部构造，用矩阵表示作为主线，受整体、统一思想的支配，逐步抽象出高等代数的各个基本概念，揭示代数研究问题的基本方法。
二、《高等代数》课程的教学目的和要求高等代数的教学目的要求是：通过本课程的学习，不仅要求学生掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能，而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。
培养学生整体思考问题的能力，使之理解代数思想、公理化方法，把握概念的内涵和外延，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工作打下坚实的基础。
三、《高等代数》课程的知识点与考核要求第一章：多项式1、考核知识点：（1）、一元多项式的定义、运算、性质，次数的定义和次数公式；（2）、多项式整除的定义，整除的性质，带余除法；（3）、最大公因子的定义、性质和求法；（4）、多项式互素的概念和性质；（5）、多项式的可约性，因式分解及唯一性定理，标准分解式；（6）、重因式的概念与判别法，求多项式重因式的方法；（7）、多项式函数、多项式根的概念，根的个数定理，多项式相等与根的关系，判别某数是多项式根的综合除法；（8）、复数域和实数域上不可约多项式的特征，因式分解定理；（9）、有理系数多项式是否可约的判别法，根与系数的关系，有理根的求法。
北京理工大学招收单独考试硕士生考试说明及考试大纲
北京理工大学招收单独测验硕士生测验说明及测验大纲数学测验科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计第一局部：测验内容及要求高等数学一、函数、极限、持续测验内容函数的概念及暗示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数根本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的成立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比拟极限的四那么运算极限存在的两个准那么：单调有界准那么和夹逼准那么两个重要极限:函数持续的概念函数间断点的类型初等函数的持续性闭区间上持续函数的性质测验要求1．理解函数的概念，掌握函数的暗示法，并会成立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握根本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四那么运算法那么。
7．掌握极限存在的两个准那么，并会操纵它们求极限，掌握操纵两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比拟方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数持续性的概念〔含左持续与右持续〕，会判别函数间断点的类型。
10．了解持续函数的性质和初等函数的持续性，理解闭区间上持续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕及其简单应用。
二、一元函数微分学测验内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与持续性之间的关系平面曲线的切线和法线根本初等函数的导数导数和微分的四那么运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性。
微分中值定理洛必达〔L’Hospital〕法那么函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率半径。
高师《初等几何研究》教学改革的探索与实践
第22卷第6期2006年12月赤峰学院学报Journal o f Ch ifeng C olleg eV ol.22N o.6D ec.2006高师《初等几何研究》教学改革的探索与实践李 涵(菏泽学院 数学系,山东 菏泽 274015) 摘 要:《初等几何研究》是高师数学教育专业的一门重要课程,然而,学生的学习兴趣并不浓.本文首先就这一问题对学生作了问卷调查,并做了统计分析,然后结合教学实践探索出一些可以提高学生学习兴趣的教学措施.关键词:初等几何研究;教学改革;学习兴趣中图分类号:G633.6-42文献标识码:A文章编号:1673-260X(2006)06-0008-021 问题的提出《初等几何研究》是高师院校数学教育专业的一门基础课程,是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究能力,提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程.但是,这门课程并不能如课程设计者所愿,教师在教学中难以提起学生的学习热情与兴趣.尽管这一问题已引起众多教师的关注,也在探索其解决的办法,但富有成效的教学方法尚不多,为此,笔者结合从事初等几何研究教学与研究工作的实践,对这一问题做了一些探索.2 问题的分析要想解决学生对《初等几何研究》课不感兴趣的问题,首先必须摸清学生不感兴趣的主要原因以及他们的希望是什么,这样,才好对症下药.我们对2003级共162名学生发放了问卷调查,调查主要涉及两个方面的内容:(1)你对《初等几何研究》课为什么不感兴趣?(2)你希望教师如何处理教材与上课?我们回收了146份有效答卷并进行了统计处理,得出如下分析结果.2.1 不感兴趣的主要原因2.1.1 教学内容方面.93.5%的学生认为教材内容陈旧、缺乏新意,虽然课程名称叫“初等几何研究”,实际上并没有多少“研究”的成分,更缺乏现代教育理念的渗透;该课程相对于其他专业课程较简单,自己阅读教材不费多大劲就可以看懂,听不听课无所谓,这样就逐渐形成一种惰性心理,失掉了学习兴趣.2.1.2 教师的教学方法方面.72.5%的学生认为教师讲课启发性不够,教学过程呆板,教学方法单一,缺乏合作与交流,调动不起学生学习的主动性和积极性;让学生自己探究和思考的问题的问题太少,照本宣科,进一步削弱了学习的热情和兴趣.2.1.3 思想方面.54.5%的学生从思想上重视程度不够,自以为初等数学就那么点东西,不学也会,觉得将来用到时再学也不迟,这样促进学习的原动力就非常弱了;也许因为它是“初等”的,高等学府的学子乃至教师才不太重视它.2.2 学生的教学建议2.2.1 脱离教材的束缚,不要照本宣科,灵活处理教材.应按照现行中学数学新课程的要求,增加一些新课程中的内容,删除一些繁、难、偏、旧的内容,如用综合法证明的较繁而且技巧性又比较大的题就应该删除.2.2.2 教师讲法要活,不要用“满堂灌”式的注入法.应让学生参与到课堂教学中来,多动手、动脑,给学生提供充分从事数学活动的机会,如一个题目可以先让学生自己分析,也可以互相讨论,还可以登台讲述,然后教师指导、补充;对较简单的内容,可让学生自学.2.2.3 注重实用性.不要讲太深奥的知识及中学不涉及的问题和方法,而多讲中学数学未探索透而对中学数学教学有用的东西,适当开拓一些中学数学的边缘问题.3 教学改革的探索与实践由上述分析结果可以看到,学生对《初等几何研究》不感兴趣的原因主要是在教学内容和教学方法这两个方面,教学内容陈旧,教学方法呆板.心理学研究表明,学习兴趣有直接兴趣和间接兴趣之分.直接兴趣就是由知识本身和学习活动本身所直接引起的兴趣,我们认为,教学改革应从教学内容和教学方法上开刀,治根治本.循着这一思想,我们进行了教学改革的初步探索,经过近一年的实践,证明我们的做法是切实可行的.在此,择主要措施介绍如下.3.1 更新调整教学内容,反映教改新成果,提高直接兴趣《初等几何研究》课程不象其他数学专业课程的内容那么相对稳定,它容易纳入初等几何的最新研究成果,因此,教学中必须放弃“本本主义”,灵活处理教学内容,以教材为纲,吐故纳新,使学生对《初等几何研究》有耳目一新之感.只有新鲜的东西才能引起兴趣.而新课程标基金项目菏泽学院课程改革立项项目资助(编号56) ::20001 8准也强调“空间与图形”内容的选取应是“现实的、有意义的、富有挑战性的”,这就要求教师要不断充实自己,经常翻阅最新的中学数学杂志,吸取营养成分,充实数学课堂.如教材是按几何题的证明、几何量的计算、初等几何变换、轨迹和作图这五部分进行专题讨论,这样做是比较科学有效的.由于新课程标准删去了大量繁难的几何证明题,淡化几何证明的技巧,降低了论证过程形式化的要求和证明的难度,我们对教学内容作了大幅度调整,分自读、略讲、详讲和补充.对中学几何中已经比较清楚的问题就让学生自读,对一些繁难、技巧性又大的题目就略讲或不讲,而对中学几何教材中没有讲清讲透的问题就应该详讲,比如梅涅劳斯定理、塞瓦定理、度量理论、初等几何变换以及轨迹和尺规作图的基本知识等;或带有全局性,应用又比较普遍的基本方法如反证法、代数法、解析法、面积法、初等几何变换法以及常用的作图方法和轨迹探求方法等,都应做重点处理.考虑到向量作为处理数学问题的一种工具在中学数学课堂中占有越来越重要的地位,我们作为一个专题增补了“向量法在解决几何问题中的作用”.其实,向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,运用向量可以帮助学生更好地建立代数与几何的关系,使数学的语言、风格、思维方式接近于近代和现代数学.同时,向量也为几何题的证明提供一种新方法,向量法证明较少依赖于图形直观,显得更为严谨;向量法证明一般通过向量间的运算来完成,便于入手,技巧性要求低一些,因此,用向量法处理几何问题更容易、更简捷.实践表明,这样处理教材,选择教学内容,能使学生感到初等几何中有大量对他们来说是新鲜的并且对将来教学非常有用的知识,他们对这门课的兴趣日渐浓厚.3.2 转变教学方式,提高学生学习的主动性和积极性新课程标准指出“数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”,“学生是学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”.基于此,教师应根据教学内容的特点,灵活运用多样化的教学方法,使学生的学习处于一种主动、积极的状态,突出学生的参与和实践,提高学生学习《初等几何研究》的兴趣.例如,根据课程内容的特点,笔者就经常让学生当老师,当然是在他们准备比较充分的基础上.一节课当中穿插着让学生讲一个或两个题.一方面可以提高他们学习这门课的兴趣,减少学习的疲劳感;另一方面也可以锻炼他们的教学能力.学生的参与性非常强,都有想锻炼展示自己的愿望.实践表明,这确实是提高学生学习这门课兴趣的一种行之有效的好方法.为了提高学生学习、研究初等几何的热情和兴趣,在课堂中我们还经常介绍一些近几年国内外的几何竞赛题或者一些中数杂志上的题,比如《数学通报》(北京师范大学)中的“教学园地”、“教学研究”、“数学问题解答”以及《中学数学教学参考》(陕西师范大学)中的“思想、方法、技巧”、“竞赛园地”、“初数新探”等期刊中涉及“初等几何研究”的题目,这些一般都是比较新颖有趣并且具有挑战性的题目,学生探究的热情非常大,在探究的过程中也培养了学生的创新能力.针对《初等几何研究》课的特点,也为了突出该课程“研究”性质,我们还成立了一个“课外研究小组”,由学生自愿报名组成,并选出小组长.在老师的指导下,并根据学生的兴趣,这个小组搞了好几个专题研究,比如“托勒密定理”是初等几何中的一道名题,但书上只给出一种证法—综合法,笔者让他们研究一下是否还有其他证法,这个问题调动起了学生的好奇心,他们怀着极大的兴趣去探索.后来,这个小组不但用“解析法”和“复数法”证明了该定理,而且还证明了其逆定理也成立,并发现了它在一些竞赛题中的应用.实践表明,只有根据《初等几何研究》课的特点,灵活采用多样化的教学方式,才能调动起学生学习的主动性和积极性,也才能激起学生学习的兴趣.3.3 适时利用现代化教学手段,激发学生学习、探究的兴趣运用现代信息技术辅助数学教学、实现数学课程与信息技术的整合是新课程标准的基本理念.为了增强学生的创新精神,发挥学生的主体性,激发学生学习几何的兴趣,教师应充分发挥多媒体计算机的优势,适时利用计算机辅助几何教学活动.“几何画板”是一种简单易学而功能强大的数学教学软件.师生在课堂上可以像使用圆规、三角板一样很便捷地使用它.借助它,不但使复杂图形直观形象,易于寻找解决问题的突破口,而且可以更好的创设问题情景,使学生从中体验发现问题、探究问题、获得结果的成功的喜悦.例如,在“轨迹”这一章,我们用几何画板轻松地把轨迹的动态形成过程展示给学生,这不仅为学生进行积极思维创造了良好的条件,同时也极大地提高了学生学习的兴趣.新课程标准指出:学生通过义务教育阶段的学习,“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”.这就要求把传统几何中偏重于演绎推理的证明,调整为合情推理与演绎推理相结合的过程,也就是说,学生获得数学结论应当经历合情推理—演绎推理的过程.其实,这个过程和数学家的探索过程本质上是一致的.今天,几何这个直观、形象的数学模型插上先进的信息技术的翅膀,能使学生更好的完成这个过程,它在激发学生的学习兴趣、培养学生的创造能力方面是传统的教学手段无法替代的.4 结语以上就如何提高学生学习《初等几何研究》的兴趣做了一点侧面探索,实践表明,我们的做法是行之有效的.改革尚需深入,我们愿与广大同仁一起,共同建设好《初等几何研究》这门课程,以适应基础教育改革的需要.(责任编辑 白秀云)9。
高等代数与解析几何(Higher Algebra and Analytic Geometry)
高等代数与解析几何（Higher Algebra and Analytic Geometry）课程教学大纲一、课程编号：040504，040505二、课程类别：必修课课程学时：160学时适用专业：信息与计算科学先修课程：初等代数、初等几何三、课程的性质与任务《高等代数与解析几何》是数学、通信、计算机、信息等专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法。
四、教学主要内容及学时分配（一）向量代数（20学时）（二）行列式（14学时）（三）线性方程组与线性子空间（24学时）（四）矩阵（20学时）（五）线性空间与欧几里德空间（20学时）（六）几何空间的常见曲面（12学时）（七）线性变换（16学时）（八）线性空间上的函数（10学时）（九）坐标变换与二次曲线方程的化简（4学时）（十）一元多项式理论（16学时）（十一）多项式矩阵与若当典范形（4学时）五、教学基本要求（一）理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
（二）理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克兰姆法则。
理解矩阵及初等变换的概念。
（三）理解n维向量的概念、线性相关与线性无关的定义，了解几个相关结论。
理解线性方程组解的结构，熟练掌握求解方法；会用线性方程组理论判别n维向量组的线性相关性；掌握求直线、平面方程的方法；理解线性子空间、基、维数、坐标的概念，了解简单性质。
（四）理解向量组及矩阵的秩，掌握求逆矩阵、秩的方法；熟悉线性方程组有解判别条件；理解线性映射与矩阵的对应关系。
（五）理解线性空间、欧氏空间、同构、和、直和的概念，了解其性质；掌握施密特正交化方法；了解最小二乘法；会求直线或平面的夹角、点到平面的距离；了解正交矩阵的性质。
（六）了解常见二次曲面的方程及形状，会求简单的旋转曲面、柱面、锥面的方程。
数学与应用数学课程
数学与应用数学专业03013001数学分析Mathematical Analysis【300—16—1、2、3、4】内容提要：实数、极限理论、一元微积分理论、级数、多元函数的微积分、曲线与曲面积分。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《数学分析讲义》（第四版）(上、下册)刘玉琏等编高等教育出版社参考书目：《数学分析》(第二版)上、下册华东师范大学数学系编高等教育出版社《微积分教程》上、下册韩云瑞扈志明主编清华大学出版社03013002 高等代数 Higher Algebra 【198—11—2、3】内容提要：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间、正交变换、二次型。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《高等代数》(第四版)张禾瑞郝炳新编高等教育出版社参考书目：《高等代数》(上、下册)钮佩琨等编哈尔滨出版社03013003 解析几何 Analytical Geometry 【70—4—1】内容提要：向量代数、直线与平面、常见二次曲面、二次曲面的一般理论。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《解析几何》吕林根许子道等主编高等教育出版社参考书目：《空间解析几何》陈希英主编哈尔滨工业大学出版社《空间解析几何引论》(第二版)南开大学吴大任等编高等教育出版社03013004 常微分方程 Ordinary Differential Equation 【72—4—4】先修课程：数学分析、高等代数内容提要：一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性定理、高阶线性方程与一阶线性方程组的基本理论、高阶常系数线性方程和一阶常系数线性方程组的解法。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《常微分方程》王高雄编高等教育出版社参考书目：《常微分方程》中山大学数学力学系常微分方程组编人民教育出版社《常微分方程》东北师范大学数学系微分方程教研室编高等教育出版社03013005 复变函数 Complex Variable Function 【72—4—5】先修课程：数学分析内容提要：复数、复变函数、解析函数、复变函数积分、调和函数、柯西积分理论、幂级数展开、孤立奇点的分类与特征、函数与亚纯函数、残数理论、保形变换。
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2.命题的换质：把命题的两部分同时加以否 定，地位则保持不变. 换位以后的命题称为原命题的逆命题. 换质以后的命题称为原命题的否命题.
经过换位、换质这两个措施，由一个 命题可得出四个命题，它们的名称是： 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
例：写出命题“凡直角皆相等”的四种变化 形式.
3.四种命题的真假关系
四边形对角线互垂，但不一定是菱形.
(2)充分条件 充分：有它必行,无它未必不行. 只要有这个前提,就保证有这个结论. 前提是结论的充分条件. (3)充要条件 充要：有它必行,无它必不行. (4)充分而不必要、必要而不充分
一个定理只要它的逆命题不成立，它的 前提一定是充分而不必要，结论是必要而不 充分.
• 这一段话不但指明了开设本课程的目的 和任务，同时对教师也提出了严格的要求. 讲授初等几何课的教师，不但要熟习中学 教材，而且还应系统地掌握几何（高等几 何，尤其是几何基础）的专业知识，才能 得心应手地进行讲授.如果未学过几何基础, 书中引言部分所提到的“欧几里得第五公 设”，“绝对几何命题”，注释中的“罗 氏几何”等等，就会一无所知，不知应该 如何进行讲解才好.
初学的人往往在证明命题时，不 去证这命题（或跟它等效的逆否命 题），而去证逆命题（或否命题）， 这是原则性错误.
4.充分条件、必要条件、充要条件
(1)必要条件 如果命题真,则结论是前提的必要条件. 必要：无它必不行,有它未必行. 无它必不行：
四边形的对角线不互相平分,它就不可能 是平行四边形. 有它未必行：
第一章 证题法、初等 几何变换、度量与计算
§1.1 引言
初等几何研究的对象是多方面的，如中 学缺陷的补充，教材内容的融会贯通，独 立工作能力的养成，克服学习中困难的刚 毅精神的培养等等.通过这课程的学习，对 初等几何，要有概括而联贯的知识，获得 观察、分析、综合、推究的能力，掌握通 用方法，具备足够的熟练技巧，并能愉快 胜任中学几何教学，从中发现问题、解决 问题，以便得到锻炼、提高．
2.关于命题证明
定义、公理、定理，都是命题．命题由两 部分组成．第一部分称前提或假设，第二部分 称结论．前者表明全部已知条件，后者表明由 这些条件必然得出的事实．
前提不能互相矛盾,否则命题毫无意义． 数学上的命题常写成假言命题的形式， 即 若Ｐ，则Ｑ.
§1.3 命题的四种变化
1.命题的换位：把一个命题的前提和结论互 换其地位，前提变为结论，结论变为前提.
1.欧氏几何命题、绝对几何命题
凡必须利用平行公理证明的命题, 称为欧氏几何命题.
不须利用这公理证的,称为绝对几 何命题.
• 至于引言中所提到的三角形“外角定理”， 有许多人都理解为：“三角形的每个外角
等于它不相邻的两个内角之和”，这是错
误的，这个定理必须要平行公理（中学课 本所采用的平行公理）才能推出.而平行公 理是与欧几里得的第五公设等价的,也就是 说这个定理是属于欧几里得几何的内容,而 三角形的外角定理是属于绝对几何的内容, 它在欧氏几何与罗氏几何中都是成立的定 理,因而它的证明得避开欧氏平行公理.
§1.2 关于数学证明
古埃及丰富的几照环宇,成了最早成熟 的科学典范,这里起作用的,是严格 的逻辑证明.
1.直观和推理
实物是最好的教具,其次是模型,再其次 是图形.但实物和模型难能要有就有,因此,图 形在教学上起重要作用.几何图形的直观能 化抽象为具体,往往是启发抽象思维的有力 工具.但图形无论画得如何准确,也无法代替 逻辑思维.直观不一定可靠,还往往和实际情 况不符,甚至相反.并且复杂的问题,直观就无 能为力.所以,尽管直观和实验对我们获得感 性认识起重要作用,证明命题还主要靠逻辑 推理.