常用分布与统计分析方法

Bernoulli试验：连续n次独立地重复一个试验，每次试验结果只有两 个不同的结果A和B，它们出现的概率分别是p和q，且p+q=1。
设n重Bernoulli试验中事件A出现的次数为X，显然X为离散型随 机变量。则X的概率分布为：
k k nk PX k Cn p q
k 0,1,2,..., n
3、构造检验统计量W Xi:第i次试验的结果， Xi =1 表示出现正面，Xi =0表示出现反面
Y Xi
i 1
100
(100次试验中出现正面的次数)
Z 100 Y
W Y Z
(100次试验中出现正反面的次数)
(100次试验中出现正反面之差的绝对值)
2008-7-12
Introduction to Statistics----Mathematical Modeling


显然，样本均值、样本方差都属于统计量。 通常用样本均值、样本方差作为总体均值、总体方差的无偏估计量。 无偏估计：当n取得充分大，样本均值、样本方差分别逼近总体均值 和总体方差。
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 根据样本值推断总体性质——参数估计
样本均值 x ：
1 n x xi n i 1
样本方差s：
2 1 n s xi x n 1 i 1 2


或
2 1 n s xi x (当n较大时) n i 1 2
Poisson分布（Poisson distribution） 设X为离散型随机变量，X的概率分布为：
e k PX k , k!
0为常数，k 0,1,2,...
称X服从参数为的Poisson分布，记为X~P()。
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 常用的连续型分布


收敛，则称E(X)为随机变量X的均值或数学期望。
小结： E(X)反映随机变量X的统计平均性质，代表随机变量取值的一般水平 或集中的位置，略去了随机变量概率分布规律的具体细节。
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 方差(variance)
设随机变量X的均值为E(X)，则：
X的方差：D X E X E X X的标准差或均方差：
对于离散型随机变量X，其方差为：
2
D X
D X xi E X pi
2 i 1

对于连续型随机变量X，其方差为：
D X
x E X px dx
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数学建模培训
（概率统计模型部分）
常用分布与统计分析方法
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概率统计的基本概念 与 常用的概率分布
遵从正态分布的随机变量X，其正态分布函数为：
1 P( X x) 2

x

e
t 2
2 2
dt
x
=0； 2=1时，称为标准正态分布，记为X~N(0，1)。
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 正态分布的若干性质
2
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计算D(X)的简单公式：
D X E X
E X
2
2
小结： D(X)反映随机变量X的相对于均值E(X)的偏离程度，代表随机变量取 值的分散性，也是统计平均的性质。
正态分布完全由其均值和方差2决定；
正态分布的概率密度函数曲线呈对称的“钟形”；
经验规则（3 准则）：
P x 0.6826
P x 2 0.9545 P x 3 0.9973
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3. 总体和样本
总体X (population)
研究对象的某种特征值的全体组成的集合。用X表示。
样本X1, X2, …, Xn (sample)
在总体中选取部分有代表性的子集称为（随机）样本。 一个样本是来自总体X的一组相互独立同X分布的随机变量。
xi:质点i的坐标；pi: 质点i的质量 E(X): 质心坐标
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连续型随机变量的均值 设X为连续型随机变量，它的概率密度函数为p(x) ，若
E X xpx dx
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6. 正态分布(Normal distribution)
设随机变量X的概率密度为：
1 p( x) e 2
x 2
2 2
x
其中-<<+ ，>0均为常数。称X服从参数为，的正态分布，记 作X~N(，2). ：均值； ：方差
x2 x1 ba
其中x1, x2[a, b], x1<x2。
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指数分布（exponential distribution） 设X为连续型随机变量，X的概率密度为：
e x p x 0
•样本值x1, x2, …, xn
从总体X随机抽取的一组观测值，常用x1, x2, …, xn来表示样本或样 本值。
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4. 统计量及其参数估计
统计量(statistical quantity)
离散型随机变量 X的所有可能取值是有限个或可列个。 连续型随机变量 最常见的一类非离散型随机变量。
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 概率密度函数 (PDF, probability density function)
设X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本，g(x1, x2, …, xn)为连续函数， 则称g(x1, x2, …, xn) 为一个统计量。 显然，统计量g(x1, x2, …, xn)也是一个随机变量。
总体X的数字特征——参数
总体均值：刻划总体的平均取值 总体方差2：刻划总体取值的分散（涨落）程度
2. 随机变量的数字特征
均值(mean) 或数学期望(mathematical expectation)
离散型随机变量的均值 设离散型随机变量X的分布律为：
P X xi pi ,
若

i 1,2,3,...
E X xi pi
i 1
收敛，则称E(X)为随机变量X的均值或数学期望。
x0 x0
其中 0为常数
称X服从参数为的指数分布。
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分布（ distribution） 设X为连续型随机变量，X的概率密度为：
1 x x e x0 p x x0 0
5. 统计推断的两类问题—— 参数估计和假设检验
参数估计问题
假定总体X的分布函数形式已知，对其中的某些参数进行估计。 估计方法：矩估计法、最小二乘法、最大似然法，……
假设检验问题
从样本值出发，判断关于总体分布的某种假设是否成立。
假设检验问题举例
为验证一硬币是否匀称（即正反两面出现的概率是否相等），做投 掷试验。假定试验结果有以下两个： （1）正面55次，反面45次； （2）正面40次，反面60次。 如何判断改硬币是否匀称？
x
p( x) F x
P(x)的性质：
p ( x) 0



p( x)dx 1
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Introduction to Statistics----Mathematical Modeling 常用的离散型分布
二项分布（binomial distribution）
0, 0
其中，均为常数，称X服从参数为，的分布，记为X~ (, )。
t 1e t dt
0

正态分布（normal/Gaussion distribution） （见后）
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对连续型随机变量，考察事件{a<X<b}的概率。若存在非负的可 积函数p(x)，使得：对任意的a, b(a<b)，都有