八年级数学面积法解题

初二数学---面积法解题

【本讲教育信息】

【讲解容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】

1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】：

重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】

（一）证明面积问题常用的理论依据

1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。

1

4

7. 1

4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。

8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）证明面积问题常用的证题思路和方法

1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4. 还可以利用面积解决其它问题。

【典型例题】

（一）怎样证明面积问题 1. 分解法

例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。

F

E

A

B D C

分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等

高，故S S ADE ADB ??=

②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??=

③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB

故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF

∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE

同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF

∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC

2. 作平行线法

例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点

求证：S S ADM ABCD ?=

1

2

分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h

A B

S S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ???=+=

?=121

2

证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为h

MN DC AB

=

+2

则S MN h ABCD =?

又 S S S MN h AMD AMN MND ???=+=

?1

2

∴=

S S ADM ABCD ?1

2

（二）用面积法解几何问题

有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质： 性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等

性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比

性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等

例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·AB

A

F

E

B D C

分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。

证明：∵AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高

∴=

?=?=?S AD BC BE AC CF AB

ABC ?222

∴?=?=?AD BC BE AC CF AB

2. 证等积问题

例4. 过平行四边形ABCD 的顶点A 引直线，和BC 、DC 或其延长线分别交于E 、F ，求证：S △ABF ＝S △ADE

A D

B E C

F

分析：因为AB//DF ，所以△ABF 与△ABC 是同底AB 和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。 证明：连结AC ∵CF//AB

∴==

S S S ABF ABC ABCD ??1

2平行四边形

又∵CE//AD

∴==

S S S

ADE ACD ABCD ??12平行四边形

∴=S S ABF ADE ??

3. 证线段之和

例5. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BH ⊥AC ，求证：PE+PF ＝BH

A

H

F E

B P C

分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP ，则

S S S AB PE AC PF ABC ABP APC ???=+=

?+?121

2

又由，所以AB AC S AC PE PF ABC ==?+?1

2()

又S AC BH

ABC ?=?1

2

故PE+PF ＝BH

证明：连结AP ，则 S S S ABC ABP APC ???=+ ∵AB ＝AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC

∴=

?+?=?+S AB PE AC PF AC PE PF ABC ?12121

2()

又∵BH ⊥AC

∴=

?S AC BH ABC ?1

2

∴

?+=?121

2AC PE PF AC BH ()

∴PE+PF ＝BH

4. 证角平分线

例6. 在平行四边形ABCD 的两边AD 、CD 上各取一点F 、E ，使AE ＝CF ，连AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC 。

分析：要证BP 平分∠APC ，我们可以考虑，只要能证出B 点到PA 、PC 的距离相等即可，也就是△ABE 和△BFC 的高相等即可，又由已知AE ＝FC 可联想到三角形的面积，因此只要证出S △ABE ＝S △BCF 即可

由平行四边形ABCD 可得S △ABE ＝S △ABC ，S △BFC ＝S △ABC 所以S △ABE ＝S △BFC ，因此问题便得解。 证明：连结AC 、BE 、BF

∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴S △ABE ＝S △ABC S △BFC ＝S △ABC

∴S △ABE ＝S △BFC 又∵AE ＝CF

而△ABE 和△BFC 的底分别是AE 、CF ∴△ABE 和△BFC 的高也相等 即B 到PA 、PC 的距离相等 ∴B 点在∠APC 的平分线上 ∴PB 平分∠APC

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

1. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 点分别为BC 、CD 的中点，连结AF 、AE ，求证：S △ABE ＝S △ADF

D F C

E

A B

2. 在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点，求证：S S S ADM DCM ABM ???=+

D C

M

A B

3. Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a 、b 为两直角边，斜边AB 上的高为h ，求证：1112

22a

b h += C

b a h

A D B

4. 已知：E 、F 为四边形ABCD 的边AB 的三等分点，G 、H 为边DC 的三等分点，求证：

S S EFGH ABCD =

1

3

D

A G E

F H

B C

5. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且CE

AC

1

3，CD和BE交于G，求△ABC和

四边形ADGE的面积比。

A

D

G E

B C

【试题答案】

1. 证明：连结AC ，则S S ABC ADC ??= 又∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点

∴=S S ABE ABC ??1

2

S S ADF ADC ??=

1

2 ∴=S S ABE

ADF ??

2. 证明：过M 作MN//DC//AB

∵M 为腰BC 上的中点

∴△DCM 和△ABM 的高相等，设为h 1

∴+=

?+?=+?S S DC h AB h DC AB h DCM ABM ??12121

2111()

又∵△DMN 与△AMN 的高也为h 1 ∴=+S S S ADM DMN AMN ???

=

?+?=+=?121

21

2

11111

MN h MN h MN h h MN h ()

∵MN 为梯形的中位线 ∴

MN AB CD =

+1

2() ∴=+S S S ADM

DCM ABM ???

3. 证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB

∴=

=?S ab AB h ABC ?121

2

∴=?ab AB h

∴=?=+?a b AB h a b h 2222222()

∴两边同时除以a b 22

+得：

1112

22a

b h += 4. 证明：连结FD 、FG 、FC