概率统计6.1、6.2(总体、样本与统计量)

x1 x2...xn
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同类型例题P139140 例4-7
2、统计量 定义2 设 X1, X 2,... X n 是来自总体X的一个样本，g(X1, X 2,... X n )是 X1, X 2,... X n的函
数，若g中不含任何未知参数，则称 g(X1, X 2,... X n )是一个统计量（Statistic）. 设 x1, x2 ,... xn是 X1, X 2,... X n 相应于样本的样本值，则称 g(x1, x2 ,... xn )是 g( X1, X 2,... X n ) 的观察值. 注：统计量必需满足的两个条件：
4、常用统计量:
样本平均值
：X

1 n
n i 1
Xi;
样本方差
S2

1 n 1
n
(Xi
i1
X )2

1 n n 1 i1
X
i
2

n
X
2

;
样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi

X
)2
;
样本k阶（原点）矩
Ak

1 n
n i 1
Xik
,
i
};
(3)Xn 2 p;
(4)(Xn X1)2
解：由统计量的定义可知（3）中含有未知参数P，所以（1）、
（2）、（4）是统计量 ，而（3）不是统计量。 教材类似例题
3、常用的统计量
P141 例1
设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，x1, x2,..., xn ，是
这一样本的观察值.
由于是独立重复测量，X1，X2，…，Xn是简单随机样本。总体的分布即X的分
布与（X1，X2，…，Xn分布相同）。由，所以X可认为服从正态分布N（μ，σ2）（X1等于物件重量μ）加上称
量误差，即X的概率密度为 f (x)
1
e
(
x) 2 2
2
，求样本的概率密度.
k 1,2,... ;
样本k阶中心矩
Bk

1 n
n i 1
(Xi

X )k ,k
1,2,....


x)2

1n (
n 1 i2
xi2
2
n x );
s
1 n 1
n i 1
( xi

x)2
;
ak

1 n
n i 1
xik , k
1,2,...,
n,...;
bk

1 n
i
n 1
(
xi

x)2, k
1,2,..., n,...
例4：某单位收集到20名青年人某月的娱乐支出费用数据：
（2） s2 1 [(79 99.4)2 (84 99.4）2 . . . (125 99.4)2 ] 20 1
133.9368
s 133 .9368 11.5731
二、能力反馈部分
（考察学生对样本、统计量的相关知识掌握）
1、为估计一物件的重量μ，用一架天平重复测量n次，得样本X1，X2，…，Xn，
三、小结
1、总体与样本的定义. 2、统计量: 设 X1, X 2,... X n 是来自总体 X 的一个样本，g(X1, X 2,... X n ) 是 X1, X 2 ,... X n 的函数，若g中不含任何未知参数，则称g(X1, X 2,... X n )是一个统计量. 3、统计量必需满足的两个条件： （1）它是 X1, X 2,... X n 的函数； （2）它不含未知参数.
2
2、设总体
X服从正态分布
N (, 2 )，其中

已知，
未知，X
1
,
X
2
,
X
是取自总体
3
的一个样本，则非统计量是（ ）.
A、
1 3 (X1

X2

X3)
B、 X1 X 2 2
C、max( X1, X 2 , X3)
D、 1
2
( X12

X
2 2

X
2 3
)
3、下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差， 样本标准差。
0 ，
其它
例2: 考虑电话交换台一小时内的呼唤次数X。求来自这一总体的简单随机样
本 X1, X 2,... X n 的样本分布
解：由概率论知识知X服从泊松分布P(λ),其概率函数
PX (x) P{X
x} x e ( 0) x!
（其中是非负整数｛0，1，2，…，k，…｝中的一个）。从而，简单随机
（1）它是 X1, X 2,... X的n 函数；（2）它不含未知参数.
例3： 设总体 X ~ B(1, p), p{X 1} p, p{X 0} 1 p, 其中p>0为未知参
数，X1, X2,..., X为n 来自总体X的一个样本，指出下列函数哪些是统计
量
（1）X1

X
；
2
（2）max{X 1in
n
样本k阶（原点）矩
Ak

1 n
n i 1
Xik
,
k 1,2,... ,
A1 X ;
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n
( X i X )k , k 1,2,..., n,...;
i 1
观察值分别为
x

1 n
n i 1
xi ;
s2

1 n 1
n i2
( xi
解：因为X的概率密度为 f (x) 2e2x，x 0 ，所以联合概率密度为
g(x1, x2 , x3, x4 ) f (x1) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 )
16e 2( x x x x ) 1 2 3 4
，x , x , x , x 0 1234
当总体X是连续型随机变量时，f(x)是它的概率密度，则(X1, X 2,..., X n ) 的联合
n
概率密度为 f (x1, x2,... xn ) f (xi ) i 1
例1：设总体X服从均值为1/2的指数分布，X1, X 2 , X 3, X 4 是来自总体的容量 为4的样本，求 X1, X 2 , X 3, X 4 的联合概率密度.
定义:
样本平均值
X

1
n
n i 1
Xi;
样本方差
S 2

n
1
1
i
n 1
(
X
i


X )2

n
1
[ 1i
n 1
X
2 i
n

X
2
];
样本标准差 S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi

X
)2
;
注：结论： E(X ) E(X );D(X ) D(X ) ; E(S 2 ) D(X ).
n
F (x1, x2 ,... xn ) P{X1 x1, X 2 x2 ,..., X1 x1} F (xi ) i 1
当总体X是离散型随机变量时，pi p{X xi}是它的分布律，X1, X 2,..., X n 的联合
n
分布律为 p( X1 x1, X 2 x2,..., X n xn ) pi i 1
样本 X1, X 2,... X n 的样本分布为
P(x1, x2,...xn ) PX (x1)PX (x2)...PX (xn ) P{X x1}P{X x2}...P{X xn}
n
x1 x2 ...xn
e n
xi i1
en .
x1 x2...xn
定义1：设 X为总体，X1, X2,..., Xn为样本，如果每个样本 Xi (i 1,2,..., n与) 总体的 分布相同，即同分布；且 X1,..., X n 之间相互独立；则称 X1,..., X n 为简单随机 样本.
设总体 X 的分布函数为 F(x) P{X x}则的联合分布函数为
第六章 统计量和抽样分布 §6.1总体与样本 §6.2统计量
一、授课部分
（一）新课导入
例 某灯泡厂，一个季度内生产了一大批灯泡，出厂前要对这批灯泡的质量， 比如它的寿命，做比较全面的分析。
（二）新课讲解
1、总体 —— 我们所关心的某个数量指标的全体，记作：X 2、样本 —— 总体中的个体，记作：X1, X2,..., Xn 3、样本值——样本取到的值，记作：x1, x2,..., xn 4、样本容量——样本的个数，记作：n
79 84 84 88 92 93 94 97 98 99
100 101 101 102 102 108 110 113 118 125
求（1）该月这20名青年的平均娱乐支出
（2）该月这20名青年的娱乐支出的样本方差与样本标准差
解：（1）

x
1
(79 84 .
.
.125) 99.4,
20