一阶常系数线性差分方程
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一阶常系数差分方程的特解公式
Ｖｏ ． ． Ｉ４ ＮＯ １
Ｊｎ． ２ ０ ａ ０８
一
阶 常 系数 差 分 方 程 的 特 解 公 式
赵 士 银 （ 苏宿 迁 学院 教 育 系 ， 江 江苏 宿迁 ２ ３ ０ ） ２８０
摘 要 ：利 用比较 系数 法， 导 出一 阶常 系数 线性差 分方程 Ｙ＋ ＋Ｐ ｔ １ Ｙ ＝（ １ ＋ａ ） ｙ＋ ＋Ｐ ， ｌ Ｙ 推 ｔ２ Ｙ＋ ＋ｑｔ ａ ｔ ｏ ｄ 和 ｔ２ Ｙ ＋ ＋ｑｔ
比较 系数得
，
ａ１
以ｏ
Ｄ１
２ 一 ｄ
Ｄ０
一 Ｄ１
在 定理 １中 ， 若方程 （ ） 的 ａ １中 ＝ ０ 则有 ， 推论 １ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ ＋ 川 ａ ＝ａ ｄ （ ａ 、 均为 常数 ）的特解形 式可 写为 ｙ ｏ ａ、 ０ｄ
方程 的特 征方程 记 为
ｒ＋ ａ ＝ ０ （） ２
ｂｔ ｏ ｄ
其中 ｂ ｏ 。＝ ａ
，
是 特征根
若令 ｆ ｄ）＝ ｄ＋ａ， 方程 （ ） （ 则 １ 的特 解形 式可写 为
（ １ ｂ ｔ＋ ｂ ） ０ｄ
在 定理 １中 ， 若方程 （ ）中 的 ｄ － ， 有 １ ７ 则 －１ 推论 ２ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ＋ ｔ１＋ ａ １ ＋ａ （ ａ 、 为常 数 ） ｙ ＝ａ ｔ ｏ 以、 ｏｄ均 的特 解形 式可写 为
ｂ ｄ ｏ
１ ｆ（ ） ａ ｔ ｏｄ ｔ ＝（ ｌ ＋ａ ）
定理 １ 设有 一 阶常 系数线性 非齐 次差 分方 程
Ｙ＋ ＋ａ ｆ＝ （ １ ｆ１ ｙ ａ ｔ＋ａ ） ０ｄ （） １
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。对于 f ( x) 是一般的 n 次多项 式的情况可类似求解。
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
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第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
复制动态方程公式
复制动态方程公式动态方程公式主要指的是描述动态系统行为的数学模型。
这些模型通常用一系列差分方程或微分方程表示，在物理学、工程学、经济学等领域中得到广泛的应用。
在本文中，将介绍几种常见的动态方程公式，并解释其背后的数学原理和实际应用。
一、一阶线性差分方程一阶线性差分方程是最简单的动态方程公式之一，其常见形式如下：xt+1 = a * xt + b其中xt为时刻t的状态变量的值，xt+1为时刻t+1的状态变量的值，a和b为常数。
这个方程描述了一个变量在每个时刻的变化都与前一个时刻的变量值成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
这种方程广泛应用于描述种群增长、价格变化以及各种自然和社会系统的动态行为等。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是描述连续动态系统的常见方程形式，其一般形式如下：dy/dt = a * y + b其中y是时间t的函数，dy/dt表示y对时间的导数，a和b为常数。
这个方程表达了一个函数的导数与函数本身成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
一阶线性微分方程常用于描述物理系统的运动、电路中的电流和电压关系、经济学中的增长模型等。
三、二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程是描述连续动态系统中更复杂行为的方程形式，其一般形式如下：d^2y/dt^2 + a * dy/dt + b * y = c其中y是时间t的函数，d^2y/dt^2和dy/dt分别表示y对时间的二阶导数和一阶导数，a、b和c为常数。
这个方程描述了一个函数及其导数关于时间的二阶导数和一阶导数之间的关系。
二阶线性常系数微分方程常用于描述机械振动、电路中的共振现象、天体运动等。
四、非线性微分方程非线性微分方程是描述连续动态系统中非线性行为的方程形式，其一般形式如下：dy/dt = f(y)其中y是时间t的函数，f(y)表示y的导数与y本身之间的关系，这个关系是非线性的。
非线性微分方程无法用一般的解析方法求解，通常需要借助数值计算方法进行近似求解。
一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
8.9.2一阶常系数差分方程
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A2t .
由于 p 2 1,
故可设其特解为 yt* B Ct Dt 2 代入方程，得
B C(t 1) D(t 1)2 2B 2Ct 2Dt 2 3t 2 ,
比较系数：
B C D 2B 0 C 2D 2C 0
D 2D 3
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即 k(t 1)b pkt c ,
解得 于是
k c. p
yt*
c tbt p
ctbt1.
当b a 和 b a 时，方程(6) 的通解分别为：
yt
c b
p
bt
Ap t
和
yt ctbt1 Apt .
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例6 求差分方程
yt 1
1 2
yt
5 t
2
的通解。
解 对应齐次差分方程的通解为
yt1 pyt c，
(5)
1) 采用迭代法求解：
给定初值 y0，有迭代公式
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yt pyt1 c p pyt2 c c p2 yt2 c 1 p p2 pyt3 c c 1 p
p3 yt3 c 1 p p2
L pt y0 c 1 p p2 L pt1 .
yt1 pyt ct n
(7)
设差分方程(7) 具有形如
yt* t s (B0 B1t Bnt n ) ( p 1时取 s 0 ; p 1时取 s 1. )的特解.
将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数
确定系数 B0 , B1, Bn .
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例7 求差分方程 yt1 2 yt 3t 2 的通解。
一阶差分方程
y k +1 = y k (1 + r ) − m, y 0 = 10000
k = 0, 1, 2, L
(5.5.1) (5.5.2)
其中 r 为月利率, 是年利率的 1 /12 . (5.5.1) 与 (5.5.2) 类似于大家熟知的微分方程初值问题 , 称为差分方程的初值问题 . 其中 (5.5.1)是差分方程,而(5.5.2)是其初值. 你现在用 m=434.87, r=0.345 %代入(5.5.1), 验证一下, 看看是否 y24 = 0 ? 现在要问：月还款额 m 是如何确定的？ 如果已知 r , m , y0 ,要求 yk 的一般表达式, 这就是(5.5.1)的求解. 令 zk = yk - yk-1, 即 yk 的差分, k = 1, 2, …. 于是不难得 zk+1=(1+r) zk, 从而有 zk = z1(1+r) k-1 , k = 1, 2, …. 然后, yk - y0 = z1 + z2 + … + zk = z1[ 1 +(1+ r )+ …+(1+r) k-1]
5.5.4. 一阶常系数非线性差分方程 x t+1= a x t (1- x t)
例 5.5.6 动物种群的约束增长模型.
假设某种动物栖息地能够容纳动物最大数量为 M,称为动物容量,如果数量超过 M,就会 出现数量的负增长.而且当数量接近 M 时, 增长速度会缓慢下来. 如果用 yt 表示动物在时刻 t 的数量, 则单位时间以后的动物数量是 y t +1 , 于是我们可以得到这种动物数量的变化规律: yt+1-yt = k yt(M- yt) 其中 k 是正的比例系数. 现在把(5.5.5)改写为 yt+1 = (1+ k M) yt - k y t 2 , 其一般形式是 yt+1 = a yt - b y t 2 对它作适当的变量代换: y t = x t+1= a x t (1- x t) . 因此我们要研究二次函数 ( 称为逻辑斯蒂映射 ) f(x) =ax(1- x ) , xœ[0,1] 2, 2.9, 3.4, 3.5, 3.7, 4 以及 x0 = 0.2, 分别作 实验 5.5.7 取定参数 a = 0.5, 1, 1.5, (5.5.5)
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
差分方程基础知识
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
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于是有
B1(cos a) B2 sin b1 B1 sin B2(cos a) b2
(10 19)
方程组 (10的系1数9行) 列式为
cos a
D
sin (cos a)2 sin2
sin cos a
因为 mπ , sin 0,方程组 (10有唯1一9解)
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程,
有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为
y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
B1
1 D
[b1
(cos
a)
b2
sin
]
B2
1 D
[b2
(cos
a)
b1 sin
]
从而得到方程
(的1特0解 18)
(10 20)
y(n) B1 cos n B2 sin n, 其中 1, 2 由 (10 20) 给出, 方程 (10 的1通8解)为
yn C(a)n B1 cos n B2 sin n
从而得到
y(n) Ad n
代入方程,
解得 A b , ad
于是方程
(10的特1解7为) y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到
代入方程 于是方程
y(n) And n (10, 17) 可得 A b ,
d (10的特解17为)
y(n) b nd n , d
综上讨论,
于是方程 (1的0 通解17可)表示为
yn
C
(a)n
a
b
C
b d
n
d
n
,
d
d
n,
a d a d
其中C 为任意常数.
例3 求方程 yn1 2 yn 3 2n 满足初始条件 y0 4 的 特解.
解 对应齐次方程的通解为 y C(2)n
又设 yn A2n , 代入方程,
则方程 (10为 13)
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) Q(n)为特解,
Q(n) 为多项式, 代入方程 (10, 16) 有
Q(n 1) aQ(n) Pm (n) 于是, 若 a 1, 要使方程恒等 , 则应设
y(n) a0nm a1nm1 am1n am
2. f (n) bd n , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程 (10 13)
为
yn1 ayn bd n
其中a , b 为非零常数.
(10 17)
根据 f (n) 的形式,可设 yn Ankd n, A为待定系数,
代入方程有
(n 1)k Ad nk Aa b
于是, 当a d 时, 要等式恒成立, 应取 k 0,
其中a0,a1, ,am为待定系数, 代入方程后,
比较同幂次系数,
可以解代数方程确定待定系数.
若 a 1, 要使方程恒等,
则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn.
代入方程,
比较同幂次系数,
可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C (2)n C2n
Байду номын сангаас
设 y(n) a0n2 a1n a2 , 代入原方程,
有
a0n2 (2a0 a1)n (a0 a1 a2) 2n2 1
比较系数得
a0 2, a1 4, a2 5, 所以得
y(n) 2n2 4n 5, 从而所给方程的通解为
y C2n 2n2 4n 5 其中C 为任意常数.
其中C 为任意常数.
注意 若 f (n) b1 cos n 或 b2 sin n 时, 试解函数仍 应取 y(n) B1 cos n B2 sin n.
例4 求方程 yn1 2 yn cos2n 的通解.
解 对应齐次方程的通解为
y C2n
设非齐次方程的特解为
代入方程,
一、齐次方程的通解
一阶常系数线性差分方程一般形式为
yn1 ayn f (n), n 0, 1, 2, 其中a 为非零常数, f (n)为已知函数 , 方程 (10 13) 的对应齐次方程为
(10 13)
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
(10 14)
方程 (10变形1后4改) 写为
有
A2n1 2A2n 3 2n
从而解得
A 3, 4
所给方程的通解为
yn
3 4
2n
.
yn
C (2)n
3 4
2n
由
y0
4,
得
C
13 , 4
于是所给方程满足条件的特解为
yn
13 (2)n 4
3 4
2n
1[3 (1)n 13]2n. 4
3. f (n) b1 cos n b2 sin n,其中b1,b2 , 为给定常数, 且 mπ(m为整数,若 mπ,方程则变成类型1或2
的形式求解), b1, b2 不同时为零, 这时方程 (1为0 13)
yn1 ayn b1 cos n b2 sin n
(10 18)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) B1 cos n B2 sin n,
其中B1, B2为待定系数, 将 y(n) 代入方程 (10 18),
yn1 ayn , n 0, 1, 2,
这是等比数列所满足的关系式,
由等比数列通项公式
可以得到
yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程
(的1通0 解 14)
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
1.二f (n、) 非Pm(齐n), 次Pm方(n) 为程m的次多特项解式,与通解
利用三角恒等式
cos(n ) cos ncos sin nsin sin(n ) sin ncos cos nsin
得到等式
[B1(cos a) B2 sin ]cos n [B1 sin
B2(cos a)]sin n b1 cos n b2 sin n