第1讲 一元二次方程及解法
第1讲一元二次方程的根与解法学生版
初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。
初中数学竞赛第1讲一元二次方程的解法(含解答)
第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
1、一元二次方程的定义及解法
第一讲一元二次方程的定义及解法1.1 一元二次方程的定义知识网络图定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．22（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（）A ．1 B．3 C．0 D．1 或33．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（）A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5课后练习1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或152．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（）A ．2016B ．2018 C．2020 D．20223．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于1.2 直接开平方法知识概述1．直接开方法解一元二次方程：（1） 直接开方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法 （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义课堂小练1．（2017 春?费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 课后练习1．（2017 秋?天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 1.3 配方法4． 5． A ． 0 B ．1 C ．2 2017 秋?蓬溪县期末）关于 A ．1B ．﹣ 12017 秋?常熟市期末）已知 A ． 2015 D ．1 或 2x 的一元二次方程（C ．±12元二次方程 x 2﹣ xB ．2016C ．2018 22a ﹣ 1) x 2+2ax+1 ﹣ a 2=0 有一个根是 0，则D ．0﹣ 2=0 的一个根是 m ，则 2018﹣ m 2+m 的值是（ D ． 2020（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解可直接开平方求解，两根是2）4（2x ﹣1）2=36．2)x 2﹣2x ﹣4=0．②形如关于 x 的一元二次方程知识概述1．配方法解一元二次方程： （1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法 .（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式： （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 移项：将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边； ②化系数为 1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤ 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 课堂小练1．（ 2018?临沂）一元二次方程 y 2﹣ y ﹣ =0 配方后可化为（ ）A ．（y+ ） 2=1B ．（y ﹣ ）2=1C ．（y+ ）2=D ．（y ﹣ ）2=22．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程 x 2﹣ x ﹣1=0 时，应将其变形为（）2 2 2 2A ．（x ﹣ ） =B ．（x+ ） =C ．（x ﹣ ） =0D ．（ x ﹣ ） =3．（ 2018?中江县模拟）用配方法解方程： x 2﹣7x+5=0 ．课后练习上方程用配方法变形正确的是（1．（ 2018?秀洲区二模）在《九章算术》 勾股”章里有求方程 2x +34x ﹣71000=0的正根才能解析的题目，以2A ．（x+17 ） 2B ．（x+17）2=71289 2C ．（x ﹣17）2=70711 2D ．（x ﹣17）2=712892．（2017 秋?定安县期末）将一元二次方程 x 2﹣ 4x ﹣ 6=0化成（ x ﹣ a ） 2=b 的形式，则 b 等于（ ）［来A ． 4B ． 6C ． 8D ． 103．（2018?宁河县一模）解下列方程：21）x 2+10x+25=022） x 2﹣ x ﹣1=0．4．（2017?广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法知识概述1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，2. 一元二次方程根的判别式①当时，原方程有两个不等的实数根②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根课堂小练1．（2016 秋?通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（A ．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0 C．x2﹣100x+2500=0 D ．2x2+3x ﹣1=0 2．（2016秋?惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0 的解是（）A ．x1 =1+ ，x2=1﹣B．x1=2+ ，x2=2﹣C．x1=1+ ，x2=1﹣ D ．x 1=2+ ，x2=2﹣[来源学§科§网Z§X§X§K]3．（2018?和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．课后练习1．解方程2（1）3x2+5x+1=0 ．1.5 因式分解法知识概述1.用因式分解法解一元二次方程的步骤1）将方程右边化为0；2）将方程左边分解为两个一次式的积；3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）要点诠释：22)2x2﹣7x+6=03）4x2﹣3=12x（用公式法解）24）2x2+3x=1 （用公式法解），十字相乘法等[来源 学#科# 网 Z#X#X#K]（ 1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的 积；（ 2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0； （ 3）用分解因 式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式 . 课堂小练1．（ 2018?泸县模拟）解方程： x （x ﹣1）=4x+6 ．2．（2017 秋?白银期末）解方程：（1）3（ x ﹣ 1） 2=x （x ﹣1）课后练习1．解方程（1） 4x 2﹣ 8x+3=0（2）x （x+6）=7 （3）2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）22）4）3x（x﹣1）=2（x﹣5）x（x+5）=14；6）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．1）[来源学#科# 网Z#X#X#K]。
第一讲.一元二次方程的定义及解法
第一讲：一元二次方程的概念和解法一、知识点1:1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程•2：一般形式：ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.3:相关练习：1、下列方程中，是一元二次方程的是( )2A、x =1B、X——-_ =1C、，x -1 x2 = 1D、x‘ x 1 = 0x 2 22、如果(m 3)x2 -mx • 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( )A、m - 3 且 m = 0B、m -j 3C、m -j 0D、m - 33、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( )A、3x =4x mB、ax -8=0C、x y =0D、-6xy - y 7 = 04、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。
5、判断下列方程是否为一元二次方程：(1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2(3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 xk6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。
7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 —二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ；2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ .&关于x的一元二次方程(a-1)x2• a2-仁0的一个根为0,则a的值为( )1A、1B、-1C、-1或 1D、-29、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。
一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．举一反三：【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3. （2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【答案】B；【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三： 【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式】解方程： (1) （2014秋•宝安区期末）（3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2) （2014•锡山区期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
第1讲 一元二次方程与一元二次不等式解法
ax b k(k 0, a 0)， 即ax b k或ax b k(k 0, a 0)
按一元一次方程求解
（2）提公因式：形如ax2 bx 0(a 0) 提公因式得
x(ax b) 0(a 0)Leabharlann x 0，x b (a 0) a
（3）求根公式法：
1.方程ax2 bx c 0(a 0)的判别式 b2 4ac
2.三个一元二次之间的关系：
判别△=b2-4ac
△> 0
△= 0
ax2+bx+c =0
有两相异实 有两相等实根
(a>0)根 y =ax2+bx+c
根x1,x2 (x1<x2) x1=x2=
b
2a
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
△< 0 没有实根
y
ax2+bx+c >0(a>0)
的解集
{x|x<x1,x>x2}
2.方程ax2 bx c 0(a 0)有无实数根判定方法
（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 0时，方程有两个相等的实数根。
（3）当 0时，方程没有实数根。
3.方程ax2
bx c
0(a
0)的求根公式x1
b 2a
， x2
b 2a
4.韦达定理（根与系数的关系）：
方程ax2
Ox
x
{x|x≠ 1
b 2a
}
x
O
R
ax2+bx+c <0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
【例2】解下列不等式：
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
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第1讲 一元二次方程及解法（一）
【引例】小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm 2
,那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为xcm ，你能列出满足条件的方程吗？
列出的方程是
知识要点梳理：
一元二次方程的概念：
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
3、一元二次方程的解（根）：使得方程成立的未知数的值
4、形如2
x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的方程可用直接开方法求解
经典例题：
例1.判断下列方程是否为一元二次方程。
（1）8142=x ； （2）y x 3)1(22
=-； （3）x x 4152=-； （4）02112=-+x
x ； （5）1322-+x x ； （6）)2(5)1(3+=-x x x ； （7）关于x 的方程0232=+-x mx ； （8）关于y 的方程05)12()1(22=+-++y a y a
例2 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x
例3.解下列方程：
（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.
（3）64)3(2=+x （4）49)12
1
(42=-x
（5）0862
=+-x x
例4.已知关于x 的方程122)2(222-+=--x x kx x k 是一元一次方程，求k 的值，并求出这个方程的解？
经典练习：
1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）0233122=--
x x （ ） （2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x
x ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;
（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.
3、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.
21 4、要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是关于x 的一元二次方程，则=k _____.
5、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
6.解下列方程：
（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2
－9＝0.
★★7.若a 是方程012=-+x x 的一个根，求201623+-a a 的值。
8、把关于x 的方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
9.已知关于x 的一元二次方程02=+--m n x mx 的两个解为1-=x 和2
3=
x ，求这个一元二次方程的常数项。
10、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？
思维拓展：
(1)构造一个二次项系数和常数项互为相反数，且一个解为2的关于x 的一元二次方程。
(2)构造一个二次项系数和常数项互为倒数的关于x 的一元二次方程，且一个解和这个一元二次方程的一次项系数互为相反数。
(3)已知1=x 是一元二次方程0402
=-+bx ax 的一个根，且b a ≠，则=--b a b a 222
2
课后作业：
1.分别根据下列条件，写出一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的一般形式：
(1)a=2，b=3，c=1；
(2)二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
(3)二次项系数为mn ，一次项系数为0 ，常数项为－n 。
2、解下列方程：
（1）x 2＝169； （2）45－x 2＝0； （3）12y 2－25＝0；
（4）49)32(2=+x （5）4)3(252=-x
3.一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1，且a ，b 满足等式122+-+-=
a a
b ，求此一元二次
方程。