理论力学13动量矩定理解析
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量矩定理
动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件)解析
当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。
当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小， 于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。
这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，
体操表演和杂技表演中。
§13.6
刚体的平面运动动微分方程
对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同
其质心一起的牵连运动和相对于固连在质心的平动坐标系
第二式投影到过质心C且与图平面垂直的z′轴上，得
d 2 xC m 2 Fx (e) dt d 2 yC m 2 Fy (e) dt d 2 J C 2 J C M C (F (e) ) dt
设刚体绕z′轴转动的角速度为w，与计算定轴转动刚体对 转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对z′轴的动量矩等 于 Lz′ =Jz′w 其中Jz′是刚体对zC轴的转动惯量。于是，式（13.24）最后
dLxc M xc ( Fi e ) dt dLyc M yc ( Fi e ) dt dLzc M zc ( Fi e ) dt
dLC／dt= MC （13.22）
（13.23）
其中 LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩 这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量 矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一 轴的矩的代数和。
其中：
m mi
为整个质点系的质量。
L0 rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
由质心运动定理可知
∑miri′=mrC′ ，Σmivri=mvrC
因为质心是动坐标系原点， 所以rC′=0，vrC=0，从而
L0 rc mvc ri mi vri
理论力学动量矩定理
四. 平行移轴定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
J z ' J zC m d 2
证明：设刚体的质量为m，质心为C。
O ' z '//Cz
J zC mi ri 2 mi ( xi 2 yi 2 )
J z ' mi ri ' 2 mi ( xi ' 2 yi ' 2 )
xi xi ', yi ' yi d
J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
质点对O点的动量矩与对 z 轴的动量矩之间的关系：
M O (mv )
注意：要求 z 轴通过O点。
z
M z (mv )
二．质点系的动量矩
质点系对O点动量矩： LO 质点系对 z 轴动量矩： 同样有关系式： 例：平动刚体的动量矩。
M
O
Lz M z (mi vi )
(mv i i ) r i mv i i
( e)
PA PB d g ( d t r PA PB P / 2
）
[例4] 已知猴子A重=猴子B重，初始静止，后猴B以相对绳 速度 v 上爬，猴A相对绳不动。问猴B向上爬时，猴A将如何 动？动的速度多大？（轮重不计）
解： 设猴A向上的绝对速度为 vA，则
猴B向上的绝对速度为 vB= vvA 。
平动刚体对固定点（轴）的动量矩就等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)解析
3、性质
转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动
轴的分布状况有关。
4、单位：kg·m2；kg·cm2
若单位制不同，则Jz的单位不同， 为了避免不同的单位制引起错误， 也为了便于记忆，将 Jz /m，就变 成只与长度有关的量（而各单位制
z
zi
xi x
mi
yi y
中长度都是基本量）因此就可统一 表示。
J z' mi[xi2 ( yi d )2 ]
mi (xi2 yi2) ( mi )d 2 2d mi yi
mi m , mi yi myC 0
J z' J zC md 2
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
推论： J z J zC md 2
m
对于均质物体，其密度r为常量，如以V表示物体 的体积，则有，
Jz
r 2dV
V
m V
r 2dV
V
7、常见情形
①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯 量。
Jz
m V
r2dV m
V
Al
r2 Adr
V
m 0.5l r2dr 1 ml2
l 0.5l
由式（13-5）可知，在所有相互平行的轴中，物 体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。
例如，均质等截面细 直杆对于通过杆端且 与杆垂直的z′轴的 转动惯量为：
J z
J zC
md 2
1 12
ml 2
m( l )2 2
1 3
ml 2
z 0.577l
3、其他方法
理论力学动量矩定理
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点旳动量矩定理
设质点对固定点O旳动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点旳矩为MO(F) ，如图 所示。
将动量矩对时间取一 次导数，得
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
d r mv r d (mv)
dt
dt
MO(mv) MO(F)
x
z
F mv
Q
r
y
12.2.1 质点旳动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点旳动量矩与对轴 旳动量矩旳关系代入，得
d dt
M
x
(mv)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定
轴旳动量矩对时间旳 一阶导数等于质点所 受旳力对同一轴旳矩。
12.2.1 质点旳动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为 l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O点旳铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时旳运动规律。
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O旳转
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A旳
质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O旳动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
LO旳转向沿逆时针方向。
Or
A mv
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
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LO mO (mivi ), mO (Fi (i) )0,则
dLO dt
mO
(Fi (e)
)MO(e)
一质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
dLx dt
mx
(Fi
O
将I O
1 2
Pr2 g
代入,
得
LO
r
g
2
(
PA
PB
P 2
)
由动量矩定理：
d [r
dt g
2
(
PA
PB
P 2
)](
PA
PB
)r
d g PA PB
dt r PA PB P/2
13
[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
质系对轴z 动量矩： Lz mz (mivi ) LO z
4
刚体动量矩计算：
1．平动刚体 LO mO (mvC )rC mvC
(ri mivi miri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体 Lz mz (mivi ) miri2 Iz
1
第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
质点系的动量矩守恒 当 MO(e) 0 时， LO 常矢量。
当 M z(e) 0 时，Lz 常量。
12
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
M (e) O
PAr
PBr
(PA
PB
)r
LO
PA g
vr
PB g
vr
I
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
10
二．质点系的动量矩定理
对质点Mi ：
d dt
mO
(mi
vi
)
mO
(Fi
(i
)
)mO
(Fi
(e)
)
(i 1,2,3,,n)
对质点系，有 ddtmO (mivi )mO (Fi(i) )mO (Fi(e) ) (i1,2,3,,n)
左边交换求和与导数运算的顺序，而
7
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
mx
(mv
)
mx
(
F
),
d dt
my
( mv
)
m
y
(
F
),
d dt
mz
( mv
)
mz
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO (F )0 (mz (F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv )常量) 称为质点的动量矩守恒。
8
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
mO (F )mO (T )mO (mg )mglsin
运动分析：v l , OM 。mO (mv )mll ml 2
由动量矩定理 即 d (ml2)
d dt
mO
(mv
两边叉乘矢径
r
,
有
r
d (mv ) dt
r
F
左边可写成
r
d (mv ) dt
d dt
(r
mv )
dr dt
mv
而dr dt
mv
v
mv
0
,
r F mO (F ) ,
故：
d dt
(r
mv
)r
F
,
ddt[mO (mv )]mO (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
解：mO (F (e) )0 , 系统的动量矩守恒。
3
mO (mv) 2OAB
mz (mv) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (m(v) zmz (mv)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO mO (mivi )ri mivi
(e)
)M
(e) x
,
dLy dt
my
( Fi
(e)
)M
y
(e)
,
dLz dt
mz
( Fi
(e)
)
M
(e) z
11
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
)
mgl sin
mO (F ) , g
sin
0
dt
l
微幅摆动时，sin ,
并令 n2
g l
，则
n2
0
解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0,0 0) 则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2
g l
9
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用：
滑轮B：m2，R2，I2 ；物Байду номын сангаасC：m3 ，v3
求系统对O轴的动量矩。 解：LO LOA LOB LOC
I11 (I22 m2v2R2 ) m3v3R2
v3
v2
R2 2
1 2
R11
LO
(
I1 R2 2
I2 R2 2
m2
m3 )R2v3
6
§13-2
一．质点的动量矩定理
动量矩定理
d (mv ) F dt
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz mz (mvC ) IC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§13-1 动量矩
一．质点的动量矩
质点对点O的动量矩：mO (mv )r mv 矢量
质点对轴 z 的动量矩：mz (mv )mO (mvxy ) 代数量