高二数学竞赛班一试讲义(精品文档)
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质
几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。
3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。
当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。
4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。
二、方法与例题 1．构造函数解题。
例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
高二数学竞赛班一试讲义
p 0,1 的递推式求通项，可两边同除以 p n1 转化为形
如 an 1 an q n 的递推式。
Aan B Ax B 的分式递推式：记特征函数 f x 的不动点为 , ，当 Can D Cx D
时，
an 1 成等比数列。 成等差数列；当 时， an an
4
5
高二数学竞赛讲义
数列和与通项
1
参考答案
一、例题分析 例 2． （1）设 an 1 n 1 p an n ， , 为常数， 用待定系数法求得 1, 0 ， n 1 所以 an 1 ( n 1) 2(an n) ，故 an n 成等比数列， an n (a1 1) 2
2
an 3 (n N ) ，则 a20 3an 1
。 ． ．
．
2．数列 {an } 中， a1 1 ， an 1 10an ，则通项 an 3．已知数列满足 a1 1 ， an 1 an
an an 1 ，则 a n =
4．已知数列 {an } 中， a1 1 ， an an 1 2n ，你有多少种方法求 an ？
3
4
5．已知数列 {an } 满足： a1 1 ， an 1
3an 8 ，求通项 a n 。 2an 3
6．数列 {a n } 满足 a1 2, a2 5, an 2 3an 1 2an ，求数列 {a n } 的通项公式 an 。
7．已知数列 {xn } 满足 x0 0, xn 1 xn a b 4axn , n 0,1, 2, ，其中 a, b 是给定的
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》讲义
1. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （A ）所有实数的平方都不是正数 （B ）有的实数的平方是正数（C ）至少有一个实数的平方不是正数 （D ）至少有一个实数的平方是正数2. 集合{11}P x x =-<{1},Q x x a =-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 3. 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知全集U R =，集合112xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680M x x x =-+≤，图中阴影部分所表示的集合为 （A ）{}0x x ≤（B ）{}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x <≤≥或 （D ）{}024x x x ≤<>或 5. 已知集合{}23100A x x x =--≤，{}121B x m x m =+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是(A) 24m << (B) 24m m <>或(C) 142m -<< (D) 142m m <->或6. 已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，“20a b +>”是“()0f x >恒成立”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件7. 已知{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭， 则A B = .8. 设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{},C a b a A b B =+∈∈，则集合C 中所有的元素之和为 . 9. 设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 . 10. 设{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 . 11.设{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+< 且A B ⊆，则a 的取值范围是 . 12设{}0,1,2,3A =，{}2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .13. 已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = .14. 已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 .15. 已知i 是虚数单位，2342013i i i i i+++++= .16. i 是虚数单位，23420131z i i i i i=++++++ ，复数z 的共轭复数记为z ，则z z = . 17. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） (A) 22z i =+ (B) 22z i =--(C) 22,z i =-+或22z i =- (D) 22,z i =+或22z i =--UNM高中数学竞赛试题汇编一《集合与简易逻辑》《复数》讲义。
高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
高二数学竞赛班一试讲义
高二数学比赛班一试讲义第 3 讲函数与反函数班级姓名一、知识重点：1、函数与映照的定义函数：若 A， B 都是非空数集，依对应法例 f，若对 A 中的随意一个数 x，在 B 中都有独一一个数 y 与之对应，则称 f: A→ B 为 A 到 B 上的一个函数。
A 称为它的定义域，会合 { f(x)|x∈A} 叫函数的值域。
（ 1）映照，对于随意两个会合A，B，依对应法例f，若对 A 中的随意一个元素x，在 B 中都有独一一个元素与之对应，则称f: A→ B 为一个映照。
（ 2）单射，若f: A→ B 是一个映照且对随意x, y∈ A, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。
（ 3）满射，若f: A→ B 是映照且对随意y∈ B，都有一个x∈A 使得 f(x)= y，则称 f: A→B 是A 到 B 上的满射。
（ 4）一一映照，若f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映照，只有一一映照存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法例f-1组成的映照，记作 f-1 : A→ B。
2、反函数若函数 f: A→ B（往常记作 y=f(x)）是一一映照，则它的逆映照f-1 : A→B 叫原函数的反函数，往常写作 y=f-1( x). 这里求反函数的过程是：在分析式y=f(x)中反解 x 得 x=f-1 (y)，而后将 x, y 交换得 y=f-1 (x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
比如：函数 y 2a x 2 1 的反函数是y log a x 1 2 .2定理 1 互为反函数的两个函数的图象对于直线y=x 对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就对于直线y x 对称。
定理 2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
二、例题精析2292例 1．（ 1）求函数f x9x 312x 2x29x2的最小值．4（ 2）若实数x, y知足x2y225 ，求函数 f (x, y)8y6x50 8y 6x 50的最大值．例 2．求函数 f ( x)x210x 9x268x256 的最大值．例 3． 方程x 122011 2011 一共有个解 .例 4． k 是 数， f ( x)x 4kx 21随意三个 数 a,b, c 存在一个以 f (a), f (b), f (c)x 4 x 2 1 三 的三角形，求k 的取 范 .例 5．（ 2014 ）（Ⅰ）求 ： yf ( g(x)) 的反函数y g 1 ( f 1 ( x)) ； （Ⅱ） F ( x)f ( x) ， G(x)f 1 ( x) ，若 F (x)G 1(x) ，求 ：f (x) 奇函数．例 6．（ 2014 ） 已知 nN ， xn ，求 ： n n(1x )ne xx 2．n例 7． u 是方程 x 33x 10 0 ⋯ ①的根， f ( x) 是系数 有理数的二次多 式，且 1 (u 2 u 2), f ( ) u ，求 f (0) ．（ 2010 ）2三、优选习题1．已知f ( x), g( x), h( x)为一次函数，若对实数x 知足1, x1f (x)g (x)h( x)3x2,1x 0 ，则 h( x) 的表达式为（）。
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高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根班级 姓名一、知识要点：1．复数模、共轭复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式121212z z z z z z -≤±≤+ 模与共轭的联系2zz z = 2．复数的几何（向量）意义z x yi =+在复平面上对应点(,)Z x y ，也对应着向量OZ复数z 满足z a z b -=-，轨迹表示复数,a b 对应的点,A B 组成的线段的中垂线复数z 满足0z z r -=，轨迹表示以0z 为圆心，r 为半径的圆复数z 满足,1,z a z b R λλλ+-=-≠∈，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，θ是复数的辐角，[0,2)θπ∈时称为复数的辐角主值运算法则：11111(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，22222(cos sin ),0z r i r θθ=+≥ 乘法121212121(cos()sin()),0z z r r i r θθθθ=+++≥ 除法111212122(cos()sin()),0z r i r z r θθθθ=-+-≥ 乘方(cos sin ),0n nz r n i n r θθ=+≥开方(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，z 有n 个n 次方根：22sin ),0,1,2,...,1k k k z i k n n nπθπθ++=+=- 4．单位根：记222cos sin in e i n nπππζ==+，其中i 为虚数单位，多项式1nx -有n 个互不 相等的根2,,,(1)nζζζ⋅⋅⋅=，它们称为n 次单位根。
易于看到，在复平面上，n 个n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n 边形的顶点。
5．n 次单位根的性质：（1）设k 和l 是整数，则k l ζζ=的充分必要条件是(mod )k l n ≡（2）任意两个n 次单位根的乘积仍是一个n 次单位根；任意一个n 次单位根的倒数也是一 个n 次单位根。
（3）设k 是整数，(,)1k n =，则()(1,2,,)k ll n ζ=⋅⋅⋅恰给出全体n 次单位根。
证明：因为(,)1k n =，所以,2,,k k nk ⋅⋅⋅是模n 的一个完系6．因2,,,(1)n ζζζ⋅⋅⋅=是1nx -的n 个不同的根，故有11(1)()()n n x x x x ζζ--=--⋅⋅⋅-，又)1)(1(1221+++⋅⋅⋅++-=---x x x x x x n n n ，所以（1）)())((112221----⋅⋅⋅--=+++⋅⋅⋅++n n n x x x x x x x ζζζ（2）0112=+⋅⋅⋅+++-n ζζζ7．310x -=的根为21,,x ωω=，（可设122ω=-+），有 （1）210ωω++=，（2）3313221,,nn n ωωωωω++===，（3）221,1ωωωω==--二、例题精析例1．（1） z 为模大于1的复数，155cos sin 22iz z θθ+=-，则z= ． （2）（13北约6）模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC CA ABA B C++=++( ) A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定例2．（2006年上海交大）已知1z =，k 是实数，z 是复数，求21z kz ++的最大值。
例3．若关于x 的二次方程2220x x -+=，2210x mx ++=的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数m 的取值范围。
例4．设M 是单位圆122=+y x 上的动点，点N 与定点A(2, 0)和点M 构成一个等边三角 形的顶点，并且M →N →A →M 成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的轨迹。
例5．已知单位圆的内接正n 边形1,,n A A ⋅⋅⋅及圆周上一点P ，求证：212nk k PA n ==∑。
例6．设n 是正整数，证明：（1）036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ （2）1471011(2)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+（3）2581121(4)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+例7．(2011年清华金秋营)求sinn πsin n π2sin nn π)1(-的值。
三、精选习题1．（13华约5）若复数11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应11w+的点，则点(),Z x y 的轨 迹是（ ）(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧2．关于()x x C ∈的一元二次方程210x x m ++-=有一根模长为1，则m =___________3．若虚数ω满足31ω=，则21________nn ωω++=，其中n 是正整数。
4．已知12122,3,4z z z z ==+=，则12________zz =。
5．（2006年清华）求最小正整数n ，使得1()2n I =+为纯虚数，并求出I ．6．设P 为椭圆14922=+y x 上任意一点，以OP 为边长作矩形OPQR （字母顺序按逆时针 方向），使OP OR 2=，求动点R 的轨迹．7．（2011年卓越）i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，求2221z z z i-+-+的最大值。
8．复平面内区域A 由复数z 对应的点Z 组成，若40z 与40z的实部与虚部都在0与1之间， 求区域A 的面积。
9．(2013北大）求265522i ieeππ++的值。
10．若复数z 满足1z =，且存在负数a ，使得2220z az a a -+-=，求a 的值。
11．证明：048121(22cos)24nn nnnn C C C π-+++⋅⋅⋅=+。
高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根例1．（1）【解】21155cos sin 22z zz iz z θθ++⇔==-两边取模21555cos sin 222z i z θθ+⇔=-=得1(2z =舍去)或2，故5=2(cos sin )55cos sin 22z i i θθθθ=+-（2）【解】方法一：2zz z =由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++, 也即2BC AC AB BC AC AB BC AC AB A B C A B C A B C++++++=⨯++++++ 313B A C A AB CB AC BCAB AC B A BC C A CB++++++==++++++,故选B. 方法二：由题知1AA BB CC ===,所以1A A =，1B B =，1C C=例4．300300(cos sin )AM i AN=+⋅300300(cos sin )()OM OA i ON OA -=+⋅-1222()x y i x yi -''+-=+-222x y i +--+=+x y ''==221x y ''+=221+=整理得22230x y x +-++=即22(1)(1x y -+-= 例5．证明：设222cossin i nei n n πππζ==+，1,,n A A ⋅⋅⋅对应的复数是211,,,,n ζζζ-⋅⋅⋅。
又设P 对应的复数为cos sin i z e i θθθ==+，1112221()()(1)nn n n k kkk k k k k k k PA z z z z z z ζζζζζ-----=====-=--=--+∑∑∑∑11122n n n kk k k k z z z n n ζζ----====--+=∑∑∑例6．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中，依次取21,,x ωω=（设122i ω=-+），则0122012220122(1)(1)n nnS S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩相加得2032(1)(1)2(cos sin )(cos sin )3333nnnnn n S i i ππππωω=++++=+++- 得036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ 在0122012220122(1)(1)nnn S S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩中从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得 22111(2)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得22211(4)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+例7．解：设ni n ππεsincos+=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεε 为012=-nx的根。
k k k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin n π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεε ,而)())(()1(224222----n x x x εεε =12)2(2)1(2+++--x x x n n ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε12)1(sin 2sin sin -=-∴n n n n n n πππ2．实系数一元二次方程，0∆<时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数讨论。
【解】1) 504m ∆≥⇔≥时，方程有两个实根，其中有一根为1或-1 代入得11m =-或2) 504m ∆<⇔>时，方程有两个共轭的虚根，由韦达定理2112zz m z m =-==⇒=综上所述：1m =±或26．椭圆1361622=+y x 8．【解】设,,z x yi x y R =+∈040040404040x z x yi y ≤≤⎧=+⇒⎨≤≤⎩ 2222222240014040404001xx yx y i yz x y x y x y⎧≤≤⎪+⎪=+⇒⎨++⎪≤≤⎪+⎩2222040040400400x y x y x x y y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⇒⎨+-≥⎪⎪+-≥⎩ 由线性规划知图中阴影部分即为区域A故面积为22314020120020042ππ⨯-=- 11．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中， 依次取1,1,,x i i =--（4次单位根），则相加得0484()2(11)(1)(1)n n n nn n n C C C i i +++⋅⋅⋅=+-+++-2222(cossin )2(cos sin )4444nn nnn i i ππππ=+++- 所以048121(22cos)24nn n n n n C C C π-+++⋅⋅⋅=+。