高二下学期期中数学试卷(理科)第12套真题
高二下学期期中数学试卷(理科)
一、选择题
1. 因为i是虚数单位,复数,则z的共轭复数是()
A .
B .
C .
D .
2. 用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边的项是()
A . 1
B . 1+a
C . 1+a+a2
D . 1+a+a2+a4
3. 下列推理过程属于演绎推理的为()
A . 老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验
B . 由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出1+3+5+…+(2n﹣1)=n2
C . 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D . 通项公式形如an=cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列,则数列{﹣2n}为等比数列
4. 极坐标方程ρ2cos2θ+1=0表示的曲线是()
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
5. 已知f(x)=x2+2x?f′(1),则f′(0)等于()
A . ﹣2
B . 2
C . 1
D . ﹣4
6. 直线(t为参数,α是直线的倾斜角)上有两点P1,P2,它们所对应的参数值分别是t1,t2,则|P1P2|等于()
A . t1+t2
B . |t1|+|t2|
C . |t1+t2|
D . |t1﹣t2|
7. 已知函数f(x)=(2x﹣x2)ex,给以下四个结论:①f(x)>0的解集为{x|0
<x<2};② 是极小值,是极大值;③f(x)有极小值,但无最小值;④f(x)有极小值,也有最小值.其中正确的是()
A . ①②
B . ①②③
C . ①②④
D . ②④
8. 如图,在平面直角坐标系xoy中,将直线与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积
,以此类比:将曲线y=x2(x≥0)与直线y=2及y
轴所围成()
A . π
B . 2π
C . 3π
D . 4π
9. 若函数f(x)=x(x﹣c)2在x=3处有极大值,则c=()
A . 9
B . 3
C . 3或9
D . 以上都不对
10. 若函数f(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在区间[ ,2]上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是()
A . (﹣∞,)
B . (﹣∞,)
C . (﹣,)
D . (,+∞)
11. 已知函数f(x)与f’(x)的图象如图所示,则函数的单调递增区间为()
A . (0,4)
B .
C . (0,1),(4,+∞)
D . (﹣∞,0),(1,4)
12. 已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的,如果存在x0∈[a,
b],使得成立,则称x0为函数f(x)在[a,b]上的“好点”,那么函数f(x)=x2+2x在[﹣1,1]上的“好点”的个数为()
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题:
13. 如图,设D是图中边长为4的正方形区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为________.
14. (文)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f(5)+f′(5)=________.
15. 已知如下等式:
2+4=6;
8+10+12=14+16;
18=20+22+24=26+28+30;
…
以此类推,则2018出现在第________个等式中.
16. 在实数集R中定义一种运算“*”,对于任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:
⑴对任意a,b∈R,a*b=b*a;
⑵对任意a∈R,a*0=a;
⑶对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)﹣2c.
关于函数f(x)=(ex)* 的性质,有如下命题:
⑴f(x)为偶函数;
⑵f(x)的x=0处取极小值;
⑶f(x)的单调增区间为(﹣∞,0];
⑷方程f(x)=4有唯一实根.
其中正确的命题的序号是________.
三、解答题:
17. 已知复数z=(2+i)m2﹣.
(1)当实数m取什么值时,复数z是纯虚数;
(2)若z在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上,求|z|.
18. 综合题。
(1)当n≥0时,试用分析法证明:;
(2)已知x∈R,a=x2﹣1,b=2x+2.求证:a、b中至少有一个不小于0.
19. 已知函数f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,g(x)=x2﹣2x+b,当时,f(x)与g(x)有两个交点,求实数b的取值范围.
20. 已知函数fn(x)= ,数列{an}满足an+1=f’n(an),a1=3.
(1)是否存在n,使得fn(x)在x=1处取得极值,若存在,求n的值,若不存在,说明理由;
(2)求a2,a3,a4的值,请猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
21. 已知函数f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1(k∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)= 满足:对任意的x1,x2∈[0,1],都有|g(x1)﹣g(x2)|≤1恒成立,试确定实数k的取值范围.
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l1的极坐标方程为ρsin(θ﹣)= ,直线l2的极坐标方程为θ= ,l1与l2的交点为M.
(Ⅰ)判断点M与曲线C的位置关系;
(Ⅱ)点P为曲线C上的任意一点,求|PM|的最大值.