初等数学建模试题极其标准答案

1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。

你是否走得越快，淋雨量越少呢？
2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书
馆借出书。

再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？
3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早
6：00从B下山，晚18：00到A。

问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？
4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？
5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家
中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。

分析半小时后，狗在何处？
6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先
约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。

用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？
7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至
少存在两人他们认识的人一样多。

8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10
端小孔的
面积为0.5
9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情
下的刹车距离。

如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。

包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。

为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L(
1q -+v
x
),v≤x
Q(v)=
L(
v
x
-q +1),v>x
2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t 以周为单位）
其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性题得X(t) =70[1-e
t 10
]
由于当t ∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。

3.解：我们从山脚A 点为始点记路程，设从A 到B 路程函数为f （t ）, 即t 时刻走的距离为f （t ）;同样设从B 点到A 点的路程为函数g （t ）。

由题意有 f(8)=0,f(18)=|AB|，g （8）=|AB|，g （18）=0；
令h （t ）= f （t ）--g （t ），则有h(8)= f(8) -- g （8）=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0 又注意f （t ），g （t ）都是时刻t 的连续函数，因此h （t ）也是时刻t 的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t 。

使h （t 。

）=0，即f （t 。

）=g （t 。

） 所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解：设I 为平面上任一封闭曲线，p 为平面上一点（不妨设p 在I 内），则存在已过点p 的直线，将I 所围的面积二等 分，如下图
设l为过点p的一条直线，若S1= S1，则得证，否则设S1 >S2,l与x 轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S2 ，S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2（a）,则记S1（a）= S1, S2（a）= S2, f(a+∏)<0,且f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，∏）存在ā使f（ā）=0，a=ā对应的直线即为所求。

5．解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。

6．解：设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0≤x≦60,0≦y≦60，若两人相遇则有|x-y|≦10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A={（x，y）|≤x≦60,0≦y≦60}
它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为
G={（x，y）, |x-y|≦10}
其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306 7. 证明：设第i个人认识的人为s（i），则s（i）∈{0.1.2.3……N-1} 设没有两个人认识的人一样多，则s（1），s（2），……互不相等，则s（i）取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第ki个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第k2人，故s（k）至少为1，与s（k2）=0矛盾，得证。

8．解：由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S gh
2，其中0.62为流量系数S为空口横截面，g为重力加速度，h为从从空口到水面的高度，故有dv=0.31gh
2dt，
另一方面，在△t时间内，水面由h降至h+dh（dh<0）,则仅有
dv=-∏r*r*dh=-∏/3*h*h*dh, 所以有0.31gh 2dt=-∏/3*h*h*dh ，再由h(0)=10,联立求得其解为
t=(∏/3)*(2/5)*1/(0.31g 2(5.210-5.2h ,当水流完时，h=0， 解得t=2∏/(15*0.31g 2)*5.210
9．解：设t=0时为开始刹车的时刻，x （t ）为从t=0到t 时刻所幸的距
离，由刹车时所受的制动力为
-uW
1
100*100100
+-W*1
100*1001
+，其中W 为车重，故x （t ）满
足g
w *d （dt/dt ）/dt=-uW
错误!未找到引用源。

-W*1
100*1001
+
又由x （0）=0，dx/dt|t=0=v 。

解得x （t ）=-1/2（1
100*100100+ug +1100*100+g
）t 2
+v 。

*t
故制动时间为 t b =v 。

/(1
100*100100+ug
+1100*100+g )
因此刹车距离为 x(t b )=1/2*[ v 。

/(1
100*100100+ug
+1100*100+g )]
同理可得汽车由西驶来时，刹车距离为1/2*[ v 。

/(1
100*100100+ug
+1100*100+g )]
10.解：假设管道是直的圆的、粗细一样，带子宽度一样。

参数宽为W ，圆管周长为C ，缠绕角度为a,
则W=C*sina；a=arcsin(w/c)
当管道长为l，按上述方式包扎需要的带孔为L，此时管道表面积与带子总面积为L*W，则
2-
L*W，则L*W-l*C=W*W
c2
2-+l*C）/w
即L= （W*W
c2。