容斥原理问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理是概率论中的一种计算方法，用于求解多个事件的交集和并
集的概率。
容斥原理通过对各种情况进行分类，然后逐步减去重复计
算的部分，从而得到最终的结果。
容斥问题是指给定一组事件，求满足其中至少一个事件发生的概率。
通常情况下，如果直接计算这个概率比较困难，就可以通过容斥原理
来简化计算过程。
容斥问题的一般形式可以描述为：给定一组事件 A1, A2, ..., An，
求至少一个事件发生的概率P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)。
容斥原理告诉我们，这个概率可以通过分别计算每个事件发生的概率，再减去交集事件发生的概率，再加上相交事件发生的概率，以此类推，最终得到结果。
具体而言，容斥原理的公式可以表示为：
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - ... - P(An-1 ∩ An) + ...
通过容斥原理，可以将一个复杂的问题分解为一系列简单的事件，从
而使计算过程更加简单明了。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
容斥原理的应用
容斥原理的应用容斥原理是一种常见的数学方法，可以用于解决一些实际问题。
在本文中，我们将探讨容斥原理在日常生活中的应用。
一、生日问题生日问题是指，在一个房间里有n个人，问他们当中至少有两个人生日相同的概率是多少。
这个问题看似简单，但其实并不好计算。
不妨先考虑只有两个人的情况，假设第一个人的生日为任意一天，那么第二个人与之生日不同的概率为364/365，两个人生日都不同的概率为(364/365)^n，所以他们生日相同的概率为1-(364/365)^n。
接下来考虑3个人的情况，设Pn为至少两人生日相同的概率，则有：P3 = 1－(364/365)(363/365)－(364/365)(364/365) －(363/365)(364/365) ≈ 0.0082可以发现，当n增大时，计算变得非常繁琐。
这时，就可以考虑用容斥原理解决问题。
首先，假设第一个人的生日为1月1日，第二个人的生日为1月2日，第三个人以及之后所有人的生日都不在1月1日和1月2日，这时，至少两个人的生日相同的情况就只有两种：1、第二个人的生日与之后某个人的生日相同；2、第三个人的生日与之后某个人的生日相同，并且这个人的生日不与第二个人的生日相同。
根据容斥原理，至少两个人生日相同的概率为：Pn = 1－Cn1*(364/365)^(n-1)+(Cn2*(364/365)^(n-2) -Cn2*(363/365)^(n-2))+...+(-1)^(n-1)*Cn(n-1)*(364/365)^1其中，Cn1表示从n个人中选1个人的组合数，Cn2表示从n个人中选2个人的组合数，以此类推。
这个式子看起来有些复杂，但是用计算器可以很方便地求出来，比如当n=23时，P23≈0.507。
二、区间问题在数学中，一个区间通常表示两个数之间的所有实数。
例如[0, 1]表示0到1之间的所有实数，包括0和1。
现在考虑将[0, 1]划分成n个子区间，每个区间的长度可以不同。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
容斥原理例题
--------------- 名师点拨....................学科:学科：奥数一教学内容：第四讲容斥原理（二）开始学习上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图要计算阴影部分的面积，我们记AHB 为圆A与圆B公共部分的面积，BHC为圆B与圆C公共部分的面积，AHC表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-AHB-BnC-AnC+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-AnB-BnC-AnC+X” 式中，A, B, C, AnB, Bnc, Anc, x 和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数一（既能被3整除又能被5 整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7 整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数二能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000^3=333……1有 333 个。
容斥原理问题经典例题
容斥原理问题经典例题在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。
它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。
下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。
例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。
请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25 ＋ 20 ＝ 75 人。
但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。
所以要减去重复计算的部分：既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。
所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。
所以要再加上 3 人。
综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。
例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。
其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。
请问该校参加课外活动的学生共有多少人？我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋70 ＝ 280 人。
然后减去重复计算的部分：既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。
但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。
因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。
容斥原理
牛吃草问题
例题：牧场上有一片青草，每天匀速生长，已知15头牛10天可以吃完这片青草，25头牛5天可以吃完这片青草，如果有30头牛，那么几天可以吃完这片青草？
1、牧场上有一片每天匀速生长的牧草，这片牧草可以供10头牛吃20天，可以供15头牛
吃10天，问：可以供25头牛吃几天？
2、牧场上有一片牧草，供23头牛5周吃完，供17头牛10周吃完，假定草的生长速度不
变，则该牧场可供16头牛吃几周？
3、某水库原来有一定存水量，每天河水均匀流入水库，7台抽水机20天可以将该水库抽干，
9台同样的抽水机15天可以抽干，若要求6天抽干该水库，则需要多少台抽水机？
4、有一个蓄水池塘，每天都有水均匀地流入，如果用5台抽水机15天可以将水抽干，6
台同样的抽水机10天可以将水抽干。
问：蓄水池塘的水需几台抽水机一天就可以将水抽干？
5、秋天到了，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
牧场上的草可以供20头牛吃6天，或
可以供16头牛吃7天，问：该牧场可以供13头牛吃几天？
6、某演唱会在入场前有600人排队，加入开门后每分钟来的人数是固定的，则一个入口每
分钟可以进15人；如果开放4个入口，则20分钟后就没有人排队；如果开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队了？
7、一个游泳池装了许多相同的出水管，同时游泳池每分钟由进水管进相等的水量，如果开
29个出水管则6分钟将水排完；如果开25个出水管则要9分钟将水排完，那么需要开多少个出水管？
8、有一牧场长满青草，并均匀生长，15头牛30天可以将草吃完，18头牛24天可以将草吃完，现有若干头牛吃了6天后，卖掉了8头牛，余下的牛再吃2天草就吃完了，问：牧场原来有多少头牛？。
第二章容斥原理习题及解答
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
500 35
3
500 5
7
33
4
29
第二章容斥原理习题
3、A、B、C三种材料用作产品I、II、 III的原料，但要求I禁止用B、C作原料， II不能用B作原料， III不允许用A作原料， 问有多少种安排方案？（假定每种材料 只做一种产品的原料）
|
A1
A2
A3
|
10
3 10
1
（10+3）=66-13=53
即为所求
第二章容斥原理习题
7、n个单位各派两名代表去出席一会议。 2n位代表围一圆桌坐下。试问： （a）各单位代表并排坐着的方案是多少？ （b）各单位的两人互不相邻的方案数又 是多少？
参考答案
[解] （a）方案数为(n-1)!2n （b）设第i单位代表相邻的方案数为Ai
5、求从O(0,0)点到(8,4)点的路径数，已 知(2,1)到(4,1)的线段， (3,1)到(3,2)的线 段被封锁。
参考答案
[解]设S为O(0,0)点到(8,4)点的所有路径
的集合。则
|
S
|
8
4
4
495
（8，4）
（0，0）
参考答案
[解(续)] 令
A1 表示S中经过线段(2,1)-(3,1)的路径
参考答案
[解(续)]
s4
10
3
2
3! 3!
30 3！ 2！
420
s5 12 3！1！ 72
s6 1 3！ 0！ 6
s7 0
s8 0
故
| A12 A23 L A89 |
为所求 1680 3360 2940 1440 420 72 6 174
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容斥原理问题——基础学习一、解答题
2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）
A．13 B．22 C．33 D．41
【答案】B
【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。
【结束】
3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？（）
A． 30 B．35 C．57 D．65
【答案】A
【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。
【结束】
4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41
【答案】C
【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。
【结束】
5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。
【结束】
7、三个集合容斥原理例1：某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不交三门课的外语教师有多少名？（）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题，根据容斥原理可以得到，至少教英、日、法三门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4=106，不做这三门课的外语教师人数为120-106=14名。
【结束】
8、三个集合容斥原理例2：对厦门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。
其中58人喜欢看NBA；38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看足球的有（）。
A．22人 B． 28人 C．30人D．36人
【答案】A
【解题关键点】求只喜欢看足球的，只要种人数减去喜欢看NBA和喜欢看赛车的，但多减去了既喜欢看NBA又喜欢看赛车的，再加回去即可，100-58-38+18=22人。
【结束】
9、三个集合容斥原理例3：实验小学举办学术书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅？（）
A．6 B．10 C．16 D．20
【答案】A
【解题关键点】28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的，也就是五年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得，（五年级+六年级）+2×其他年级=28+24，因此其他年级的有（28+24-20）÷2=16幅，又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级参展的书法作品共有（16-2）÷2=6幅。
【结束】
10、三个集合容斥原理例4：某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多( )。
A.1人
B.2人
C.3人
D.5人
【答案】C。
【解题关键点】如图所示：
上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分别人2、1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+1+1+2)=2(人)，5-2=3(人)。
【结束】。