高考数学2015第二次质检数学理试题及答案(3月)

2015年高中毕业班质量检测

理科数学能力测试

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

1．样本数据12,,,n x x x 的标准差

()()()222121n s x x x x x x n ??=-+-++-?

?， 其中x 为样本平均数； 2．球的表面积、体积公式： 2

4S R =π,343V R =π，

其中R 为球的半径．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有

且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1． 已知全集U =R ，集合{}22M x x =-<…，{}

P x y x ==，则()U

M

P e等于

A ．[)2,0-

B ．[]2,0-

C ．[)0,2

D ．()0,2

2． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上

一点M 的坐标为(3,1)，则cos()3

+π

α的值是

A ．0.5-

B ．0

C ．0.5

D ．1

3． 在等差数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则5a 的值是

A ．5-

B ．12

-

C ．

12

D ．

52

4． 若4

4422

24

,,2a xdx b dx c dx x

===??

?，则,,a b c 的大小关系为

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．b c a <<

D ．c b a << 5． 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为

A ．1-

B ．1

C ．0

D ．2014-

6． 在棱长为3的正方体内任取一点P ，则点P 到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概

率为 A ．

1

27

B ．

162

π C ．1162

π

-

D ．

2627

7． “直线l 垂直于平面α”的一个必要不充分条件是

A ．直线l 与平面α内的任意一条直线垂直

B ．过直线l 的任意一个平面与平面α垂直

C ．存在平行于直线l 的直线与平面α垂直

D ．经过直线l 的某一个平面与平面α垂直

开始

输出结束

0,1S n ==()

1n

S S =+-1n n =+2015?

n

S 是否

第5题图

8． 已知EFH ?是边长为1的正三角形，动点G 在平面EFH 内．若0EG EF ?<，||1HG =，

则H GE F ?的取值范围为

A ．1

[1,)2--

B ．1

[1,]2--

C ．33(,]24

--

D ．31(,)22

--

9． 若函数

()

f x 满足：12,[11]x x ?∈-，，都有

12

1

2()

()f x f x x x

--…成立，则称()f x ∈ψ．对于函数3()g x x x =-,1,0,

()cos ,0x x h x x x +

…有 A ．()g x ∈ψ且()h x ∈ψ B ．()g x ∈ψ且()h x ?ψ C ．()g x ?ψ且()h x ∈ψ

D ．()g x ?ψ且()h x ?ψ

10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下

面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是 A ．男医生

B ．男护士

C ．女医生

D ．女护士

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．） 11． 已知,a b ∈R ，i 为虚数单位，若i =2+i a b -，则2(i)a b += ★★★ ．

12． 2

2

42(2)a x a x

++展开式的常数项为280，则正数a = ★★★ ．

13． 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q 是直线PF 与Γ的一个交点．若

2PQ QF =，则直线PF 的方程为 ★★★ ．

14．已知一组正数123,,x x x 的方差22221231

(12)3

s x x x =++-，则数据1231,1,1x x x +++的平均数为

★★★ ．

15．已知函数()sin f x x x =?，有下列四个结论：

① 函数()f x 的图象关于y 轴对称；

② 存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x T f x +=成立； ③ 对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M …；

④ 函数()f x 的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合． 其中正确结论的序号是 ★★★ (请把所有正确结论的序号都填上)．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分13分）

已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的 距离为π．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若()2,f A =3a b =，求角

B 的大小．

17．（本小题满分13分）

第8题图

调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现

将这三项的满意度指标分别记为,,

x y z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w x y z

w…，则成就感为一级；若

=++的值评定中年人的成就感等级：若4

剟，则成就感为二级；若01

w

23

剟，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感

w

情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：

人员编号1A2A3A4A5A

()

x y z()

,,

1,2,1

0,1,1()

2,1,1()

1,1,2()

2,2,2()

人员编号6A7A8A9A10A

()

1,2,2()

1,1,1

1,0,0()

1,1,1()

1,2,2()

,,

x y z()

（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业

．．满意度指标z相同的概率；

（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a，从成就感等

级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X a b

=-，求X的分布列及其数学期望．

18．（本小题满分13分）

已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．

（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于

2

？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

5