多目标最优化
多目标最优化方法
多目标最优化方法解决优化问题时，如果只考虑单一目标最优，称为单目标最优化问题(Single-Objective optimization problem, SOP)，若考虑的最优目标不仅一个，而是多个，我们称为多目标最优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)。
多目标最优化是最优化方法领域中重要的研究方向之一。
多目标最优化问题起源于实际生活中复杂系统的规划设计、模型建立等。
在工程设计、工农业规划、经济规划、金融决策城、市运输、水库管理和能量分配等社会活动中，经常遇多目标最优化问题，可以说多目标优化问题是无处不有、无处不在的.正是由于这种多目标最优化问题的重要性以及普遍性才使得人们要去研究多目标最优化问题的解法。
目前，国内、外许多学者致力于这方面的研究.1.1多目标最优化问题的简史多目标最优化问题的出现，应追溯到1772年，当时Franklin提出了多目标矛盾如何协调解决的问题。
但国际上大都认为多目标最优化问题最早是由法国经济学家V. Pareto于1896年提出的。
当时，他从政治经济学的角度，把不好比较的目标归纳成多日标最优化问题。
1944年，V on.neumann和J. Morgenstern从对策论的角度，提出多个决策者彼此又互相矛盾的多目标决策问题。
1951年，T. C. Koopmans从生产和分配的活动分析中提到了多目标最优化问题，并且第一次提出了Pareto最优解的定义。
同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucker从数学归纳的角度，给出了向量极值问题的Pareto最优解，并研究了这种解的充分必要条件。
1953年，Arron等学者对凸集提出了有效解的概念，从此多目标最优化逐渐受到人们的关注。
1963年，L. A. Zadeh从控制论角度提出多目标控制问题。
这期间Charnes, Klinger, Keeney, Geoffrion等人先后都做了有效的工作。
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。
例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为：X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。
劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。
非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).如图：在[0,1]中X*=1为最优解在[0,2]中X*=a为劣解在[1,2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类：1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
多目标最优化模型
缺点
计算复杂度高
求解速度慢
难以找到全局最优 解
对初始解依赖性强
多目标最优化模 型的发展趋势
算法改进
进化算法：如遗传算法、粒子群算法等，在多目标优化问题中表现出色，能够找到多个非支配解。
机器学习算法：如深度学习、强化学习等，在处理大规模、高维度多目标优化问题时具有优势，能 够自动学习和优化目标函数。
金融投资
风险管理：多目标最 优化模型用于确定最 优投资组合，降低风 险并最大化收益。
资产配置：模型用于 分配资产，以实现多 个目标，例如最大化 收益和最小化风险。
投资决策：模型帮助 投资者在多个投资机 会中选择最优方案， 以实现多个目标。
绩效评估：模型用于评 估投资组合的绩效，以 便投资者了解其投资组 合是否达到预期目标。
混合算法：将多种算法进行融合，形成新的优化算法，以适应不同类型和规模的多目标优化问题。
代理模型：利用代理模型来近似替代真实的目标函数，从而加速多目标优化问题的求解过程。
应用拓展
人工智能领域的应用
金融领域的应用
物流领域的应用
医疗领域的应用
未来研究方向
算法改进：研究更高效的求解多目标最优化问题的算法 应用拓展：将多目标最优化模型应用于更多领域，如机器学习、数据挖掘等 理论深化：深入研究多目标最优化理论，提高模型的可解释性和可靠性 混合方法：结合多种优化方法，提高多目标最优化模型的性能和适用范围
资源分配
电力调度：多目标最优化模型用于协调不同区域的电力需求和供应，实现电力资源的 合理分配。
金融投资：多目标最优化模型用于确定投资组合，以最小风险实现最大收益，优化金 融资源分配。
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法在实际问题中，往往存在多个相互关联的优化目标，这就引出了多目标优化问题。
与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂，需要综合考虑多个目标之间的平衡和权衡。
多目标优化方法可以分为基于加权法的方法和基于多目标遗传算法的方法。
其中，基于加权法的方法将多个目标函数转化为单一的综合目标函数，通过对综合目标函数的优化来求解多目标优化问题。
而基于多目标遗传算法的方法则直接将多目标函数进行优化，通过一系列的遗传算子（如选择、交叉和变异）来逐步逼近多目标的最优解。
在多目标优化问题中，离散变量的存在进一步增加了问题的复杂性。
离散变量是指变量的取值只能是有限个数中的一个，与连续变量不同。
针对离散变量的多目标优化问题，可以采用遗传算法、粒子群算法等进化计算方法进行求解。
这些算法通常会使用染色体编码来表示离散变量，采用相应的遗传算子对染色体进行进化操作。
在实际应用中，多目标及离散变量优化方法可以应用于多个领域。
举个例子，对于资源分配问题，可以将资源的分配方案和目标函数（如成本、效益、风险等）作为多个目标进行优化，得到最优的资源分配方案。
又比如，在工程设计中，可以将设计方案的多个目标（如性能、重量、成本等）作为优化目标，找到最优的设计方案。
总之，多目标及离散变量优化方法是解决实际问题中复杂优化问题的有效手段。
通过综合考虑多个目标和处理离散变量，可以得到更加全面和合理的最优解，提高问题的解决效果。
在实际应用中，需要选择合适的优化方法和算法，并针对具体问题进行适当的调整和改进，以获得更好的优化结果。
多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨
多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨吴吉中共阿坝州委党校摘要：随着经济的发展，区域经济日益重要。
我国有着人口多、人均资源少、基础弱等特殊的国情，做好区域经济规划有助于我国的快速持续健康发展。
本文主要探讨多目标最优化的概念以及在区域经济规划中国的应用。
关键词：多目标最优化；区域经济规划；应用探讨我国的区域经济随着经济的发展不断壮大，区域经济的规划是目前工作中的重点。
将区域经济规划做好，能够有效地进行资源配置优化，实现区域经济合理的发展。
一、区域经济规划解析区域经济规划主要是指在特定的区域范围内，对未来的经济建设进行总体的部署。
区域经济规划是国民经济、区域经济的发展战略和社会发展的部分体现，是结合了科技、经济和环境的整体形式。
科学的区域经济规划首先要对区域调研，然后进行确定区域规划发展思路，然后指导进行区域经济规划的科学分析、制定、评估和落实，区域经济规划是区域经济发展的基础。
二、区域经济规划的内容区域经济规划的范围十分庞大，根据国家相关法律法规，一般规划的内容包括生产要素、自然资源已经对经济的分析等。
（一）区域经济的发展方向我国区域经济的发展不一致，在区域经济的发展方向和规划设置上有着较大的不同。
总结起来，主要有两种具有代表性的看法。
一种就是传统的发展观念，把经济的发展认为是经济的增长，所以将区域经济的发展方向就定位经济增长；另外一种看法是比较科学的发展观念，这种观念认为社会和人才是发展的主体，经济增长只是社会进步的一种手段，更多的人认可第二种观念。
区域经济规划有三个目标。
就是生态环境的改善、社会进步以及经济增长。
这些目标互相促进又彼此联系，互相扶助又彼此制约。
比如很多的经济增长目标需要对生态环境产生影响，但是经济增长又能够建设生态环境，所以在经济增长中要注意生态环境，避免对生态环境的破坏。
（二）科学选择主导产业区域的主导产业要进行科学的选择，因为这对区域经济有着巨大的影响。
所以在区域经济规划中，选择主导产业是核心环节。
多目标最优化算法
多目标最优化算法
多目标最优化算法是一种用于解决具有多个目标的优化问题的方法。
在多目标优化中，需要同时优化多个相互冲突的目标，而不是仅仅关注单个目标的最大化或最小化。
常见的多目标最优化算法包括：
1. 权重法：通过给每个目标分配权重，将多目标问题转化为单目标问题进行求解。
2. 帕累托最优解：寻找一组非支配解，这些解在不牺牲其他目标的情况下无法进一步改进。
3. 基于进化算法的方法：如遗传算法、粒子群算法等，通过模拟自然进化过程来搜索多目标最优解。
4. 妥协方法：通过找到一组权衡各个目标的解，以获得一个可接受的折衷方案。
5. 多目标优化算法的评估通常使用帕累托前沿来比较不同算法的性能。
在实际应用中，选择合适的多目标最优化算法需要考虑问题的特点、算法的复杂度、计算资源等因素。
同时，还需要根据具体情况进行算法的改进和调整，以获得更好的优化效果。
多目标最优化算法在许多领域都有广泛的应用，如工程设计、经济决策、环境管理等。
它们帮助决策者在多个相互冲突的目标之间找到最优的权衡方案，以实现综合的最优决策。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
【例1】某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。 已知制造甲产品需要A型配件5个，B型配件3个； 制 造乙产品需要A型配件2个，B型配件4个。 而在计划 期内该工厂只能提供A型配件180个，B型配件135个。 又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙 产品可获利润15元。问在计划期内甲、乙产品应该各安 排生产多少件，才能使总利润最大? 将该例所述情况列成表格: A B 利润（元）
（2）原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。 故不考虑再购买原材料。 （3）为提高效率，应充分利用设备，但不希望加班。 （4）市场虽发生变化，但利润应尽可能达到或超过56 元。 此时的决策是多目标决策问题——目标规划方 法是解决这类决策问题的方法之一。
14
与建立目标规划模型有关的概念
1. 正、负偏差变量d+,dd+ : 决策值超过目标值的部分
9
缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。 例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低 交通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命 价值呢？ 2. 序列或优先级法： 序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标 的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。 优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采 用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。 例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、 工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来 进行评定的。
10
x1 + 2x2 ≤ 10
约束条件 2x1 + x2 ≤11 x1 + 2x2 ≤ 10 x1 , x2 ≥ 0
8x1+10x2=c
8
6
4
2
1
2
34Βιβλιοθήκη 56可用图解法求得最优决策方案为： x1*=4, x2*=3, z*=62
2x1 + x2 ≤11
13
在实际决策时，还应考虑市场等一系列其他条件，如： （1）市场调查发现：Ⅰ的销量有下降趋势，故应考虑 适当减少Ⅰ的产量增加Ⅱ的产量，使Ⅰ＜ Ⅱ
安排生产：产品批量尽可能大
4
一个计划问题实际上是一个多目标决策问题。只 是由于需要用线性规划来处理，计划人员才不得不 从众多目标要求中硬性选择其一，作为线性规划的 目标函数 。 但这样做的结果可能严重违背了某些部门的愿望， 因而使生产计划的实施受到影响；或者在一开始就 由于多方面的矛盾而无法从多个目标中选出一个目 标来。
8
求解多目标决策常用的三种方法（或思想）：
1. 加权或效用系数法 2. 序列或优先级法 3. 有效解（非劣解）法
1. 加权法：
加权法把问题中的所有目标用统一的单位来度量（例 如用钱或效用系数） 这种方法的核心是把多目标模型化成单目标模型。 优点：适于计算机求解 （例如模型是线性的时候可用一般的单纯形法求解）
7
1961年，查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.w.CooPer)提 出目标规划(goal programming)，得到广泛重视和较快 发展。 目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策要求 (即使是冲突的)的存在有其合理性；在作最终决策时， 不强调其绝对意义上的最优性。 因此，目标规划被认为是一种较之线性规划更接近于 实际决策过程的决策工具 。
11
目标规划引例： 利润最大化问题
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示： Ⅰ Ⅱ 拥有量 2 1 11 原材料 kg 1 2 10 设备台时 hr 8 10 利润 元/件 试求获利最大的方案。
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模型表 述为：
12
目标函数
max z = 8x1+10x2
甲 5 3 20
乙 2 4 15
现有配件 180 135
2
设x1、x2分别表示生产甲、乙产品的件数，Z表示 总利润，当用线性规划来描述和解决这个问题时， 其数学模型为
max Z 20 x1 15 x2 s.t. 5 x1 2 x2 180 3x1 4 x2 135 x 0, x 0 1 2 x1 , x2为整数
d-
：决策值未达到目标值的部分
恒有 d+×d-=0
例如目标 z = 8x1+10x2 ≥56 可以变化为目标约束： 8x1+10x2+d1--d1+＝56 当d1 - ＝0时，目标约束与目标等价 绝对约束 2x1 + x2 ≤11 可以变换为目标约束： 2x1 + x2 +d2--d2+＝11 当d2+＝0时，目标约束与绝对约束等价
最优值：775 x1: 32
x2: 9
3
但是，如果站在工厂计划人员的立场上对此进行评 价的话，问题就不是这么简单了。
第一，这是一个单目标最优化问题。但是，一般来 说，一个计划问题要满足多方面的要求。例如 财务部门 利润目标：利润尽可能大
物资部门
销售部门
节约资金：消耗尽可能小
适销对路：产品品种多样
计划部门
5
第二，线性规划有最优解的必要条件是其可行解集 非空，即各约束条件彼此相容。但是，实际问题 有时不能满足这样的要求 。 例如，由于设备维修、能源供应、其它产品生产需 要等原因，计划期内可以提供的设备工时不能满足 计划产量工时需要 。 或由于储备资金的限制，原材料的最大供应量不 能满足计划产量的需要 。
10
缺点：难处在于如何确切地定出各个目标的优先顺序 以获得满意的求解结果。 即没有任何其他方案 能在各个方面完全胜 出这个解
3. 有效解（或非劣解）法：
有效解（或非劣解）法“不会产生”象加权法或优先 级法所具有的局限性，它将找出全部有效解集（即非 劣解）以供决策者从中挑选。 缺点：难处在于实际问题中非劣解太多，难于一一推 荐给决策者。
6
第三，线性规划解的可行性和最优性具有十分明确 的意义，但那都是针对特定数学模型而言的。 在实际问题中，决策者在作决策时，往往还会对 它作某种调整和修改，其原因可能是由于数学模 型相对于实际问题的近似性 建模时对实际问题的抽象 近似性
建模时未考虑到的新情况 决策者需要计划人员提供的不是严格的数学上的最 优解，而是可以帮助做出最优决策的参考性的计划， 或是提供多种计划方案。