多目标优化问题
多目标优化 通俗易懂解释
多目标优化通俗易懂解释多目标优化（Multi-Objective Optimization，简称MOO）是指在优化问题中需要同时考虑多个冲突的目标，并通过优化算法寻找一组最优解，使得所有目标尽可能得到满足。
与传统的单目标优化问题不同，多目标优化问题关注的是多个相互矛盾的目标之间的平衡与权衡。
为了更好地理解多目标优化，我们可以以购物为例。
假设你希望购买一台新的手机，但你关心的不仅仅是价格，还有手机的性能、摄像头质量、电池寿命等多个指标。
在这个情境下，我们面临的是一个多目标优化问题：如何在有限的预算内找到一款价格合适且在其他方面也达到自己期望的手机，使得多个目标得到最大程度的满足。
多目标优化的核心是找到一组最优解，这组解被称为“非劣解集”或“帕累托前沿”。
这些解在多个目标上都无法再有改进，并且它们之间没有明确的优先级关系，只有在具体问题和决策者的需求下，才能确定最终选择哪个解。
多目标优化可以应用于各种领域，如工程设计、金融投资、资源调度等。
在工程设计中，多目标优化可以帮助设计师在满足多个需求的前提下，找到最佳设计方案。
在金融投资中，多目标优化可以帮助投资者在追求高收益的同时，降低风险。
在资源调度中，多目标优化可以帮助管理者在有限的资源条件下，实现多个目标的平衡。
为了解决多目标优化问题，研究者和工程师们普遍采用了各种优化算法，如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法能够搜索整个解空间，并找到一组非劣解集。
在实际应用中，多目标优化需要考虑问题的复杂性、目标之间的权衡以及决策者的偏好。
因此，在进行多目标优化时，建议以下几点指导原则：1.明确目标：确定所有需要优化的目标，并理解它们之间的关系和权重。
2.寻找可行解方案：确定问题的可行解空间，并列举一些可能的解决方案。
3.选择适当的优化算法：根据问题的特征和要求，选择适合的优化算法进行求解。
4.评估与选择非劣解：通过对候选解进行评估和比较，选择一组最优解，即非劣解集。
《多目标优化的若干问题研究》范文
《多目标优化的若干问题研究》篇一一、引言在现实世界的许多问题中，我们常常需要同时考虑多个目标或指标的优化。
这些目标可能相互冲突，也可能相互关联。
多目标优化问题（MOP，Multi-Objective Optimization Problem）旨在寻找一种解决方案，使得所有目标达到最优或满意的状态。
本文将探讨多目标优化的若干问题，包括其定义、特点、研究方法及在实际中的应用。
二、多目标优化的定义与特点多目标优化问题是指同时考虑多个目标函数的优化问题。
这些目标函数可能相互冲突，即优化其中一个目标可能会损害另一个或多个目标。
多目标优化问题的特点包括：1. 目标的多样性：问题中涉及多个目标函数，需要同时考虑。
2. 目标的冲突性：各目标函数之间可能存在冲突，难以同时达到最优。
3. 解决方案的多样性：多目标优化问题可能有多个帕累托最优解（Pareto optimal solutions），即在一个目标上有所改善可能会在另一个目标上产生损失。
三、多目标优化的研究方法多目标优化的研究方法主要包括以下几种：1. 线性加权法：通过给各个目标函数赋予不同的权重，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2. 约束法：将部分目标转化为约束条件，只对剩余的目标进行优化。
3. 交互式决策法：通过与决策者进行交互，逐步调整各目标的权重和约束条件，以获得满意的解决方案。
4. 进化算法：利用进化算法（如遗传算法、粒子群算法等）在搜索空间中寻找帕累托最优解。
四、多目标优化的应用多目标优化在实际应用中具有广泛的应用领域，如工程设计、经济管理、生物医学等。
以下以工程设计为例，介绍多目标优化的应用：在机械设计中，我们可能需要同时考虑零件的重量、强度、成本等多个因素。
这些因素可以转化为多个目标函数，通过多目标优化方法寻找满足所有目标的最佳设计方案。
例如，在汽车制造中，可以通过多目标优化方法降低汽车重量、提高燃油效率、减少制造成本等。
五、多目标优化的挑战与展望尽管多目标优化在许多领域取得了显著的成果，但仍面临一些挑战和问题。
《多目标优化的若干问题研究》范文
《多目标优化的若干问题研究》篇一一、引言在当今的复杂系统中，多目标优化问题日益凸显其重要性。
多目标优化问题涉及到多个相互冲突或相互依赖的目标，需要在这些目标之间寻找最佳的平衡点。
这类问题在工程、经济、管理、生物等多个领域均有广泛应用。
本文旨在研究多目标优化问题的若干问题，探讨其解决方法及实际应用。
二、多目标优化问题的基本概念与特性多目标优化问题是指同时考虑多个目标函数的优化问题。
这些目标函数往往相互冲突，即一个目标的改善可能导致其他目标的恶化。
因此，多目标优化问题的解不是单一的，而是一个解的集合，即帕累托最优解集。
多目标优化问题的特性包括：目标函数的多样性、目标的冲突性、解的复杂性等。
三、多目标优化问题的解决方法针对多目标优化问题，目前主要有以下几种解决方法：1. 权重法：通过给每个目标分配权重，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
但权重的分配往往依赖于决策者的主观判断，具有一定的主观性。
2. 交互式多目标决策法：通过决策者与算法的交互，逐步确定各目标的优先级和折衷方案。
此方法充分考虑了决策者的偏好和价值观，具有较高的实用性。
3. 遗传算法：通过模拟自然进化过程，搜索多目标优化问题的帕累托最优解集。
该方法能够处理复杂的非线性关系和离散变量，具有较好的全局搜索能力。
4. 神经网络法：利用神经网络的自学习和自适应能力，建立多目标优化问题的映射关系，寻找帕累托最优解集。
该方法具有较高的计算效率和较好的鲁棒性。
四、多目标优化问题的应用研究多目标优化问题在各个领域均有广泛应用，如工程优化、经济决策、管理系统优化等。
以工程优化为例，多目标优化问题可以应用于机械设计、电力系统设计、交通运输等多个方面。
例如，在机械设计中，需要考虑重量、成本、性能等多个目标，通过多目标优化方法可以找到最佳的平衡点。
五、研究现状与展望目前，多目标优化问题已成为研究热点，取得了丰富的成果。
然而，仍存在一些挑战和问题需要进一步研究。
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点多目标优化问题是指在同一优化问题中存在多个冲突的目标函数，需要找到一组解，使得每个目标函数都能达到最优。
在解决这类问题时，可采用直接法和间接法两种不同的方法。
本文将会对直接法和间接法进行详细的介绍，并分析它们各自的优点和缺点。
直接法直接法也被称为权衡法或综合法，它将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过综合考虑各个目标函数的权重，求解一个综合目标函数。
直接法的基本思想是将多个目标函数进行线性组合，构建一个综合目标函数，然后通过求解单个目标函数的优化问题来求解多目标问题。
优点：1.简单直观：直接法将多目标问题转化为单目标问题，相对于间接法来说，更加直观和易于理解。
2.数学模型简化：直接法通过线性组合，将多个目标函数融合为一个综合目标函数，从而简化了数学模型，降低了计算难度。
3.基于人的主观意愿：直接法需要设定各个目标函数的权重，这样通过调整权重的大小来达到不同目标之间的权衡，符合人的主观意愿。
缺点：1.主观性强：直接法中的权重需要依赖专家经验或决策者主观意愿来确定，因此结果可能受到主观因素的影响。
2.依赖权重设定：直接法对于权重设定非常敏感，权重的选择对最终的结果具有较大的影响，不同的权重选择可能得到不同的解决方案。
3.可能出现非最优解：由于直接法是通过综合目标函数来求解单目标问题，因此可能会导致非最优解的出现，无法找到所有的最优解。
间接法间接法也称为非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA），它是一种利用遗传算法的非支配排序方法来解决多目标优化问题的方法。
通过建立种群的非支配排序，通过选择、交叉和变异等遗传算子来生成新的种群，并不断迭代，直到找到一组非支配解集。
优点：1.高效性：间接法利用遗传算法，并采用非支配排序的思想，能够快速收敛到一组非支配解集，有效地解决多目标优化问题。
2.多样性：间接法通过种群的选择、交叉和变异等操作，能够保持种群的多样性，不仅可以得到最优解，还可以提供多种优秀的解决方案供决策者选择。
数学建模中的多目标优化问题
数学建模中的多目标优化问题在数学建模中，多目标优化问题是一个重要且具有挑战性的问题。
在实际应用中，我们常常面临的是多个目标之间的矛盾与权衡，因此需要找到一个平衡点来满足各个目标的需求。
本文将介绍多目标优化问题的定义、解决方法以及应用案例。
第一部分：多目标优化问题的定义多目标优化问题是指在给定的约束条件下，寻找多个目标函数的最优解的问题。
常见的形式可以表示为：最小化/最大化 f1(x), f2(x), ..., fn(x)其中，fi(x)表示第i个目标函数，x表示决策变量。
多目标优化问题与单目标优化问题的不同之处在于，单目标问题只需考虑一个目标函数，而多目标问题需要同时考虑多个目标函数。
第二部分：多目标优化问题的解决方法在解决多目标优化问题时，常用的方法有以下几种：1. 加权求和法（Weighted Sum Method）：将多个目标函数加权求和，转化为单目标函数进行求解。
具体地，可以通过设置不同的权重系数，使得不同目标函数在求解中的重要性得到体现。
2. Pareto优化法（Pareto Optimization）：Pareto优化法基于Pareto最优解的概念，即同时满足所有约束条件下，无法改善任何一个目标函数而不损害其他目标函数的解集。
通过构建Pareto最优解集，可以帮助决策者在多个解中进行选择。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。
在多目标优化问题中，遗传算法通过维护一个种群中的多个个体，以逐步进化出Pareto最优解集。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食的行为进行优化的算法。
在多目标优化问题中，粒子群优化算法通过在解空间中搜索多个粒子，通过粒子之间的合作与竞争，逐步逼近Pareto最优解。
第三部分：多目标优化问题的应用案例多目标优化问题在各个领域都有广泛的应用。
《多目标优化的若干问题研究》范文
《多目标优化的若干问题研究》篇一一、引言多目标优化是一个广泛存在于诸多领域的实际问题，从经济、工程到科学研究和教育系统等多个领域均涉及到了多目标优化的挑战。
由于各个目标之间可能存在冲突和矛盾，如何平衡和协调这些目标，以达到整体最优解，成为了多目标优化的核心问题。
本文旨在探讨多目标优化的若干问题，以期为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考和指导。
二、多目标优化的基本概念和特点多目标优化问题涉及多个目标函数需要同时进行优化，而这些目标之间往往存在冲突和矛盾。
其基本特点包括：1. 目标多元性：多目标优化问题中存在多个目标需要同时考虑。
2. 目标冲突性：各个目标之间可能存在冲突和矛盾，难以同时达到最优。
3. 解决方案的多样性：多目标优化问题的解往往不是唯一的，而是存在多个最优解。
4. 复杂性：随着目标数量的增加，问题的复杂性和求解难度也会相应增加。
三、多目标优化问题的研究现状目前，多目标优化问题已经成为各个领域的研究热点。
国内外学者在理论研究和实际应用方面均取得了丰富的成果。
然而，由于多目标优化问题的复杂性和难度，目前仍存在许多待解决的问题和挑战。
例如，如何设计有效的算法来求解多目标优化问题、如何平衡各个目标之间的关系以获得更好的整体解等。
四、多目标优化的关键问题及研究方法（一）关键问题1. 目标冲突的协调与平衡：如何有效地协调和平衡各个目标之间的关系，以获得更好的整体解。
2. 算法设计与选择：针对不同类型的多目标优化问题，如何设计有效的算法来求解。
3. 解的评价与选择：如何评价和选择多目标优化问题的解，以获得更好的实际应用效果。
（二）研究方法1. 数学规划法：通过建立数学模型，将多目标优化问题转化为单目标优化问题，然后采用传统的优化方法进行求解。
2. 多准则决策法：根据决策者的偏好和需求，对各个目标进行权重分配，然后综合各个目标的评价结果进行决策。
3. 智能优化算法：如遗传算法、粒子群算法等，通过模拟自然界的优化过程来求解多目标优化问题。
多目标优化问题的解法概述
多目标优化问题的解法概述多目标优化问题是指在优化过程中需要同时考虑多个目标函数的情况。
在实际生活和工程领域中，很多问题都涉及到多个相互矛盾的目标，因此如何有效地解决多目标优化问题成为了一个重要的研究方向。
本文将对多目标优化问题的解法进行概述，介绍几种常见的解法方法。
**多目标优化问题的定义**在多目标优化问题中，通常会涉及到多个冲突的目标函数，这些目标函数之间可能存在相互制约或者矛盾。
多目标优化问题的目标是找到一组解，使得这些解在多个目标函数下都能取得较好的性能，而不是仅仅优化单个目标函数。
**多目标优化问题的解法**1. **加权和法**加权和法是一种简单而直观的多目标优化方法。
在加权和法中，将多个目标函数线性组合成一个单目标函数，通过调整各个目标函数的权重来平衡不同目标之间的重要性。
然后将这个单目标函数作为优化目标进行求解。
加权和法的优点是简单易实现，但缺点是需要事先确定好各个目标函数的权重，且对权重的选择比较敏感。
2. **Pareto最优解法**Pareto最优解法是一种经典的多目标优化方法。
在Pareto最优解法中，通过定义Pareto最优解的概念，即不存在其他解能同时优于该解的情况下，找到一组解集合，使得这组解集合中的任意解都无法被其他解所优于。
这组解集合被称为Pareto最优解集合，解集合中的解称为Pareto最优解。
Pareto最优解法的优点是能够找到一组在多个目标下都较优的解，但缺点是求解过程比较复杂，需要对解空间进行全面搜索。
3. **多目标遗传算法**多目标遗传算法是一种基于进化计算的多目标优化方法。
在多目标遗传算法中，通过模拟生物进化的过程，利用遗传算子对解空间进行搜索，逐步优化个体的适应度，从而得到Pareto最优解集合。
多目标遗传算法的优点是能够有效处理多目标优化问题，具有较好的全局搜索能力和收敛性，但缺点是算法参数的选择和调整比较困难。
4. **多目标粒子群优化算法**多目标粒子群优化算法是一种基于群体智能的多目标优化方法。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题.例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件.多目标优化的数学模型可以表示为：X=［x1，x2，…，x n ]T——-—--—--—n维向量min F（X)=[f1(X），f2（X),…，f n(X)]T———-—----—向量形式的目标函数s.t. g i(X）≤0，（i=1,2,…，m)h j（X）=0,(j=1,2，…,k）--—-—-——设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解,劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*）≤f(X），则X＊为优化问题的最优解。
劣解X＊：在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f（x)≤f（X＊）, 即存在比解更优的点。
非劣解X＊：在区间D中不存在X使f（X)全部小于解的函数值f(X*)。
如图：在[0，1]中X＊=1为最优解在[0，2］中X＊=a为劣解在[1，2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类:1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2）间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题.如:分层系列法等。
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多目标优化问题5.1多目标优化的基本概念大多数工程设计问题都具有多个目标，设计工作需要同时极大化（或极小化）这些目标，并且满足约束条件。
一般情况下，这些和被设计系统的性能相关的目标是内在冲突的。
这种多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化（Multi-Objective Optimization,MO）问题。
解MO 问题通常的做法是根据某效用函数将多目标合成单一目标来进行优化。
但大多数情况下，在优化前这种效用函数是难以确知的。
另一方面单目标优化问题中的任意两个解都是可以比较其好坏的，因此说问题有一个最优解（如果存在最优解）是毫无争议的；而多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标劣化作为代价，也就是说，要同时使这多个子目标都一起达到最优值是不可能的，而只能是在它们中间进行协调合折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。
而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。
与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，这是多目标优化问题与单目标优化问题最大的区别。
因此在多目标优化问题中往往有一些无法简单进行相互比较的解。
这种解称作非支配解或Pareto 最优解，5.1.1多目标优化问题的数学模型在工程实际中许多实际问题往往期望几项指标同时达到最优值，如在机型工程中，可能希望机器（或零部件）的强度、刚度、经济性、工艺性、使用性及动力性能都有最优。
一般的多目标优化问题，就是在可行设计空间中寻找一组设计变量以同时优化几个不同的设计目标。
多目标优化问题一般可描述为下面的数学模型：T p x f x f x f x f V )](,),(),([)(min21"=−（读作x 属于集合X 。
满足约束条件的解x 称为可行解） X x t s ∈.. （读作X 是m R X ⊆m R 的子集。
集合X 表示由所有满足约束条件的解所组成的一个集合，叫做可行解集合）多目标优化 多目标优化 多目标优化式中，表示向量极小化，即向量目标中的各个子目标函数都尽可能地极小min−V T p x f x f x f x f )](,),(),([)(21"=多目标优化问题的最优解与单目标优化问题有着本质的不同，为正确地求解多目标优化问题，对多目标最优解和Pareto 最优解进行定义。
定义 1 设是多目标优化模型的约束集，是多目标优化时的向量目标函数，。
若 m R X ⊆X x ∈2p R x f ∈)(),,2,p "X x ∈1,)()(21x f x f k k ≤1(k =∀ （对于所有的子目标）且 )()(21x f x f k k <),,2,1(p k "=∃ （表示存在） 则称解比解优越。
1x 2x 定义 2 设是多目标优化模型的约束集，是多目标优化时的向量目标函数。
若，并且比X 中的所有其它解都优越，则称是多目标优化模型的最优解。
m R X ⊆p R x f ∈)(X x ∈11x 1x x m R X ⊆p R x f ∈)(x 由该定义可知，多目标优化问题的最优解就是使函数的每一个子目标函数都同时达到最优点的解，如图所示。
显然在大多情况下，这样的最优解是不存在的。
1)(x f 定义 3 设是多目标优化模型的约束集，是多目标优化时的向量目标函数。
若X ∈~，并且不存在比更优越的x ,则称是多目标优化模型的Pareto 最优解，或称为非劣解。
多目标优化问题的最优解x ~x ~m R X ⊆X x t s ∈..由该定义可知，多目标优化问题的Pareto 最优解仅仅是它的一个可以接受的“不坏”的解，并且一般多目标优化问题都存在多个Pareto 最优解，如图所示。
多目标优化 多目标优化 多目标优化多目标优化问题的最优解由Pareto 解的定义可知：在可行解中没有比Pareto 解更优的解，即Pareto 最优解集中的元素就所有目标而言是彼此不可比较的。
对一个多目标优化的问题而言，其Pareto 解不是唯一的，而是一群，所有Pareto 解的集合形成Pareto 解集，而该解集中任何一个解都是可能的最优解。
解决多目标优化问题的最好方法，就是得到均匀分布的Pareto 最优解集后，根据不同的设计要求和意愿，从其中选择最满意的设计结果。
Pareto 方法是建立在Pareto 最优解基础上的一种处理多目标问题的方法，它不同于线性加权法的地方在于：线性加权法先决定各个目标的重要程度，将多目标问题转化为单目标问题求解，实质上是单目标的优化设计，而Pareto 方法是在多目标优化的基础上，找到优化问题的Pareto 最优解，然后才是选择最适当的设计点，所以能更客观的反映多目标优化问题的实质。
一个多目标优化问题的所有Pareto 解（有效解）构成的集合称为Pareto 曲面（有效域），多目标优化问题的最终解应该从Pareto 曲面中产生。
5.2多目标优化问题的基本求解方法多目标优化问题最终获得的解实际上是所有有效解（或称有效解集）中的一个解或确定全部非支配解。
多目标优化问题的基本求解方法如下：（1）约束法根据设计者的偏好，选择一个参考目标，如，而要求其他m －1个目标函数满足一定的约束要求即可。
具体地k f （5.2） ()k m inf x 多目标优化 多目标优化 多目标优化s ．t ．()()k k f x εk =1,2,...,m,k k ∈≠0 x S ∈ 其中参数为设计者事先设定的。
k ε约束法也称约束法。
约束法求得的最优解只能保证是原多目标优化问题的Pareto 弱有效解。
对于任一个Pareto 解εx ，都存在一组参数k ε（k ＝1，2，...，m ，k ≠使得0k ）x 为相应的参数设置下用约束法求得的最优解。
约束法重点保证第0k 目标的效益，同时又适当照顾其他目标，这在许多实际设计问题的求解中颇受设计者的喜爱。
个（2）分层序列法根据各目标的重要程度不同，将m 个目标函数排序。
假设最重要，次之，依此类推，最不重要。
逐次求解下列m 个单目标优化问题。
1f 2f m f 用分层序列法求得的解是原多目标优化问题的一个Pareto 有效解。
分层序列法还融合了设计者进一步的偏好信息。
但它也存在不足之处，一是求解一个Pareto 解需要求解m 个优化问题，另一方面在不少场合设计者拒绝将m 个目标进行排序。
（3）评价函数法对于一个多目标优化问题，如果能根据设计者提供的偏好信息构造出一个实函数，使得求解设计者最满意的解等价于求解实函数，则称该多目标优化问题是可标量化的，多目标效用理论就是研究这样的实函数存在的条件和如何构造问题的。
效用理论的基础是：假定设计者的偏好可以用一个称为效用函数的实函数表示。
一旦效用函数能够被构造出来，则方案的最后选取即按效用函数值来决定。
虽然效用理论为多目标优化分析提供了一种工具，但在许多场合下，设计者所提供的偏好信息不足以确定这样的效用函数，估计或构造一个实际问题的效用函数是相当困难甚至是不可能的。
为了帮助设计者选择满意的解又克服效用理论存在的困难，于是出现了评价函数的概念。
评价函数是用来整体或局部逼进设计者心中常常是朦胧而难以构造出来的多属性效用函数，以评价方案的好坏。
它的基本思想是：针对多目标优化问题，构造出一个评价函数()()h f x ，然后求解问题min （5.3） ()(h f x )s ．t ．x S ∈用该问题的最优解作为多目标优化问题的最优解。
常用的评价函数有加权系数法（线性加权法）、理想点法、平方和加权法等，其中加权系数法和理想点法是最重要的也是当前应用最广的两种多目标优化方法。
1）加权系数法对多目标优化问题的m 个目标按其重要的程度给以适当的权系数，且，然后求解下面的线性加权问题。
()i λ0i =1,2,...,m ≥mmii =1λ=1∑()i ii =1m i n λf x ∑（5.4）s．t．x S ∈多目标优化 多目标优化 多目标优化用加权系数法求得的解是原多目标优化问题的一个Pareto 有效解。
加权系数法比较简单，应用得也非常广泛。
其缺点是权重系数没有一个实际的物理意义，在实际应用中难以合理地确定；而且如果多目标优化问题的有效解是凹有效域，则利用加权系数法不能得到所有的Pareto 解。
2）理想点法理想点法是求距离某个给定的理想点T1m f =(f ,...,f )在某种范数意义下距离最短的可行解，即在S 中寻找是f(x)与f 偏差最小的点x 。
一般情况下，(){}()k k f =min f x |x S k =1,...,m ∈。
常用的描述偏差的函数有（a ）距离模评价函数()k2u f =f -f =i 为目标个数；（b ）p 模函数，()()()1mpp k k k k=1h f x =λ|f x -f |⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑，其中1p ≤≤+∞；上面式中权系数是由设计者设定的。
(i λ0i =1,2,...,m ≥)2222（4）Pareto 方法[24]Pareto 方法假设对目标值偏好的任何信息都不存在，我们知道的信息就是对于每个目标，k ＝1，2，...，m ，其值越小越好的偏好。
Pareto 偏好定义如下：对于判据空间Z 上两点和，当且仅当至少存在一个满足，其他目标，k ＝1，2，…，m 。
由Pareto 解的定义可以知道，任意两个Pareto 解和是不能满足的。
因此，在Pareto 偏好定义下的判据空间中存在偏好关系不明确的特点。
本课题采用Pareto 遗传进化方法解决多目标参数优化问题。
k z 1z 2z 1z z ;1r z >z 1z r 2z 1r z z ≥1z ;r z 5.3基于Pareto 排序的Pareto 遗传算法的实现5.3.1 Pareto排序方法Pareto 基于排序的适应值分配方法是由Goldbelg 提出的，Goldbelg 在Pareto 最优集的基础上，提出一种将各个目标值映射到适应度函数中的基于级的适应度函数。
本章在Goldbelg 提出的Pareto 适应值分配方法的基础上，采用Pareto 排序机制[25]，应用Pareto 解集过滤器等技术，给出了求解有约束的多目标优化问题的Pareto 多目标遗传算法的有效方法。
下面介绍“优”与“劣”与“非劣”的概念：定义5.3 设,u v x x 为多目标优化问题的两个解，()()u12m x =u ,u ,...,u ,u =f()(v 12m x =v ,v ,...,v ,v =f )称u 优于v ，当且仅当{}i i 1,2,...,m ,u v i ≤∀∈ ∧ {}1,2,...,m i ∃∈i i <v u 。