新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
恩格尔系数r是年份y的函数吗？
任一年份y都有唯一确定的值r与其对应
x 3
5)
与y2 x 5；
(定义域不同)
⑵ y1 x 1 x 1与y2 ( x 1)( x 1)； (定义域不同)
⑶ f1( x) ( 2x 5 )2与f2 ( x) 2x 5. (定义域、值域都不同)
第三章 函数的概念与性质
3.1.1 函数的概念及其表示
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具
初中函数的概念定义
如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定 的值，y都有唯一的值与其对应. 那么就说x叫做 自变量，y是x的函数。 l
（1）正方形的周长l与边长x的对应关系 l 4x 这个函数与正比例函数y 4x相同吗？
范围
范围
S=350t
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
（3）你认为应该如何刻画这个函数？
对于数集 A1 {t 0 t 0.5}中的任一时刻t
通过对应关系S=350t
在数集 B1 {S 0 S 175}中都有唯一确定的路程 S和它对应
变量与变量的对应
ts
集合与集合的对应
A1 B1
B2
B2 {350,700...}
B3 {I 0 I 150} C3 C3 B3
B4 {r 0 r 1} C4 {36.69%...28.57%}
设A、B是 非空的数集 ， 使对于 集合A 中的任意一个数x 按照 某个确定的对应关系f ， 在 集合B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么 就称 f：A→为B从集合A到集合B的一个函数.
你认为这里I是t的函数吗？
（5）给定t的值，怎么给？通过图形确 定I的值怎么找？
（6）I的范围？函数值对应集合和 I的范围有什么关系？
对于 数集A3中 任一个时刻t， 按照 对应关系图3.，1-1 在数集B3中都有唯一确定的空气质量指数I 和它对应
问题4 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人 民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质 量越高，根据表3.1-1是我国某省城镇居民的恩 格尔系数变化情况。从中可以看出该地方居民 的生活质量越来越高。
问题情境 自变量集合
对应关系
函数值所在的 函数值的集合 集合
问题1 问题2 问题3 问题4
A1 {t 0 t 0.5} S=350t
A2 {1,2,3,4,5,6} w=350d
A3 {t 0 t 24}
图3.1-1
A4 {2006,2007...2015} 表3.1-1
B1
B1 {S 0 S 175}
解析式：把常量和表示自变量的字母 用一系列运算符号连接起来，得到的 式子叫做解析式. 列表法：列出表格来表示两个变量之 间的对应关系. 图象法：用图象表示两个变量之间的 对应关系.
例题讲解 例1 已知函数 f (x) x 3 1 .
2 x
⑴求函数的定义域；
⑵求 f (3), f ( 2)的值；
（2）y x与y x 2 是同一函数吗？ x
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保 持匀速运行半小时.
(1)在这半小时内，列车行进的路程S与运行时 间t的关系如何表示？这是一个函数吗？
S=350t
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
(2)有人说：这趟列车加速到350km/h后，运行 1h就前进了350km。“你认为这个说法正确吗？ 你能确定这趟列车运行多长时间前进210km 吗？”
数集A4 {2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013}
对应关系表3.1-1
数集B4 {36.69,36.81...29.35,28.57}
对于 数集A4中 任一个年份y， 按照 对应关系表3，.1-1 在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r和 它对应
问题五 上述四个问题的函数有哪些共同特征？
记作：y＝f (x)，xA
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{ f (x) | x A}叫做函数的值域.
{y y f x, x A}
函数三要素
定义域 对应关系f 值域
根据函数三要素来熟悉一次函数，二 次函数和反比例函数
函数
定义域
值域
对应关系f
y kx bk 0 R
y=ax²+bx+c R
y k k 0
x
{x x 0}
R
f kx b(k 0)
a 0, B {y y 4ac b2 }Βιβλιοθήκη 4aa 0, B {y
y
4ac b2 }
f
ax2 bx ca 0
4a
{y y 0}
f k k 0
x
3. 表示对应关系的方法：
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高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
．
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
新教材人教A版数学必修第一册课件：第三章3.1.1函数的概念
闭区间 开区间 左开右闭区间 左闭右开区间
什么是区间？ 常见区间的含义及表示方法如下表所示：
求函数的定义域和函数值 （1）求函数的定义域
什么是相同函数？ 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为
值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
解析 ①f(x)＝－x －2x，g(x)＝x －2x，对应关系不同， 故 f(x)与 g(x)不是同一函数； ②f(x)＝x，g(x)＝ x2＝|x|，对应关系不同，
故 f(x)与 g(x)不是同一函数； ③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝x10＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同， 故是同一函数； ④f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，
函数的四个特性
②任意性：即定义域中的每一个 元素都有函数值.
③唯一性：每一个自变量都有唯 一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域 到值域的对应关系.但是，从值域 到定义域的话，新的对应关系就 不一定是函数关系.
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域
函数的应用
应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知 的数学模型和数学规律对应上.
3.在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而 认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键 是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自 变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个 “程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下 便可输出某个数据，即函数值.如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加 上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加 工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得 到一个对应值.
什么是区间？ 常见区间的含义及表示方法如下表所示：
求函数的定义域和函数值 （1）求函数的定义域
什么是相同函数？ 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为
值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
解析 ①f(x)＝－x －2x，g(x)＝x －2x，对应关系不同， 故 f(x)与 g(x)不是同一函数； ②f(x)＝x，g(x)＝ x2＝|x|，对应关系不同，
故 f(x)与 g(x)不是同一函数； ③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝x10＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同， 故是同一函数； ④f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，
函数的四个特性
②任意性：即定义域中的每一个 元素都有函数值.
③唯一性：每一个自变量都有唯 一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域 到值域的对应关系.但是，从值域 到定义域的话，新的对应关系就 不一定是函数关系.
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域
函数的应用
应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知 的数学模型和数学规律对应上.
3.在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而 认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键 是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自 变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个 “程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下 便可输出某个数据，即函数值.如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加 上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加 工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得 到一个对应值.
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
高中数学人教A版 必修第一册 函数的概念 课件
x3
而 g(x) x 5 的定义域为 R. 两个函数的定义域不同， 所以不是相同的函数.
（2） f (x) x 1 x 1∣的定义域为{x∣x 1}, 而 g(x) (x 1)(x 1) 的定义域为{x∣x 1或x 1},两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是相同的函数.
练一练
1.若购买某种铅笔 x 支，所需钱数为 y 元，若每支 0.5 元，用解析法将 y 表示成 x( x {1,2,3,4} ) 的函数为( )
探究四 函数的定义域
例题
已知函数 f (x) x 5 1 .
x2
（1）求函数的定义域；
（2）求
f
(4) ,
f
2 3
的值.
（1） 使根式 x 5 有意义的实数 x 的集合是{x | x 5} ， 使分式 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 2} ，
x2
所以函数 f (x) 的定义域是{x | x 5 | {x∣x 2} {x∣x 5且x 2} .
二次函数： y ax2 bx c(a 0) 的定义域是 R，值域是 B.
当
a>0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
；
当
a<0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
.
对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 ax2 bx c(a 0) .
反比例函数： y k (k 0) 的定义域为x x 0 ，对应关系为“倒数的 k 倍”，值域为y y 0.
第 三 章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
学习目标
通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上， 引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念.
而 g(x) x 5 的定义域为 R. 两个函数的定义域不同， 所以不是相同的函数.
（2） f (x) x 1 x 1∣的定义域为{x∣x 1}, 而 g(x) (x 1)(x 1) 的定义域为{x∣x 1或x 1},两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是相同的函数.
练一练
1.若购买某种铅笔 x 支，所需钱数为 y 元，若每支 0.5 元，用解析法将 y 表示成 x( x {1,2,3,4} ) 的函数为( )
探究四 函数的定义域
例题
已知函数 f (x) x 5 1 .
x2
（1）求函数的定义域；
（2）求
f
(4) ,
f
2 3
的值.
（1） 使根式 x 5 有意义的实数 x 的集合是{x | x 5} ， 使分式 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 2} ，
x2
所以函数 f (x) 的定义域是{x | x 5 | {x∣x 2} {x∣x 5且x 2} .
二次函数： y ax2 bx c(a 0) 的定义域是 R，值域是 B.
当
a>0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
；
当
a<0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
.
对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 ax2 bx c(a 0) .
反比例函数： y k (k 0) 的定义域为x x 0 ，对应关系为“倒数的 k 倍”，值域为y y 0.
第 三 章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
学习目标
通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上， 引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念.
函数的奇偶性(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
答案：(1) 偶 ;
(2) 奇 ;
(5) 非奇非偶 ;
(3) 奇 ;
(4) 偶.3 函数的奇偶性
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)=
.
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
x
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t=
答案：t = 1
.
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
1
(3)f(x)=x+ ;
1
(4)f(x)= 2;
(5)f(x)=x-1;
(6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
6.判断下列函数的奇偶性：
( + 5)2 − 4 , ( < −1)
(1) f(x)=
( − 5)2 − 4 , ( > 1)
(2) f(x)= + − − (a∈R)
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
【课件】函数的概念及其表示+课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
≤<
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
例1
判断下列各题中的两个函数是否表示同一个函数
（1） = + 1， =
2 −1
；（2）
−1
（3） = ， = 2 ；
= ， =
3
3；
（4） = 1， = 0
函数，其中叫做中间变量， = 叫做内层函数， = 叫做
外层函数.Leabharlann 注意：①定义域永远是的范围；
②同一个下，括号内作用对象范围相同.
*抽象函数或复合函数的定义域
例3
1.已知函数()的定义域为 1,4 ，求函数 3 + 1 的定义域.
2.已知函数( 2 )的定义域为 1,4 ，求函数 的定义域.
食物支出金额
× 100%）反
总支出金额
映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越
高.表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看
出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
问题4：国际上常用恩格尔系数（ =
①年份 的变化范围是什么？恩格尔系数的变化范围是什么？
②恩格尔系数是年份的函数吗？
=
.
2.已知函数 =
是
.
−1
3
的定义域为，则实数的取值范围
2 +4+3
，
求下列函数的值域
例1 = + 1， ∈ 1，2，3，4，5 .
例2(1) = 2 − 2 + 3， ∈ 0，3 ；（2） =
− 2 + + 2；
高中数学人教A版(2019)必修第一册3.1.1 函数的概念(1)课件
2.2016年11月2日8时至次日八时，北京的温度走势如图 所示。 （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域 （2）根据图像求，这一天中，12时所对应的温度
解（1）设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为 y0C，则定义域为{t|0≤t≤24},值域为{y|2≤y≤12}. (2）由图知12时的温度约为9.70C
（3)你认为如何表述s与t的对应关系才是更为精确的？
列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是s=350t①，其 中t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数 集B1={S|0≤S≤175}, 对于数集A1中的任意时刻t,按照对应关系①在数集B1中都 有唯一确定的路程s和它对应
问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6
你认为它们是同一函数吗？为什么？
问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数
（Air Quality Index，简称AQI）变化图。
（1）如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数（AQI） 的值I？ （2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描 述I与t的对应关系吗？
可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域。因为值 域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义 域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函 数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
• 对函数概念的五点说明 • (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． • (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，
民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居 民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高
（1）你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为 什么? (2)如果是,你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？ (3)三如果我们引入集合B4={r|0≤r≤1},将对应关系表示为对于任何任意一 个年份y都有B4中唯一确定的r与之对应，你认为有道理吗？
人教A版高中数学必修第一册第三章函数的定义域和值域课件
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求函数的函数值、值域 1．求函数的函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再 _代__入___求值． 2．求函数值域时应先确定相应的_定__义__域__，再根据函数的具体形式及 其运算确定其值域．
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f(2x＋1)中 x 的取值范围(定义域)可由 2x＋1∈(－1，2)求得．
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[解] (1)要使函数有意义，即 x2－2x－3>0，
解不等式得 x<－1 或 x>3， 函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(2)由题意得x2＋x－1≠3≠00，，
x≠－1， 即x≠32．
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1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为__[_2_，__5_) _；集合{x|x≤－1， 或3<x<4}用区间表示为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__(3_，__4_)_．
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函数的定义域 函数的定义域是使 函数有意义 的所有 自变量 的集合；若函数的解析
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(3)求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域； 解：(3)(换元法)令 2x＋1＝t，t≥0，
t2－1 ∴x＝ 2 ，
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∴y＝t2－2 1＋t＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－12， ∴函数的值域为[－12，＋∞).
式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是 使每个式子有意义的自变量取值的 公共部分 的集合．
新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－ －fx2x2>0.对减函数的判断，对任意 x1<x2，都 有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 fxx11－ －fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
人教A版高中数学必修第一册第三章3.1.1函数的概念函数值域课件
人教A版()高中数学必修第一册第三章 3.1.1 函数的 概念函 数值域 课件
三.图象法：配方法 形如y ax2 bx c(a 0)
例4.求函数y x2 4x 2x 1,1的值域
分析：可以用对称轴公式先求对称轴，再画图； 也可以用配方法，得出对称轴和最值。
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三.图象法：配方法 形如y ax2 bx c(a 0)
例4.求函数y x2 4x 2x 1,1的值域
解：y x2 4x 2 x 22 6， x [1,1]
由图可知，当 x 1 时，函数有最小值 f (1) 1 4 2 3；
当x 2 时，函数有最小值 f (2) 22 4 3 3 ，无最大值。
所以所求函数的值域为y | y 3
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三.图象法：配方法
形如y ax2 bx c(a 0)
变式训练：分别求函数 f (x) x2 2x 3 在以下 x 范围内的值域: 1. x 0 ； 2.x 2 ； 3.0 x 3 .
当 x 1时，函数有最大值
f (1) 1 4 2 5
所求值域为 3,5
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四.换元法
形如y ax b
cx d
例5.求函数y x x 1的值域
解：令t x 1, 则x t2 1，且t 0
y t2 1 t t2 t 1 t 1 2 3 2 4