3.3.2.2简单的线性规划
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
26-简单的线性规划问题(2)
3.3.2简单的线性规划问题(2)教材分析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.课时分配本课时是简单的线性规划问题的第二课时，主要解决的是线性规划的应用问题.教学目标重点: 掌握约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.难点：理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.知识点：图解法求线性目标函数的最大值、最小值.能力点：函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想的运用.教育点：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.自主探究点：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力.考试点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.易错易混点：线性规划问题和非线性规划问题的区分于解决.拓展点：非线性规划问题.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式诱思探究一、复习引入简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.【设计意图】通过复习进一步熟悉解决简单线性规划问题的具体操作程序．二、探究新知请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求2z x y =+的最大值，使式中的x y 、满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组表示的平面区域如右图所示： 当0,0x y ==时，20z x y =+=， 点(0,0)在直线020l x y +=：上.作一组与直线0l 平行的直线2,l x y t t R +=∈：.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点(2,1)A -的直线所对应的t 最大.所以max 2213z =⨯-=.（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线35x y t +=在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)--的直线所对应的t 最小，以经过点917(,)88的直线所对应的t 最大.所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-, max 917351488z =⨯+⨯=. 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.三、运用新知【例1】某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t ，需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过300t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt yt 、，利润总额为z 元，那么104300,54200,49360,0,0;x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩目标函数为6001000z x y =+.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线6001000=0l x y +：, 即直线5=0l x y +：3,把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时6001000z x y =+取最大值.解方程组54200,49360,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为3601000(,)2929. 答：应生产甲产品约12.4t ，乙产品34.4t ，能使利润总额达到最大.【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.【例2】在上一节例4中（课本85页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生：若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数0.5z x y =+,可行域如右图：把0.5z x y =+变形为22y x z =-+,得到斜率为2-，在y 轴上截距为2z ,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线22y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点(2,2)M ,因此当2,2x y ==时，0.5z x y =+取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.四、课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设0t ，画出直线0l .（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.五、布置作业课本第93页习题3.3 B 组1、2、3.拓展作业：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.六、反思提升1. 让学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏的做法是明显的亮点.2.本节课的不足之处是由于整堂课课堂运算量较大，画图用时较多，后续的内容未能完成.七、板书设计。
3.3.2简单的线性规划1
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z 与哪条边界线重合时，可取得最大值.
16
解：当直线 l : y ax z 与边界线重合时，有无
数个点使函数值取得最大值， 此时有 kl kAC .
因为k AC 3 即a . 5 3 3 , 所以k l a . 5 5
时,求z的最大值和最小值. 上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域， 本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.
5
x 4 y 3 思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数 的最大、最小值？ 1.先 作 出 3 x 5 y 25 可以通过比较可行域边界顶 x 1 y 点的目标函数值大小得到。 所表示的区域 .
把例3的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 (1件) 4 0 1 2
乙产品 (1件)
资源限额
0 4 2 3
16 12 8
22
解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
线 性 约 束 条 件
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
2.作直线 l0 : 2 x y 0
x-4y+3=0
3.作 一 组 与 直 线 l0平 行 的 直 线l : 2 x y t , t R
A B
O
1 5 x=1
2x y 0
直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. 6 Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3。
3.3.2.2简单线性规划-最优整数解
目标函数
可行解 可行域 最优解
4 3 2 1
{
作出可行域 作出可行域中的整点，
0
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 3 4 5 6 7 8
③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优 解的情况有无穷多个？
④ 请你分别设计目标函数，使得 最值点分别在A处、B处、C处取得？
复习回顾
二元一次不等式 表示平面区域
应 用
直线定界， 特殊点定域
约束条件
简单的线性规划 求解方法：画、 移、求、答
作出可行域（如图）
调整优值法
15 10 B(3,9) C(4,8) 8 A(18/5,39/5) 6 4 2 0 2 4 6 8
12
18
27
但它不是最优整数解.
打网格线法
15
9
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
2 1
0
12
78
18
27
在可行域内打出网格线，
在可行域内找出最优解、线性规划整数解 问题的一般方法是：
3.3.2简单的线性规划-最优整数解
关于最优整数解的问题
例 要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板
A规格 2 1
Ｂ规格 1 2
Ｃ规格 1 3
今需要Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块， 请用数学关系式和图形表示上述要求。
应用举例
共有：
9 + 2 ( 7 + 5 + 3 + 1 )= 41
4 －4 o －4
高一数学必修5课件《3.3.2简单的线性规划(2)》
练习.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产 一件甲产品使用 4 个A配件耗时 1h，每生产一件乙产品使 用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
解：设甲、乙两种产品
A配件 B配件 耗时
分别生产x、y件，则有 甲产品 4
2、若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先 求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域 内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近， 在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整 点，继续放缩，直至取到整点为止。
3、在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即 打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
,
解得x=100，y=200，
∴点M (100，200), ∴zmax=3000x+2000y=700000(元)
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做 200分钟广告。公司的收益最大，最大值为70万元.
例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
x+y
2x+y=15 =0
16 20 24 x+2y=18
28 30 x
x+3y=27
作直线 x+y=12 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
答（略）
在可行域内找出最优解、线性规划整 数解问题的一般方法是：
1、若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优 解；（在包括边界的情况下）
(2,1)
3.3.2 简单的线性规划(2)教师版
3.3.2简单的线性规划（二）教学目标分析：知识目标：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 情感目标：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重难点分析：重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
互动探究：一、课堂探究：1、复习引入（1）二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）（2）目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:探究一、“阅读与思考”——错在哪里？思考：若实数,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩；求42x y +的取值范围．答案：24210x y ≤+≤. 例1、已知变量,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩. （1）求y z x =的最小值；（2）求22z x y =+的取值范围.答案：（1）min 2()5y z x ==；（2）229z ≤≤.例2、设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，求m 的值.答案：3m =.练习：已知变量,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，设z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.答案：11a -≤≤.例3、已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部及边界组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4解：依题意，令0z =，可得直线0x my +=的斜率为1m-，结合可行域可知当直线0x my +=与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z x my =+取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以1m =，选C练习：已知变量,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设(0)z ax y a =+>，若当z 取得最大值时对应的点有无数个，求a 的值.答案：35. 反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：补充：1、设,αβ是方程220(,)x ax b a b R ++=∈的两根，且(0,1),(1,2)αβ∈∈，则21b a --的取值范围是（ ）. A.1(,1) 4 B.1(,1)2 C.11(,)24- D.11(,) 22- 解：设2()2f x x ax b =++，因为(0,1),(1,2)αβ∈∈，由一元二次方程根的分布可知：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即201204220b a b a b >⎧⎪++<⋅⋅⋅⋅⎨⎪++>⎩①，若把①看作线性约束条件，那么目标函数21b k a -=-，其几何意义为可行域内点(,)a b 与点(1,2)连线l 的斜率.作出可行域，如图8，易得当l 过点(3,1)-时，k 取得最小值14，当l 过点(1,0)-时，k 取得最大值1，所以21(,1)14b a -∈-，故应选A. 说明：在线性约束条件下，对于形如(,)y b k a b R x a-=∈-的目标函数的取值问题，通常转化为求点(,)x y 、(,)a b 之间连线斜率的取值；结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点。
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
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Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
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0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
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Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
1
作直线 y = 3x
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
yx
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
1
作直线 y = 3x
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
例题
例1 解下列线性规划问题：
1、求 Z = 3x －y 的最大值和最小值，使式中
的 x、y 满足约束条件
yx
x
y
1
y 1
yx
解：
x
y
1
y 1
y = 3x － Z
作直线 y = 3x
y = －1
求 Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
1
o
x
－1
x + y －1 = 0
yx
④、满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解.
所有可行解组成的集合称为可行域.
⑤ 、使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解.
２、解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解及最值 （4）答：作出答案.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
练习
复习
1、［概念］
①、上述问题中x,y 的限制条件称为x，y 的约束条件.
由于x，y 都是一次的，又称约束条件为线性约束条件.
② 、欲达到最值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数. 关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数.
③ 、求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值问题称为线性规划问题.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
yx
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
作直线 y = 3x
1
o
x
y = －1 －1
Z max = 7， Z min = －2
x + y －1 = 0
例2、某公司承担了每天至少搬运 280t 水泥的任务， 已知该公司有 6 辆A型卡车和 4 辆B型卡车，已知A型 卡车每天每辆的运载量为 30t，成本费为 0.9千元，B 型卡车每天每辆的运载量为 40t，成本费为 1千元. ⑴假设你是公司的调度员，请你按要求设计出公司每天 的排车方案.设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆， ⑵若公司每天花费成本为Z千元，写出x、y应满足的条 件以及Z与x、y之间的函数关系式.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
Z min = 7. 6 此时应派A、B O 卡车各4 辆
x
x=6 y = －0.9x
线性规划问题解题步骤：
实际问题
解决 最 问题 优 解
分析问题 (列表)
设立变量
列出约束条件 建立目标函数
转 化
线性规划问题
注意: 列约束条件时要注意到变量的范围.
⑶如果你是公司的经理，为使公司所花的成 本费最小，每天应派出A型卡车、B型卡车各 为多少辆？
3x 4 y 28 解： 0 x 6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4