2021年高考数学第八章第6讲：双曲线
2021年高考数学(理)解析几何突破性讲练 专题06双曲线(解析版)
2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练06双曲线一、考点传真：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识点梳理：1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质【强调几点】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 三、例题：例1.（2020年全国3卷理数，11）设双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】通解 由22:2220M x y x y +---=①，得22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.如图，连接AM ，BM ，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA =220x y ++=上的动点P 到M 的距离最小，其最小=PM l ⊥，易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.易知P A M B ，，，四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为22212x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y y +--=②，由①②得，直线AB 的方程为210x y ++=，故选D.优解 因为22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.连接AM BM ，，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA =所以只需||PM 最小，此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥，所以l AB ，所以2AB k =-，排除A ，C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=，由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.因为点M 到直线1x =-的距离为2，所以直线1x =-过点P 且与M 相切，所以(11)A -，.因为点(11)A -，在直线AB 上，故排除B.故选D.例2.（2020年浙江卷，8）已知点()0,0O , ()2,0A -,()2,0B .设点P 满足2PA PB -=，且P 为函数y =的图像上的点，则OP =( )B.C.D.【答案】D【解析】由24PA PB AB -=<=，知点P 的轨迹是双曲线的右支，点P 的轨迹方程为221(1)3y x x -=≥，又y =，所以221327,44x y ==，所以||OP ==，故选D. 例3.（2020年天津卷，7）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.22144x y -= B.2214y x -=C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D【解析】：解法一 由题知24y x =的焦点坐标为(10)，，则过焦点和点(0)b ，的直线方程为1yx b+=，而22221x y a b -=的渐近线方程为0x y a b +=和0x ya b-=，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得1a =，1b =，故选D.解法二 由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a b =，即渐近线方程为0x y ±=，排除B ，C.又知24y x =的焦点坐标为(10)，， l 过点(10)，，(0)b ，，所以101b -=--，1b =，故选D. 例4.（2020年全国1卷理数，15）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】设(),BB c y，因为 B 为双曲线2222:1x y C ab-=上的点，所以22221B y c a b-=，所以422B b y a =.因为AB 的斜率为3，所以2B by a=，23b ac a=-，所以2233b ac a =-，所以22233c a ac a -=-，所以22320c ac a -+=，解得c a =(舍去)或2c a =，所以C 的离心率2ce a==.例5．（2019全国III ）双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨 设点在第一象限，可得，，所以的面积为： ．故选A ． 例6. （2019全国I ）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．【答案】2【解析】 如图所示，因为,所以A 为的中点. 又O 为的中点，所以，. 因为，所以， 且O 为的中点，所以. 由得，所以， 2242x y -=PO PF 324322223222:142x y C -=(6,0)F 22y x =±P 2tan 2POF ∠=63(,)22P PFO △1332624⨯⨯=22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1F A AB =1F B 12F F 212AOBF 212AO BF =120F B F B ⋅=1290F BF ∠=︒12F F 12212OB F F OF c ===212AOBF 2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠2OB BF =因此为等边三角形，， 所以.例7. （2019年全国II ）设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点.若，则C 的离心率为ABC ．2D【答案】A【解析】：解法一：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A ．解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得， 所以，解得.故选A ．2OPF △260BOF ∠=︒ba=2e ==22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =2c x =222x y a +=PQ =PQ OF =c =222a c =222c a=c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫±⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=c e a ==解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A ． 例8. （2019江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】【解析】 因为双曲线经过点，所以，解得，即． 又，所以该双曲线的渐近线方程是．例9. (2018全国卷Ⅰ)已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、．若为直角三角形，则=（ ）A ．B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以．不妨设过点的直线PQ OF =PQOF 12OP a OF ===ce a==xOy 2221(0)y x b b-=>y =2221(0)y x b b-=>(3,4)221631b-=22b=b =1a=y =C 2213-=x y O F C F C M N ∆OMN ||MN 322213-=xy =y x 60∠=MON F与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线过点，所以直线的方程为，由，得，所以， 所以所以．故选B ．例10. (2018全国卷Ⅱ)双曲线，则其渐近线方程为（ ）A ．B ．C ． D． 【答案】A【解析】解法一 由题意知，，所以，所以，所以以该双曲线的渐近线方程为，故选A ．解法二 由得所以该双曲线的渐近线方程为．故选A ．例11. (2018全国卷Ⅲ)设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）=y x M ∆OMN 90∠=OMN 60∠=MFO MN(2,0)F MN 2)=-y x 2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x 322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 3(2M ||==OM |||3==MN OM 22221(0,0)-=>>x y a b a b=y =y =y x =y x ==c e a =c ==b =ba=±=by x a===c e a =b a =±=b y x a1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b-=>>O 2F C P 1|||PF OP =CAB ．2CD【答案】C【解析】不妨设一条渐近线的方程为， 则到的距离， 在中，，所以，所以，又，所以在与中， 根据余弦定理得， 即，得．所以．故选C ． 四、巩固练习：1. 若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( ). A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12x D.y=±√22x【答案】B【解析】由条件e=ca =√3,得c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=3,所以ba =√2,所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选B.2. 若双曲线C 1:x 22-y 28=1与C 2:x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C 2的焦距为4√5,则b=( ).A.2B.4C.6D.8 【答案】Bby x a=2F by x a =d b ==2Rt F PO ∆2||F O c =||PO a =1||PF =1||F O c =1F PO ∆2Rt F PO ∆22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-2223)0a c +-=223a c =ce a==【解析】由题意得ba =2,即b=2a,C 2的焦距2c=4√5,即c=√a 2+b 2=2√5,解得b=4,故选B.3.设动点P 到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P 的轨迹方程是( ).A.x 29-y 216=1B.y 29-x 216=1 C.x 29-y 216=1(x ≤-3) D.x 29-y 216=1(x ≥3) 【答案】D【解析】(1)由题意知,点P 的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b 2=16,∴点P 的轨迹方程为x 29-y 216=1(x ≥3).故选D.4.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1,F 2,点A 在C 上.若|F 1A|=2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1=( ).A.14 B.13 C.√24 D.√23 【答案】A【解析】由e=ca=2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F 1A|-|F 2A|=2a,又|F 1A|=2|F 2A|,∴|F 1A|=4a,|F 2A|=2a,∴cos ∠AF 2F 1=(4a)2+(2a)2-(4a)22×4a×2a=14.5.已知F 1,F 2分别是双曲线x 22-y 2=1的左,右焦点,P,Q 为右支上的两点,直线PQ 过F 2且倾斜角为α,则|PF 1|+|QF 1|-|PQ|的值为( ).A.8B.2√2C.4√2D.随α的大小而变化 【答案】C【解析】(1)由双曲线的定义知,|PF 1|+|QF 1|-|PQ|=|PF 1|+|QF 1|-(|PF 2|+|QF 2|) =(|PF 1|-|PF 2|)+(|QF 1|-|QF 2|) =4a=4√2.6.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√33x,若顶点到渐近线的距离为√3,则双曲线的方程为( ).A.x 24-3y 24=1B.x 212-y 24=1C.x 24-y 212=1 D.3x 24-y 24=1【答案】B【解析】将渐近线方程化简为x ±√3y=0,设顶点坐标为(a,0),顶点到渐近线的距离为a2=√3,解得a=2√3,由渐近线方程的斜率b a =√33,可得b=2,所以双曲线的方程为x 212-y 24=1.故选B.7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,从C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO 的面积为1,则双曲线C 的方程为( ).A.x 22-y 28=1 B.x 24-y 2=1 C.x 24-y 216=1D.x 2-y 24=1【答案】D【解析】因为双曲线的离心率为√5,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立{y =2x,y =−12(x -c),得A (c 5,2c5).又因为△AFO 的面积为1,所以12×25c 2=1,解得c 2=5,则a 2=1,b 2=4,即双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.故选D.9.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为( ).A.√3B.√52C.√5D.√2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y=±b a x,直线x+2y+1=0的斜率为-12,∴-12×b a =-1,∴ba =2.∴双曲线的离心率e=ca =√1+(ba )2=√5.故选C10.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),过其左焦点F 作x 轴的垂线,交双曲线于A,B 两点,若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ).A.(1,32) B.(1,2) C.(32,+∞) D.(2,+∞) 【答案】D【解析】)由题意知,|AB|是双曲线通径,|AB|=2b 2a,则a+c<b 2a ,即a 2+ac<b 2=c 2-a 2,c 2-ac-2a 2>0,即e 2-e-2>0,解得e>2(e<-1舍去),故选D.11.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为√23c(c 为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( ).A.√73B.3√72C.3√7D.3√77【答案】D【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=ba x 的距离为b,则b=√23c ⇒3b=√2c ⇒9b 2=2c 2⇒9(c 2-a 2)=2c 2⇒7c 2=9a 2⇒c 2a2=97⇒e=3√77,故选D.12.已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF 1|=3|PF 2|,则双曲线的离心率的取值范围为( ).A.[2,+∞)B.[√2,+∞)C.(1,2]D.(1,√2] 【答案】C【解析】)由双曲线的定义知,|PF 1|-|PF 2|=2a,又|PF 1|=3|PF 2|,所以|PF 2|=a,而双曲线右支上的点到F 2的最小距离为c-a,因此|PF 2|=a ≥c-a,得e ≤2,又双曲线离心率e>1,所以1<e ≤2.故选C.13.在双曲线x 2-y 215=1的右支上一点P,分别向圆C 1:(x+4)2+y 2=4和圆C 2:(x-4)2+y 2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( ). A.10B.13C.16D.19【答案】B 【解析】由题可知,|PM|2-|PN|2=(|PC 1|2-4)-(|PC 2|2-1)=|PC 1|2-|PC 2|2-3=(|PC 1|-|PC 2|)(|PC 1|+|PC 2|)-3=2(|PC 1|+|PC 2|)-3≥2|C 1C 2|-3=13.14.设F 1,F 2分别是双曲线M:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A,B 两点,若点F 2满足F 2A⃗ ·F 2B ⃗ <0,则双曲线的离心率e 的取值范围是( ).A.1<e<√2+1B.e>√2+1C.1<e<√2D.e>√2【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知△ABF 2是等腰三角形,且∠AF 2B 是钝角,所以π4<∠AF 2F 1=12∠AF 2B<π2,所以tan ∠AF 2F 1>1,即|AF 1||F 1F 2|>1.又|AF 1|=b 2a ,所以b 22ac >1,即c 2-a 2>2ac,化简得e 2-2e-1>0,解得e>√2+1,故选B.15.已知点F 1,F 2分别是双曲线C:x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F 1的直线l 与双曲线C 的左,右两支分别交于A,B 两点,若|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为( ). A.2 B.4 C.√13 D.√15 【答案】C【解析】设|AB|=3k,|BF 2|=4k,|AF 2|=5k,则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|=|AF 2|-2a=5k-2a,|BF 1|-|BF 2|=5k-2a+3k-4k=4k-2a=2a,∴a=k,∴|BF 1|=6a,|BF 2|=4a.又|BF 1|2+|BF 2|2=|F 1F 2|2,即13a 2=c 2,∴e=ca =√13.16.已知双曲线M:x 2-y 2b2=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,记|F 1F 2|=2c,以坐标原点O 为圆心,c 为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P,若|PF 1|=c+2,则点P 的横坐标为( ).A.√3+12B.√3+22C.√3+32D.3√32【答案】A【解析】由点P 在双曲线的第一象限,得|PF 1|-|PF 2|=2,则|PF 2|=|PF 1|-2=c.又|OP|=c,∠F 1PF 2=90°,由勾股定理,得(c+2)2+c 2=(2c)2,解得c=1+√3,易知△POF 2为等边三角形,则x P =c 2=√3+12.故选A.17.设双曲线x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF 1F 2的面积为6,则点P 的坐标为 .【答案】(6√55,2) 【解析】因为双曲线方程为x 24-y 25=1,所以c=3.又因为△PF 1F 2的面积为6,所以12×2c ×y P =6,所以y P =2.代入双曲线方程,得x P 24-45=1,x P 2=365,即x P =6√55(x P =−6√55舍去). 18.过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】4√3【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F 与x 轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±√3x,将x=2代入y=±√3x,得y=±2√3,∴|AB|=4√3.19.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴.若|F 1F 2|=12,|PF 2|=5,则该双曲线的离心率为 .【答案】32【解析】由2c=12,得c=6,根据勾股定理可得|PF 1|=√122+52=13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e=c a =64=32.20.若点P 是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2√5的双曲线与圆x 2+y 2=9的一个交点,则|PA|+|PB|= . 【答案】2√13【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2√5. ①又|PA|2+|PB|2=36, ②联立①②化简得2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52, 所以|PA|+|PB|=2√13.21.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线x=a 2c 分别交于A,B 两点,F 为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(√2,2)【解析】双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线方程为y=±ba x,当x=a 2c 时,y=±abc ,不妨设A (a 2c ,abc),B (a 2c ,-ab c),因为60°<∠AFB<90°,所以√33<k F B<1,所以√33<abc c -a 2c <1,所以√33<a b <1,所以13<a 2c 2-a 2<1,所以1<e 2-1<3,所以√2<e<2.22.已知P 是双曲线x 23-y 2=1上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .【答案】-38【解析】设P(x 0,y 0),因为该双曲线的渐近线分别是√3-y=0,√3+y=0,所以可取|PA|=|x 0√3-y 0|√3+1,|PB|=|x 0√3+y 0|√3+1,又cos∠APB=-cos ∠AOB=-cos π3=-12,所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗ |·|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠APB=|x 023-y 02|43·(-12)=34×(-12)=-38.。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第六讲 双曲线 (含解析)
第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__顶点坐标：A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__ 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)重要结论双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b ．(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a(通径)．过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2a ；与两支相交所得弦长的最小值为2a ．(4)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |．(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a 2． 双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B ．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线C ．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2D ．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二 走进教材2．(必修2P 61T1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )A ． 5B ．5C ． 2D ．2[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．3．(必修2P 61A 组T3)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.题组三 考题再现4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[解析] 由题意e ＝ca＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[解析] 椭圆x 212＋y 23＝1的一焦点为(3,0)，∴双曲线C 中有c ＝3，且焦点在x 轴上， 又b a ＝52，且c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝4，b 2＝5，∴C的方程为x 24－y 25＝1，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 双曲线的定义及其应用——自主练透例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( B )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2020·河南洛阳统考)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__9__．[解析](1)如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点， ∴|MF 2|＝2．∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图形可知，当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9．名师点拨 ☞(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．〔变式训练1〕(1)在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足条件sin B －sin C ＝12sin A 时，则点A 的轨迹方程为 x 24－y 212＝1(x >2) ．(2)(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B )A ．52 B ．102C ．152D ． 5[解析] (1)设A 的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12 |BC |2R .又∵|BC |＝8，∴|AC |－|AB |＝4，因此A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a ＝4,2c ＝8，即a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝12.所以所求A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x >2)．(2)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102.故选B ．考点二 双曲线的标准方程——师生共研例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12． ∴所求双曲线方程为y 23－x 212＝1．(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；。
2021年高考总复习《双曲线的离心率计算》讲义
双曲线的离心率计算一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法. 三：典例分析：例1. 已知双曲线12222=-by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.【变式】1. 双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45例2．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【变式】1.设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________（2）.2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为AB ．2C D例3．已知点21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，直线l 是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点P ，点P 在l 上的射影为Q ，使得||||||211F F PQ PF ≤+成立，求双曲线离心率的取值范围.12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C四．练习题1．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D ．32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D ．33．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A ．1BC ．3D ．24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e <≤B ．2≥eC ．1e <≤D ．e ≥5．斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．e <B ．1e <<C ．1e <<D ．e >6．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+7．设点(),,0A F c 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ,若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3BC ．43D ．39．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．5210．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1,2D ．()2,+∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若12F A AB =，10F A AO ⋅=则C 的离心率为______. 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为__________．13．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．。
高考数学 第八章 第六节 双曲线课件 文
基础知识要打牢
[知识能否忆起]
1．差的绝对值 焦点 焦距 2.x≥a 或 x≤－a y≤－a 或
y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－
a)
(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c a
(1，＋∞)
a2＋b2 A1A2
2a B1B2 2b a b
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高频考点要通关 [例 1] 解析：(1)∵xa22－by22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2,1)在渐近线上，∴2ab ＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5.
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(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2， 所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2， 又 因 为 |PF1| － |PF2| ＝ 2 ， 所 以 (|PF1| － |PF2|)2 ＝ 4 ， 可 得 2|PF1|·|PF2|＝4， 则 (|PF1| ＋ |PF2|)2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 12 ， 所 以 |PF1|＋|PF2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3
[小题能否全取] 1．选 C ∵双曲线方程可化为 x2－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12.
∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
6 2.
∴左焦点坐标为－ 26，0. 2．选 C 依题意得 a2＋1＝4，a2＝3，
故
e＝
2a2＝
2 ＝2 33
3.
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3．选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1| －|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所
2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件
第六节 双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两 焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求 解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几 何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率 公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素 养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体 现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
高考数学大一轮复习 第八章 第6节 双曲线课件
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)的离
心率为 2，则 a＝( )
A．2
B.
6 2
5 C. 2
D．1
【答案】 D
考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右
焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
【尝试解答】 椭圆 D 的两个焦点为 F1(－5,0)，F2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c＝5.
设双曲线 G 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25. 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r＝3， ∴ b|52＋a| a2＝3，得 a＝3，b＝4. ∴双曲线 G 的方程为x92－1y62 ＝1.
【答案】 C
3．设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲
线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1
B．17
C．1 或 17
【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章8.5《双曲线》(文数)人教版选修
解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4 2， |QF2|－|QF1|＝4 2.
所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2， 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， 所以|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. 所以△PF2Q 的周长为 14＋8 2. 答案：14＋8 2
第八章 平面解析几何
考点二 双曲线的标准方程及求法 【案例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (解2)：与(双1)曲设线所1x求62－双y4曲2＝线1方有程公为共x9焦2－点1y6，2 ＝且λ(过λ≠点0()3，2，2)．
第八章 平面解析几何
解：因为 sin B－sin C＝12sin A， 所以|AC|－|AB|＝4<|BC|， 所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支． 又 c＝4，a＝2，所以 b2＝c2－a2＝12， 所以点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x＞2)．
第八章 平面解析几何
另一方面，由|OP|＝ 7a，所以 x20＋y20＝7a2. 又ax220－by202＝1，
所以 y20＝6ac22b2，所以|y0|＝ 6cab，
第八章 平面解析几何
所以 S△PF1F2＝12·2c· 6cab＝ 6ab. 所以1b－2·scions6600°°＝ 6ab，所以 b＝ 2a. 又因为双曲线的渐近线的斜率为 k＝ba＝ 2， 故渐近线方程为 2x±y＝0，故选 D. 答案：D
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14. 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14， 即49x2－y42＝1.
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第6讲双曲线
,[学生用书P158])
1．双曲线的定义
条件结论1结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双
曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双
曲线的焦距2a<|F1F2|
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a＞0，b＞0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a＞0，b＞0)图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，
x∈R
对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半
轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
1．辨明三个易误点
(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
2．求双曲线标准方程的两种方法。