(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线

第六节双曲线

这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程

（一）循纲忆知

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.

(二)小题査验

1.判断正误

(1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线

(2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹

是双曲线

2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I，

卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为

3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且

3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS©的面积等于

解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10.

2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l,

A \PF 2\=69 IPFil=8.

AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ •••Mi 丄“2, ・°・ S^PF \F2=flPF ］卜

LPF2I=f X 6 X 8=24.

,

（二）小题查验

1.判断正误

2 2

⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ）

2 2 2

（2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一

必=0,即兰±》=0

n m n

（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ）

2 2 2 2

（4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心

率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）

（V ）

2.（北师大版教材习题改编）若双

的离心率eG

则加的取值范围为（°”）

■巳

课堂c 9考点突破

不同考点不同设让更高效 2 2

3・已知F （c ，O ）是双曲线缶一話=1（°>0, 〃>0）的右焦点，若

双曲线C 的渐近线与圆E ：

x-c ）2+y 2=^c 2相切，则双曲线C 的离心率

为边•

解析：依题意得，圆心（c,0）到渐近线的距离等于亨c,即有方

号c （注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚 半轴长)，c 2=2b 2=2(c 2—a 2)9 c 2=2a 2

9 夕=\2 即双曲线 C 的离心率为羽.

考点一 双曲线的定义及标准方程I （基础送分型考点——自主练透）

［必备知识］

1.定义

在平面内到两定点F” F2的距离的差的绝对值等于常数（小于IFid且大于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线.定点F i9 F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

［提醒］令平面内一点到两定点F”尸2的距离的差的绝对值为

加@为常数），贝！I只有当2aIFiF2b则点的轨迹不存在.

2.标准方程

中心在坐标原点，焦点在兀轴上的双曲线的标准方程为护一# =1（“>0,

课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效

方>0）；

2 2

中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为7—話

=1（“>0,方>0）・

［提醒］在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是X2 或X的系数.

［题组练透］

1. （2014•大纲卷）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F” F29点A在

C上，若屮淤1=2屮2如，贝J COS ZAF2F I =

C- 4 D- 3

解析曲双曲线的定义知|lAFil — IAF2l|=2©又⑷Fil=214/5 •••lAFil

=4a, \AF2\=2a.

• 0 = - = 2，・.c = , • • \F iF 2^ = • • cos Z AF2^I =随尸2卩+IFiFf—IAF1 卩_ （加）2+（滋）2—（滋）2 _ 1 2IAF2I-IF1F2I —2X2aX4a_4,敌坯A

2. （2014•天漳高考）已知双曲线初一話=1@>0, 〃>0）的一条渐近

线平行于直线Z： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线Z上,

则双曲线的方程为

解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线丿=》与直线y =2x+10平行，所以十=2且左焦点为（一5,0）,所以a2+b2 = c2=25f解得a2=5f沪=20,

故双曲线方程为?一空=1.

3.已知Fi，巧为双曲线?一专=1的左、右焦点，卩(3,1)为双曲

线内一点，点A在双曲线上，贝!|L4PH-IAF2I的最小值为

() A.

A/37+4 B. A/37-4

^^37-2^5 D. 回+2书

解析：由题意知，IAPI + IAF2I = IAPI + IAF1I- 2a f要求IAPI +

⑷F2I的最小值，只需求IAPI + IAF1I的最小值，当A, P, Fi三点共线时，取得最小值，贝1|14卩1 + 14珂=1"11=佰，AIAPI + IAF2I = IAPI + lAFJ - 2a=佰一2质・

［类题通法］

1.应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何

条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.

2.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a, b, c的

关系易错易混.