第八章 第六节 双曲线

解析：由题知，双曲线的渐近线方程为 y＝± kx.由题知直线 1 l 的斜率为－2，则可知 k＝ ，代入双曲线方程 kx2－y2＝1， 4 x2 2 得 －y ＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而 c＝ a2＋b2＝ 5， 4 5 所以 e＝ . 2
答案： A
4．(1)(2010· 辽宁高考)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一 个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直，那么此双曲线的离心率为 A. 2 3＋1 C. 2 B. 3 5＋1 D. 2 ( )
解析：∵|QF2|－|QF1|＝4 2， |PF2|－|PF1|＝4 2， ∴|QF2|＋|PF2|－|PQ|＝8 2， ∴|QF2|＋|PF2|＝8 2＋7， ∴周长为 8 2＋14.
答案： C
x2 y2 2．已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的离心率 e＝2，且它 a b 的一个顶点到相应焦点的距离为 1， 则双曲线 C 的方程为 __________．
a2＋b2＝16， 则 a＝2
∴a2＝4，b2＝12.
答案：(1)D
x2 y2 (2) － ＝1 4 12
[归纳领悟] 1．应用双曲线的定义时注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的 几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定 义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
答案：C
x2 y2 2．已知双曲线 － a ＝1 的一条渐近线为 y＝ 2x，则实数 2 a 的值为 A. 2 C. 3 B．2 D．4 ( )
a 解析：由题意，得 2＝ ，所以 a＝4. 2
答案：D
3．已知双曲线 kx2－y2＝1 的一条渐近线与直线 l：2x＋y＋1 ＝0 垂直，则此双曲线的离心率是 5 A. 2 C．4 3 3 B. 2 D. 5 ( )
答案：B
[归纳领悟] 1．判断方法：
(1)将直线方程Ax＋By＋c＝0与双曲线方程mx2＋ny2＝1联立，
消元． (2)利用Δ判断交点问题，但要注意消元后二次项系数是否 为0. 特别注意，当直线与双曲线有一个交点时，等价于Δ＝0
或直线l与渐近线平行．
2．遇到弦中点问题时常用点差法．
Hale Waihona Puke 一、把脉考情图形范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
性 质
对称性
对称中心： 坐标轴 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点 对称轴： 原点
顶点
顶点坐标 A1 (－a,0)，顶点坐标 A1(0,－a)， A2 (a,0) A2 (0，a)
渐近
线 离心
性质 率
b y＝± x a
a y＝± x b
c e＝ a ，e∈ (1，＋∞) ，其中c＝ a2＋b2
(2)由条件知，PF1⊥PF2 |PF1|－|PF2|＝2a |PF2|＝2a ⇒ 又 |PF1|＝2|PF2| |PF1|＝4a 又|PF1|2＋|PF2|2＝4(a2＋b2) ∴16a2＋4a2＝4a2＋4b2，∴4a2＝b2 ∴e＝ b2 1＋ 2＝ 5. a
答案：(1)D
(2)A
3．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－ 12，－15)，则 E 的方程为 x2 y2 A. － ＝1 3 6 x2 y2 C. － ＝1 6 3 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 5 4 ( )
x2 y2 (2)设点 P 是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)与圆 x2＋y2＝a2 a b ＋b2 在第一象限的交点，F1，F2 分别是双曲线的左、右 焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为 ( A. 5 C. 10 5 B. 2 10 D. 2 )
x2 y2 解析：(1)设双曲线方程为 2－ 2＝1(a，b＞0)，不妨设一 a b b 个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFB＝－c .又渐 b bb b 近线的斜率为± ，所以由直线垂直关系得－ c ·＝－1(－a a a 显然不符合)，即 b2＝ac， 又 c2－a2＝b2，故 c2－a2＝ac，两边同除以 a2，得方程 e2 5＋1 －e－1＝0，解得 e＝ (舍负)． 2
x2 y2 (2)已知过点 P(－2,0)的双曲线 C 与椭圆 ＋ ＝1 有相 25 9 同的焦点，则双曲线 C 的标准方程为________．
解析：(1)在△F1PF2 中，根据余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－ |PF1| |PF2|＝4c2，不妨设 P 在双曲线的右支上，F1、F2 为 双曲线的左、右焦点，根据定义得|PF1|－|PF2|＝2a，平方 得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1| |PF2|＝4a2， 两式相减得|PF1|· 2| |PF 2 2 2 2 2 ＝4b ， 代入上式得|PF1| ＋|PF2| ＝4a ＋8b ， 由于 2 PO ＝ PF1 ＋ PF2 ， 2 2 2 所以 4| PO | ＝| PF1 | ＋| PF2 | ＋2| PF1 |·PF2 |· ∠F1PF2， | cos
[题组自测] 3 1．下列双曲线中，离心率为 的是 2 x2 2 A. －y ＝1 2 x2 y2 C. － ＝1 4 5 y2 B．x2－ ＝1 2 x2 y2 D. － ＝1 5 4 ( )
c 解析：选项 A，a＝ 2，b＝1，c＝ a2＋b2＝ 3，所以 e＝a＝ 3 6 ＝ ；选项 B，a＝1，b＝ 2，c＝ a2＋b2＝ 3，所以 e 2 2 c ＝a＝ 3；选项 C，a＝2，b＝ 5，c＝ a2＋b2＝3，所以 e c 3 c ＝a＝ ；选项 D，a＝ 5，b＝2，c＝ a2＋b2＝3，所以 e＝a 2 3 5 ＝ . 5
1 2 解析：方程 y＝ x 可化为 x2＝20y，它的焦点为 F(0,5)， 20 所以点 E 的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线 C2 是焦 y2 x2 点在 y 轴上的双曲线，设方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，则 a b 2a＝6，a＝3，又 c＝5，b2＝c2－a2＝16，所以曲线 C2 的 y2 x2 标准方程为： － ＝1. 9 16
提示：由 e＝ b2 1＋a 故当 a>b>0 时 1<e< 2，当 a＝
b>0 时 e＝ 2(亦称等轴双曲线)，当 b>a>0 时 e> 2
[题组自测] 1．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 交左支于 P、Q 点，若|PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是 A．28 C．14＋8 2 B．14－8 2 D．8 2 ( )
c－a＝1 a＝1 解析：由题意得c ，解得 ，则 b＝ 3， c＝2 a＝2 y2 故所求方程为 x2－ ＝1. 3
y2 答案：x2－ ＝1 3
1 2 3． 设抛物线 C1 的方程为 y＝ x ， 它的焦点 F 关于原点的对 20 称点为 E.若曲线 C2 上的点到 E、F 的距离之差的绝对值 等于 6，则曲线 C2 的标准方程为____________．
1 y0 ＝ ， x0＋a 2 解：设点 P(x0，y0)，则有 y0 ＝2 x0－a 又由于点 P 在双曲线上，
y2 0 ⇒ 2 2＝1， x0－a
2 x0－a x0 y2 y2 x2 0 0 0 所以有： 2－ 2＝1⇒ 2＝ 2－1＝ 2 ， a b b a a
2
2
y2 b2 0 即得 2 ＝ 2， x0－a2 a b 所以渐近线方程为：y＝± x＝± x. a
关系
[究 疑 点] 1．当定义中的常数等于|F1F2|或大于|F1F2|，动点的轨 迹分别是什么图形？ 提示：当定义中常数等于|F1F2|时动点的轨迹表示
的是以F1，F2为端点的两条射线．
当常数大于|F1F2|时，无轨迹图形．
2．双曲线方程中a，b只限制a>0，b>0，二者无大小要求，
若a>b>0，a＝b>0，b>a>0，双曲线的离心率有何变化？
从高考试题来看，双曲线的定义，标准方程及几何性 质的考查形式都为选择、填空题，难度不大，对于较高层 次的考查不会出现． 渐近线与离心率是双曲线命题的热点，各地高考几乎 每年必考，注意复习训练，着重考查渐近线与离心率的关 系，预测2012年仍为考查热点．
4 解析：c＝5，设平行于一条渐近线的直线方程为 y＝ (x 3 －5)，即 4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得 32 1 32 32 yB＝－ ，则 S＝ ×(5－3)× ＝ . 15 2 15 15
32 答案： 15
x2 y2 2．设双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为 a b A1， 2， A 若点 P 为双曲线右支上的一点， 且直线 PA1， 1 PA2 的斜率分别为 ，2，求双曲线的渐近线方程． 2
[归纳领悟] 1．已知双曲线的离心率 e 求渐近线方程注意 e＝ b2 1＋a 及判断焦点的位置． 2．已知渐近线方程 y＝mx，求离心率时若焦点不确定时， b a m＝a(m>0)或 m＝b，故离心率有两种可能．
[题组自测] x2 y2 1．设双曲线 － ＝1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 9 16 F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线， 与双曲线交于 点 B，则△AFB 的面积为________．
故 28a2＝4a2＋8b2＋4b2，即 2a2＝b2，即 b＝ 2a， b 所以双曲线的渐近线方程是 y＝± x， a 即 y＝± 2x，即 2x± y＝0. x2 y2 (2)∵椭圆 ＋ ＝1 的焦点 F1(4,0)，F2(－4,0) 25 9 x2 y2 ∴设双曲线标准方程为 2－ 2＝1， a b