最优化方法-混合罚函数法
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惩罚函数法
内点法的程序框图如下：
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
最优化问题的约束条件处理方法
最优化问题的约束条件处理方法在最优化问题中，约束条件是限制优化目标的条件。
对于一个最优化问题而言，约束条件的处理是至关重要的，因为它直接影响到问题的可行解集合以及最终的优化结果。
本文将介绍几种常见的约束条件处理方法，以帮助读者更好地理解和应用最优化算法。
一、等式约束条件处理方法等式约束条件是指形如f(x) = 0的约束条件，其中f(x)是一个函数。
处理等式约束条件的常用方法是拉格朗日乘子法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ·g(x)其中，g(x)表示等式约束条件f(x) = 0。
通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到原问题的最优解。
需要注意的是，拉格朗日乘子法只能处理等式约束条件，对于不等式约束条件需要使用其他方法。
二、不等式约束条件处理方法不等式约束条件是指形如g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0的约束条件，其中g(x)是一个函数。
处理不等式约束条件的常用方法是罚函数法和投影法。
1. 罚函数法罚函数法通过将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造罚函数：P(x) = f(x) + ρ·h(x)其中，h(x)表示不等式约束条件g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0。
通过调整罚函数中的惩罚系数ρ，可以使得罚函数逼近原问题的最优解。
罚函数法的优点是简单易实现，但需要注意选择合适的惩罚系数，以避免陷入局部最优解。
2. 投影法投影法是一种迭代算法，通过不断投影到可行域上来求解约束最优化问题。
具体而言，我们首先将原问题的可行域进行投影，得到一个近似可行解，然后利用该近似可行解来更新目标函数的取值，再次进行投影，直到收敛为止。
投影法的优点是能够处理各种类型的不等式约束条件，并且收敛性良好。
三、混合约束条件处理方法混合约束条件是指同时包含等式约束条件和不等式约束条件的问题。
最优化方法-障碍函数法与混合罚函数法
设Xk+1为F ( X , k ) 的无约束极小点。
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12
二、混合法函数法
(3)极小点外推记为：
X
c1/ 2 X k 1 X k c1/ 2 11或X Nhomakorabea
X k1
(c c1/2 ) X k c3/2 X k1 (c 1)(c1/2 1)
2
若有 gi (X )＜0,i 1,2,...,m ，令 Xk1 X ，否则，舍弃。 (4)若点Xk+1满足终止准则，输出Xk+1,计算停止；否则，令
11
二、混合法函数法
3、混合罚函数法的算法基本步骤：
(1)选取X0，使满足 hj (X0) 0, gi (X0)＜0, 令 0 1，c＞1(通常，取c=4
或c=10),选取ε＞0，令k=0。
(2)对 k 构造 F ( X , k )。以Xk为初始点，求解无约束极小化问题：
min F ( X , k )
2
一、障碍函数法
当X在边界时，B(X)的值为无穷大。这样，可阻止 F(X,γ)的极小点穿越边界，而必定被限制为可行 点。显然，函数B(X)的作用对企图脱离可行域的
点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍 ，因此称为障碍函数。
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3
一、障碍函数法
2.障碍函数法(内点法)算法过程
(4)如果 0＜ k B( X k 1） ，输出Xk+1，计算终止；否则
k1 d k , k k 1 转(2)。
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4
一、障碍函数法
注：从理论上讲，Xk一定是可行域的内点，但是 在实际的计算过程中，由于步长是取离散数值， 以及舍入误差等原因，使Xk有能取非可行点， 在这种情况下，应选用优于Xk+1的内点来取代 Xk。
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二、混合法函数法
(3)极小点外推记为：
X
c1/ 2 X k 1 X k c1/ 2 11或X Nhomakorabea
X k1
(c c1/2 ) X k c3/2 X k1 (c 1)(c1/2 1)
2
若有 gi (X )＜0,i 1,2,...,m ，令 Xk1 X ，否则，舍弃。 (4)若点Xk+1满足终止准则，输出Xk+1,计算停止；否则，令
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二、混合法函数法
3、混合罚函数法的算法基本步骤：
(1)选取X0，使满足 hj (X0) 0, gi (X0)＜0, 令 0 1，c＞1(通常，取c=4
或c=10),选取ε＞0，令k=0。
(2)对 k 构造 F ( X , k )。以Xk为初始点，求解无约束极小化问题：
min F ( X , k )
2
一、障碍函数法
当X在边界时，B(X)的值为无穷大。这样，可阻止 F(X,γ)的极小点穿越边界，而必定被限制为可行 点。显然，函数B(X)的作用对企图脱离可行域的
点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍 ，因此称为障碍函数。
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一、障碍函数法
2.障碍函数法(内点法)算法过程
(4)如果 0＜ k B( X k 1） ，输出Xk+1，计算终止；否则
k1 d k , k k 1 转(2)。
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一、障碍函数法
注：从理论上讲，Xk一定是可行域的内点，但是 在实际的计算过程中，由于步长是取离散数值， 以及舍入误差等原因，使Xk有能取非可行点， 在这种情况下，应选用优于Xk+1的内点来取代 Xk。
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
优化设计3——惩罚函数法
2015-4-29 24
罚函数的求解过程是： 定义G[gi(X)]和H[hj(X)]的形式， 选择罚因子的序列r1(k)和r2(k)，每调整一次罚因子的值， 即对罚函数P作一次无约束优化，可得一个无约束最优解； 随着罚因子的不断调整，无约束最优解不断逼近有约束最 优解。 这是一种序列求优过程，故罚函数又称为“序列无约 束极小化方法”（Sequential Unconstrained Minization Technique），简称为SUMT法。
为了便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一 般引入函数
L 2 p Z ( ) [h j ( X )]2 i 1 xi j 1
n
然后对Z函数求极小值，即可求得原问题的最优解。
2015-4-29
19
对于不等式约束优化问题，可设法引入松弛变量，使不等式 变成等式，即可按等式约束优化问题求解。 例如：对于下面不等式约束条件 g(X)=ax1+bx2+c ≥0
2015-4-29
10
（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α
的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小， 直到满足 k 1 2 1 { [ f ( X i ) f ( X c ] } 2 1 (a) k i 1
时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点 （或用X(C0)点）即为最优解。式中XC 为复合形所有顶点的 点集中心，即 k
2015-4-29
28
除上式外，常用的内点罚函数形式还有：
P( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gi ( X )] P( X , r
(k ) m
) f (X ) r
罚函数的求解过程是： 定义G[gi(X)]和H[hj(X)]的形式， 选择罚因子的序列r1(k)和r2(k)，每调整一次罚因子的值， 即对罚函数P作一次无约束优化，可得一个无约束最优解； 随着罚因子的不断调整，无约束最优解不断逼近有约束最 优解。 这是一种序列求优过程，故罚函数又称为“序列无约 束极小化方法”（Sequential Unconstrained Minization Technique），简称为SUMT法。
为了便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一 般引入函数
L 2 p Z ( ) [h j ( X )]2 i 1 xi j 1
n
然后对Z函数求极小值，即可求得原问题的最优解。
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对于不等式约束优化问题，可设法引入松弛变量，使不等式 变成等式，即可按等式约束优化问题求解。 例如：对于下面不等式约束条件 g(X)=ax1+bx2+c ≥0
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（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α
的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小， 直到满足 k 1 2 1 { [ f ( X i ) f ( X c ] } 2 1 (a) k i 1
时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点 （或用X(C0)点）即为最优解。式中XC 为复合形所有顶点的 点集中心，即 k
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除上式外，常用的内点罚函数形式还有：
P( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gi ( X )] P( X , r
(k ) m
) f (X ) r
惩罚函数法
惩罚函数法
惩罚函数法（penalty function method）是一种优化方法。
它的基本思想是，将原始问题转换为一个新的目标函数，在此基础上，通过对不等式、二次限制条件等加入惩罚项，使得原问题转化为无约束优化问题，从而可以采用常见的求解方法，如牛顿法、拉格朗日乘子法或者梯度下降法等。
该方法的具体步骤如下：
(1) 将原有的约束条件作为等式或不等式表示；
(2) 将约束条件中的不等式转换为等式，并将其和原有的等式组合在一起，形成新的约束条件；
(3) 将原有的目标函数和约束条件组合在一起，形成新的目标函数；
(4) 将新的目标函数中的不等式约束条件添加惩罚项，并且形成一个新的无约束优化问题；
(5) 用一种方法求解这个新的无约束优化问题，获得最优解。
现代设计方法第六章 优化设计方法 (4-8) 惩罚函数法
二、内点惩罚函数法
§ 4 . 2内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择： 过大、过小均不好， p f ( x( 0 ) ) ( 0) 建议考虑选择：r = 100 m 1 ∑ (0) u =1 g ( x ) u
2.
Φ( x , r ) = f ( x ) − r
二、内点惩罚函数法
r r = cr k −1
4) 收敛条件
(k = 1,2,...)
式中的c 称为惩罚因子的缩减系数，c 为小于1 的正数。一般的看法是，c 值 的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0 . 1 ~ 0 . 7 之间。
φ[ x * (r k ), r k ] − φ[ x * (r k −1 ), r k −1 ] ≤ ε1 k −1 k −1 * φ[ x (r ), r ] x * (r k ) − x * (r k −1 ) ≤ ε 2
方法： ③ 搜索方法： l l 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S 个约束，求出不满足约束中的最大值：
gk ( x( 0 ) ) = max{gu (x( 0 ) )}
min. gk ( x) s.t.
u = 1,2,...,S；
l
应用优化方法减少违反约束：
x ∈ Rn
gu ( x ) − gu x ( 0 ) ≤ 0 gu ( x ) ≤ 0
或：
(k )
1 ∑ i =1 g i ( x )
m
φ ( x, r ) = f ( x ) − r
(k )
∑ ln[− g ( x )]
i i =1
m
二、内点惩罚函数法
k r 是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0 的正数列，即:
最优化方法之-罚函数法讲解
内点罚函数法优点
迭代总在可行域内进行，每一个中间结果都是 可行解，可以作为近似解。
内点罚函数法缺点
选取初始可行点较困难，且只适用于含不等式 约束的非性性规划问题。
x2)
0
x1
1
2 2M
x2
1
(2 2M )2
1
2M
当M
时，有
x1 x 2
0 0
步骤:
1.给定x( 初 0) ，始 初点 始 M10 罚 (M1 因 1 ) ， 子 放 系c数 1 ，允许 0 ， 误 k置 差 1 。
2.以x(k1)为初始点，求解无约 问题 束 minf(x) Mkp(x)
201 101
以此类推，得序列： 3，21，201，2001， 2 11 101 1001
2
外点罚函数法的一个重要特点:
函数 F(x,M)是在整个En空 内间 进行,优 初化 始
点可任意,且 选外 择点法也可规 用划 于的 非最 凸.优
缺点:
1.惩罚项Mp(x)的二阶偏导数一般在 不;存
2.外点法的中间可 结行 果,不 解 不能 是作为近 ;
P~(x,rk) iSk
gi(x)rk
iTk
1 gi(x)
记 R~k x|gi(x)0 iTk
(rk 0)
5.以x(k)为初始点R， ~k域在内，求障碍 P~(函 x,rk数 ) 的极小:点
minP~(x,rk) s.t. xR~k 得x(k1)，转 6。
6.令 0rk1rk如r取 k1110rk,置 k:k1， 转 2。
引入罚项
p(x )
m
g i( x )
i 1
其中 ( y )是连续函数，且满足
(y ) 0 ( y ) 0
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6．3 混合罚函数法
function [x,minf] = minJSMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) while 1 FF = r0*FE + FH/sqrt(r0); %构造增广目标函数 SumF = f + FF ; a0 = (c*x1 - x2)/(c-1); x2 = a0 + (x1 - a0)*c^2; %外插公式 [x3,minf] = minNT(SumF,transpose(x2),var); %用 牛顿法求解无约束规划 if norm(x3 - x2)<=eps %精度判断 x = x3; break; else r0 = c*r0; %参数修正 x1 = x2; x2 = x3; end end minf = Funval(f,var,x);
6．3 混合罚函数法 syms x1 x2; tic f=-x1+x2; %目标函数 g=[log(x2);x1;x2]; %不等式约束条件 h=[x1+x2-1]; %等式约束条件 [x,minf]=minMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %混合罚函数法求最优解函数 [x,minf]=minJSMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %两点外插混合罚函数法求最优解函数 toc
最优化方法及应用
第六章 常用约束最优化方法
电子与通信工程 张志刚
BUSINESS
6．3 混合罚函数法 前面介绍里外点罚函数法和内点罚函数法 ，外点罚函数法的初始点可以任选，适用于求 解具有等式约束与不等式约束的优化问题；而 内点罚函数法要求初始点在可行域内，适用于 求解不等式约束优化问题。混合惩罚函数法是 采用内点法和外点法相结合的，用内点法处理 不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用 来求解含不等式和等式约束的优化问题。
6．3 混合罚函数法 一、混合罚函数法基本原理
6．3 混合罚函数法 二、混合罚函数法迭代步骤
6．3 混合罚函数法 混合罚函数法流程图：
开始 选定 X0，r1=10 C=0.1，k=1 计算出minF{X，rk} 求出最优解 X(rk) 否 rk+1=crk k=k+1
‖Xk-Xk-1‖≤ε 是 输出 X(rk),f(X(rk)) 结束
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6．3 混合罚函数法
混合罚函数法求最优解结果
6．3 混合罚函数法
两点外插混合罚函数法求最优解结果
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BUSINESS
6．3 混合罚函数法 三、混合罚函数法有关说明
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法 function [x,minf] = minMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) %混合罚函数法求最优解函数 function [x,minf] = minJSMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) %两点外插混合罚函数法求最优解函数 形参含义： f---目标函数 g---不等式约束（障碍项） h---等式约束（惩罚项） x0---初始点 r0---罚因子 c---惩罚因子的缩小系数 var---自变量向量（自变量名称） eps---精度（默认值1.0e-6）
6．3 混合罚函数法
function [x,minf] = minMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) while 1 FF = r0*FE + FH/sqrt(r0); %构造增广目标函数 SumF = f + FF ; [x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); %用牛顿法 求解无约束规划 if norm(x2 - x1)<=eps %精度判断 x = x2; break; else r0 = c*r0; %参数修正 x1 = x2; end end minf = Funval(f,var,x);