2020-2021学年高考总复习数学(理科)二轮复习模拟试题及答案解析十七

最新高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．145．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣17．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sin α的值是（）A．﹣B．C．﹣D．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A． B．C．D．312．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n= ．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x 万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后再根据复数相等求出答案即可．【解答】解：x∈R，y为纯虚数，设y=ai，∵（x﹣y）i=2﹣i，∴xi+a=2﹣i，∴x=﹣1，a=2，∴x+y=﹣1+2i，故选：C．3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题““对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的”的否定是：存在x0∈（1，+∞），使x≤，故选：D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．14【考点】频率分布直方图．【分析】求出概率，然后求解频数．【解答】解：样本数据在区间[15，20）内的概率为：1﹣0.04×5﹣0.1×5=0.3．样本数据在区间[15，20）内的频数是：100×0.3=30．故选：C．5．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（log3）=f（﹣log35）=f （log35），利用log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3）=f（﹣log35）=f（log35）．∵log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，∴f（log35）＜f（log35）＜f（log53），∴f（log35）＜f（log3）＜f（log53），故选：D．6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A7．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数f（x）的图象求出周期T以及ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再根据三角恒等变换求出sinα的值．【解答】解：在同一周期内，函数f（x）在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数f（x）的周期T满足=﹣=2π，由此得T==4π，解得ω=，∴函数表达式为f（x）=sin（x+φ），又当x=时f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）；又f（α）=sin（α+）=，∴cos（α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=，∴sinα=﹣cos（α+）=﹣．故选：A．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先从4个班级中选2个，分陪到4个小区的2个，再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从4个班级中选2个，分到4个小区中的2个，（保证恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级），再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，故有C42C42C21C21C21=288种，故选：D10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设B的坐标，求出A，B的中点坐标C，利用C在g（x）上，建立方程关系，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：令点B（x，|log2x|），x＞0，A，B的中点C（，|log2x|）．由于点C在函数g（x）=（）x的图象上，故有|log2x|=（）=•（）x，即|log2x|=•（）x，故函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是，即为函数y=|log2x|和曲线y=•（）x的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y=|log2x|和y=•（）x的的图象，由图象知两个函数的交点个数为2个，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是2，故故选：B．11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A． B．C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】分别作出不等式组表示的平面区域和直线3x+y=0，通过图象观察，求得A（0，1）到直线的距离，即可得到所求最小值．【解答】解：画出不等式组所确定的平面区域，直线3x+y=0，则|﹣|=||，由A（0，1）到直线3x+y=0的距离为d==，可得|﹣|的最小值为，故选：A．12．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】去绝对值可得x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4，当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0）∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0，当λ=﹣时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0当λ=﹣时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣，）故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为2π．【考点】定积分．【分析】利用定积分真假求解即可．【解答】解：∫（1+sinx）dx=（x﹣cosx）=π+1+π﹣1=2π．故答案为：2π．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n= 7 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2时方程无解，检验求得n的值．【解答】解：∵（x+1）2（x+）n=（1+2x+x2）（x+）n的展开式中没有x2项，∴（x+）n的展开式中不含常数项，不含x项，不含x2项．∵（x+）n的展开式中展开式的通项为T r+1=C n r x n﹣r x﹣3r=C n r x n﹣4r，r=0，1，2，3…n，方程n﹣4r=0，n﹣4r=1，n﹣4r=2，当n∈N*，5≤n≤8时，无解，检验可得n=7，故答案为：7．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是20π．【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到原几何体，然后利用补形思想得到四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图得原直观图如图，原几何体为三棱锥A﹣BCD，满足AD⊥底面BCD，底面BDC为等腰直角三角形，则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，外接球的直径D满足D2=DA2+DB2+DC2=4+8+8=20，∴外接球O的半径为，∴球O的表面积是4π×．故答案为：20π．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于98 ．【考点】数列与函数的综合．【分析】设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．确定d的可能取值为1，2，3，…，7，运用等差数列的求和公式，即可求f（30，5）．【解答】解：设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．∵a5=a1+4d，∴d=≤，∴d的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d，a1=a5﹣4d≤30﹣4d，当a1分别取1，2，3，…，30﹣4d时，可得递增等差数列30﹣4d个（如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理）．∴当d取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：f（30，5）=26+22+…+2=×（2+26）×7=98．故答案为：98．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）在△BCP中，使用余弦定理求出BP，再使用正弦定理计算sin∠PBC；（2）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系，设P（cosθ，sinθ），求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出•的取值范围．【解答】解：（I）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，∠BCP==，又BC=AB=3，CP=1，∴BP==．在△BCP中，由正弦定理得，即，解得sin∠PBC=．（II）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系如图：则A（，0），B（0，3），设P（cosθ，sinθ），则=（，﹣sinθ），=（﹣cosθ，3﹣sinθ），∴=cosθ（cosθ﹣）+sinθ（sinθ﹣3）=﹣cosθ﹣3sinθ+1=﹣2sin（θ+）+1．∵﹣1≤sin（）≤1，∴1﹣2≤≤1+2．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x 万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求出投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，由此能求出一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率．（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，求出盈利期望和y=，从而得到应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．【解答】解：（Ⅰ）投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，…所以一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率是：p=0.4×1+0.2×0.6+0.4×0.2=0.6．…（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，盈利期望和y=+0.4×（﹣1）+0.4×（8﹣x）+0.4×（﹣）（8﹣x），化简得y=，…所以当x=1时，y最大，最大值是万元，综上：应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．…19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理求出，从而利用勾股定理得到B1A⊥AB，由侧面AA1B1B⊥底面ABCD，得B1A⊥BD，由ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面AB1C，由此能证明平面AB1C⊥平面BDC1．（Ⅱ）以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由向量法能求出在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是，=．【解答】（Ⅰ）证明：∵==3，∴，∴B1A⊥AB，又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD，∴B1A⊥底面ABCD，∴B1A⊥BD，…又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BDC1．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1A⊥AB，B1A⊥AD，如图以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），B1（0，0，），平面AB1C的法向量为=（﹣1，1，0），设=λ，平面ACE的法向量=（x，y，z），则==（0，λ，0），=+==（﹣1，λ，），由=0，得﹣x+=0，由=0，得x+y=0，令x=1，则y=﹣1，z=，即=（1，﹣1，），…∴cos＜＞=，∴=，解得，∴在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是，=．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），代入椭圆方程可得=1，=1由AD⊥AB，可得k AD=﹣，利用斜率计算公式可得：=，=，相乘可得：，又a2﹣b2=3，联立解出即可得出．（2）=k，可得直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），分别令x=0，y=0，可得S△OMN==|x1y1|，由1=+利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），则=1，=1∵AD⊥AB，∴k AD=﹣，因此=，=，∴==，化为，又a2﹣b2=3，解得a2=4，b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）∵=k，∴直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0得x M=3x1，令x=0，得y N=﹣，∴S△OMN==|x1y1|，∵1=+≥|x1y1|，且当|x1|=2|y1|时，取等号，∴△OMN面积的最大值是．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设出切点，求出原函数的导函数，由f′（t）=0且f（t）=0列式求得m值；（2）把存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，转化为当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，然后分m≥1、m≤0、0＜m＜1分类求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]，得f′（x）=﹣e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]+e﹣x（2x+1﹣m）=e﹣x[﹣x2+（m+1）x﹣m]=﹣e﹣x（x﹣m）（x﹣1），设切点为（t，0），则f′（t）=0，f（t）=0，即，解得：或，∴m的值是3或﹣1；（2）依题意，当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，①当m≥1时，当x∈[0，1]时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，∴f（0）＞2f（1），即1，得m；②当m≤0时，x∈[0，1]时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，∴f（1）＞2f（0），即，得m＜3﹣2e；③当0＜m＜1时，当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，当x∈（m，1）时，f′（x）＞0，，f（x）max=f（0）或f（1），记函数，g′（m）=，当m≥0时，g′（x）≤0，g（m）单调递减，∴m∈（0，1）时，g（m）＞g（1）=，∴，，不存在m∈（0，1），使得f（x）max＞2f（x）min，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四点共圆，可得AB•AD=AF •AH．（2）由已知结合切割弦定理求得AD，进一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，则由勾股定理可得△BDF外接圆的半径．【解答】（1）证明：设圆B交线段AB于点C，∵AB为圆O一条直径，∴BF⊥FH．又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，∴B、D、F、H四点共圆．∴AB•AD=AF•AH．（2）解：∵AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AC=AB﹣BD=2，AF2=AC•AD，即，AD=4，∴，BF=BD=1．又△AFB∽△ADH，则，得，连接BH，由（1）可知BH为DBFH的外接圆直径，，故△BDF的外接圆半径为．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，把代入即可得出直角坐标方程．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，利用|AB|=|t2﹣t1|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2y﹣2x．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，∴t1+t2=2，t1t2=0．∴|AB|=|t2﹣t1|==2．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即﹣≤a≤0，根据x的范围，求出﹣的范围，即可得到a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0}．2016年6月14日。