2013年高考二轮复习：第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。
椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。
2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。
抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。
3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。
双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。
4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。
圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。
二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。
1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。
3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。
4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。
总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。
圆锥曲线与方程知识点详细
圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是数学中非常重要的一部分内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、椭圆椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
椭圆的性质：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
2、范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
3、顶点：椭圆有四个顶点，分别为\（（＼pm a, 0)＼）和\（（0,＼pm b)＼）。
4、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
双曲线的性质：1、对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点对称。
圆锥曲线的基本概念与性质
圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。
本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。
1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。
- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。
- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。
1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。
- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。
- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。
1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。
- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。
2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。
2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。
例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。
2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。
例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。
2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。
通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。
3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
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(2)[2012· 浙江卷] 如图5－15－1所示，F1，F2分别是双 x2 y2 曲线C： 2 － 2 ＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点， a b 直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂 直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 ( )
预计 2013 年对该部分考查的基本方向不会有大的转折， 会在选择题或者填空题中考查圆锥曲线的定义、方程和简单 几何性质的应用，在解答题中综合考查圆锥曲线与方程．但 也要注意到新课标对双曲线和抛物线的要求在降低，三大圆 锥曲线中更突出椭圆，还有部分省份，比如安徽，在圆锥曲 线问题中避免用判别式韦达定理来处理，而是直接用整体运 算来支撑整个题目、减小运算量． 复习建议：高考试题中解析几何的解答题一般具有一定 的难度，学生也畏惧解答解析几何试题，但解析几何试题的 特点是思路清晰，运算困难，因此在复习该讲(以及下一讲) 时，要在学生掌握好基础知识和基本方法的前提下，注重运 算技巧的点拨、注重运算能力的培养．
[答案] C
[解析] 如图，设A(x0，y0)(y0<0)．易知抛物线y2＝4x的焦 点为F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1，故由抛物线的定义 得|AF|＝x0－(－1)＝3，解得x0＝2，所以y0＝－2 2，
－2 2－0 故点A(2，－2 2)．则直线AB的斜率为k＝ ＝－ 2－1 2 2 ，直线AB的方程为y＝－2 2 x＋2 2 ，联立 y＝－2 2x＋2 2， 2 消去y得2x2－5x＋2＝0，由x1x2＝1， y ＝4x， 1 得A，B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为 .再由抛物 2 1 3 3 9 BF ＝ － －1 ＝ ， AB ＝ AF ＋ BF ＝3＋ ＝ . 线的定义得 2 2 2 2 2 2 1 9 又因为点O到直线AB的距离为d＝ ，所以S△AOB＝ × 3 2 2 2 2 3 2 × ＝ . 3 2
3 2 x2 y2 (2)函数 y＝ 3－ x 可变为 ＋ ＝1(y≥0)， (1,0)为椭圆的右 4 4 3 焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为 3 和 1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最 小，末项最大即可，所以公比最大值为 3，要使等比数列公比 3 最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为 . 3
►
探究点二 圆锥曲线的几何性质
x2 y2 例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 设 F1，F2 是椭圆 E： 2＋ 2＝ a b 3a 1(a>b>0)的左，右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底 2 角为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为( ) 1 2 A. B. 2 3 3 4 C. D. 4 5
► 探究点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 [2012· 安徽卷] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交 该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) 2 A. B. 2 2 3 2 C. D．2 2 2
[思考流程] (分析)欲求三角形面积需知三角形的结构 ⇨ (推理)根据|AF|＝3和抛物线的定义可确定点A的坐标，进而可 确定直线AB方程或者点B坐标 ⇨ (结论)求出解三角形面积需 要的量即可．
那么可得线段PQ的中点坐标为
2 2
c b (x
c －3c)并整理可得2c ＝3a ，可得e＝a＝
3 6 ＝ ，故应选B. 2 2
[点评] 求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于 a，b，c的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a，b，c的 关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c之间的比例关系，根 据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立 关于a，c的不等式(下面的变式(1))．
x2 y2 变式题 (1)若双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)与直线 y＝ 3x a b 无交点，则离心率 e 的取值范围为( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(1， 5) D．(1， 5] 3 2 (2)函数 y＝ 3－ x 的图象上至少存在不同的三点到(1,0) 4 的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．
圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 例1 [2012· 湖南卷] 已知双曲线C： 2 － 2 ＝1的焦距为 a b 10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( ) x2 y 2 A. － ＝1 20 5 x2 y2 B. － ＝1 5 20 x2 y 2 C. － ＝1 80 20 x2 y 2 D. － ＝1 20 80
[点评] 简单的直线与圆锥曲线位置关系的问题可以通过 求解交点坐标等方式解决，而不必过度依赖一般方法．在抛 物线中过焦点的直线是一个特殊情况，它具有许多性质，其 中最基本的是焦点弦的两个端点横坐标之积、纵坐标之积都 为定值．
变式题 过抛物线 y2＝2px 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．不确定 D．钝角三角形
►
探究点一
[思考流程] (分析)欲求双曲线方程需确定系数a，b ⇨ (推 理)焦距确定一个a，b的方程，点P在渐近线上确定一个a，b的 方程 ⇨ (结论)解方程组得之．
[答案] A
由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝ b 1 1 b 25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝ a x＝ x，得 ＝ a ，解 2 2 得a2＝20，b2＝5，所以选A. [解析]
[点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条 件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在 椭圆中c2＝a2－b2，在双曲线中c2＝a2＋b2.圆锥曲线基本问题 的考查的另一个重点是定义的应用，看下面变式．
x2 y2 y2 2 变式题 (1)设椭圆 ＋m＝1 和双曲线 －x ＝1 的公共 2 3 焦点分别为 F1， 2， 为这两条曲线的一个交点， F P 则|PF1|· 2| |PF 的值等于( ) A．3 B．2 3 C．3 2 D．2 6 (2)设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上 → → → → → → 三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( ) A．9 C．4 B．6 D．3
图5－15－1 2 3 A. 3 6 B. C. 2 D. 3 2
[思考流程] (1)(分析)欲确定椭圆离心率需确定a，c关系 ⇨ (推理)画出图形，确定图形中角的大小以及图形反映的数 量关系得方程确定之 ⇨ (结论)根据离心率定义求得结果； (2)(分析)欲求双曲线的离心率需确定a，c的关系 ⇨ (推 理)写出F1B的方程和双曲线渐近线方程可得P，Q坐标，进而 可得PQ的中垂线方程和PQ的中点坐标，将中点坐标代入中 垂线方程即可确定a，c关系 ⇨ (结论)按照离心率定义求之．
专题五
平面解析几何
第15讲 圆锥曲线的定义、方程
与性质
考点统计
考点 1 圆锥曲线的 定义与标准方程 考点 2 圆锥曲线的 几何性质 考点 3 直线与圆锥 曲线的位置关系
题型(频率)
选择(2) 填空(2) 解答(4) 选择(3) 解答(1) 选择(1) 填空(2) 解答(3)
考例(难度)
2012 广东卷 20(1)(B)，2012 陕西卷 4(B)，2012 陕西卷 13(B) 2012 课程标准卷 4(A)，2012 安徽卷 9(B) 2012 课程标准卷 8(B)，2012 课程标准 卷 20(B)，2012 北京卷 12(B)
1.椭圆 画出椭圆的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾椭圆的定义，两种形式 的标准方程，a，b，c的关系． 椭圆的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，离心率 的范围，图象的对称性． 2．双曲线 画出双曲线的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾双曲线的定义，两种 形式的标准方程，a，b，c的关系． 双曲线的简单几何性质，顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，图象 的对称性，离心率的范围，渐近线方程． 3．抛物线 画出抛物线的图象，标出F，回顾抛物线的定义，四种形式的标准方 程，焦参数p的几何意义． 抛物线的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，离心率的值，准线的方程.
[答案] (1)B
(2)
3 ， 3 3
b [解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为 y＝± x， a 要使直线 y ＝ 3x 与双曲线无交点，则直线 y＝ 3x，应在两渐近线之间， b 所以有 a ≤ 3，即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2 ，c2 －a2≤3a2 ，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1<e≤2，选 B.
说明：A 表示简单题，B 表示中等题，C 表示难题． 频率为分析 2012 各省市课标卷情况．
命题角度：该部分的命题主要围绕两个点展开．第一个点 是围绕圆锥曲线与方程本身的知识展开，命题考查求圆锥曲线 的方程、求椭圆或者双曲线的离心率以及简单的直线与圆锥曲 线交汇的试题，目的是有针对性地考查对圆锥曲线基础知识和 基本方法的掌握程度，试题一般是选择题或者填空题；第二个 点是围绕圆锥曲线与方程的综合展开，命题以圆锥曲线为基本 载体，综合直线、圆等知识的综合性试题，目的是全面考查对 解析几何的知识和方法的掌握程度，考查综合运用解析几何的 知识和方法分析问题、解决问题的能力，这类试题一般是解答 题，而且往往是试卷的压轴题之一，具有一 y＝－bx a
联立解得点P的坐标为
ac bc － ， a＋c a＋c，
b y＝c x＋b， 由 y＝bx a
ac bc 联立解得点Q的坐标为c－a，c－a， a2c c2 2 ， ，代入y＝－ b b
[答案] (1) C
(2)B
[解析] (1)根据题意，一定有∠PF1F2＝30° ，且∠PF2x＝ 3 60° ，故直线PF2的倾斜角是60° ，设直线x＝ a与x轴的交点为 2 M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所 3 c 3 a－c，即4c＝3a，故e＝ ＝ .故选C. 以2c＝2 2 a 4 b (2)依题意得直线F1B的方程为y＝ c x＋b，那么可知线段 c PQ的垂直平分线的方程为y＝－b(x－3c)，