2_5_谓词演算的推理理论[19页]
谓词演算推证
2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。
2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。
推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。
例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。
全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。
该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。
注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。
例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。
显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。
则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。
全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。
注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。
但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。
注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。
第5章谓词逻辑的等值和推理演算
5.3.2 Skolem标准形
前束范式对前束量词没有次序要求，也没有 其他要求 如果我们要求: (1) 只保留全称量词而消去存在量词-Skolem标准形 (2) 所有存在量词都在全称量词之左 (3) 所有全称量词都在存在量词之左 不难想像，仍保持与原公式的等值性就不可 能了，只能保持在某种意义下的等值关系
(2)在{1，2}域上分析
﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x)
(3)语义上的证明
依等值式定义，A=B如果在任一解释I下A真B就真，而且 B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设任一解释I下有﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo)=F 于是﹁P(xo)=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设任一解释I下有 (x)﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo)=T 从而P(Xo)=F 于是(x)P(x)=F 即﹁(x)P(x)=T
对x而言(y)Q(y)相当于命题变项，与x无关，可推得 (x)P(x)(y)Q(y)=(x)(P(x)(y)Q(y)) 对y而言，P(x)相当于命题变项与y无关，又可推得 (x)(P(x)(y)Q(y))=(x)(y)(P(x)Q(y)) 同理(x)(y)(P(x)Q(y))=(x)P(x)(x)Q(x) 然而 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的
5.2.2 量词对→的分配律
这是一组量词对→的分配律，其中p，q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
2-5 谓词演算的四个推理规则
§2.5.1 存在指定规则
例如：
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如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面任找一个球，它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×
√
» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真，且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真， 应用ES规则可得： (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则，并最后还原带量 词的结论形式，在推理过程中经常要消去和 添加量词，以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
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全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真，那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真，因此 US规则通常也可以这样用：
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时，应先作存 在指定，再作全称指定。
» 指定规则的使用
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§2.5.1 存在指定规则
例如：
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如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物，x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如：
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如果从盒子中任取一个球，能证明它是 黑球，那么“盒子里面全是黑球”成立。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
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沈阳工业大学 牛Βιβλιοθήκη 强 陈欣 张胜男 niulq@2.5 谓词演算的推理理论
(4) 存在推广（产生）规则EG（Existence Generalization，或记为∃+） 若A(s)为1，则∃xA(x)为1，即
∵ A(s) ∴∃xA(x) 其中的s为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x不能与A中的其 他个体名重复。 [新规则的作用？] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词， 引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。 注意：当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。例如，┐∀xA(x)⇒┐A(s)是 错误的推理形式，s不能肯定是泛指还是特指。此时，必须使用量词否定等值式将 否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3. 谓词逻辑的一般推理方法
2.5 谓词演算的推理理论
全称指定存在指定-
量化命题：前提
量化命题：结论
谓词填式
命题逻辑推理
谓词填式
全称推广+ 存在推广+
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(2) 全称推广（产生）规则UG（Ubiquity Generalization，或记为∀+） 若A(a)为1，则∀xA(x)为1，即
∵ A(a) ∴∀xA(x) 其中的a必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x不能与A中的 其他个体名重复。 [例] 前例中，y为自由变元，由P(t)→Q(y)可推广为∀x(P(x)→Q(y))，但不能 是∀y(P(y)→Q(y))。
4. 谓词逻辑自然推理示例
[例2-12] 三段论的形式证明。 (a)苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。
证明： 记M(x)：x是人，D(x)：x是要死的，s：苏格拉底，原论断表示为： ∀x(M(x)→D(x) ),M(s)⇒D(s)。
(1) M(s)
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
∵ ∃xA(x) ∴ A(s) 其中的s为论域中的某个特殊个体（some individual），不能与A中的其他个体名 、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。
[例] 考虑推理∃xP(x)，∃x(P(x)∧Q(y))⇒Q(s)的论证。
(1)∵∃xP(x)，P。(2)∴P(u)，∃-(1)。(3)∵∃x(P(x)∧Q(y))，P。(4)∴P(v)∧Q(y) ∃-(2)
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(3) 存在指定（消去）规则ES（Existence Specification，或记为∃-） 此规则也可记作EI（Existence Instantiation），即存在（量词）实例化。 若∃xA(x)为1，则A(s)为1，即
E31 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E32 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E33 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E34 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E35 x(B∨A(x)) B∨xA(x) 表2-1 E36 x(B∧A(x)) B∧xA(x)
量词否定等值式 量词分配等值式（量词分
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
2.5 谓词演算的推理理论
1. 推理定律
谓词演算的基本等价与蕴含关系见表2-1。以此作为推理的基础，即推理定律
。
序号
等价或蕴含关系
含义
E27 ┐xA(x)x┐A(x)
E28 ┐xA(x)x┐A(x) E29 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) E30 x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
I20 xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) I21 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
I22 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
量词作用域的扩张与收缩
表中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定 律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
2. 量词的消除与产生规则 谓词推理是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（
命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词
填式命题。如果仅由表2-1的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这 种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完 成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论