中学数学说题案例教案资料

递增函数，在 1, 1 内是单调递减函数，即函数在 x 1 处取得极值。我们都知道连续函数的最值必
在极值处或区间端点取得，取 x3,有 y2;
取x1,有y2 2; 取x1,有y2。
综上，有函数 y 1x x3的最大值是 2 2
故选（C）
三.解题方法 解法1，函数单调性
解法步骤：
1、求导;
2、令 f x 0 求出相应方程的根;
则有(1g1x1gx3)21212
2
1x
x328
即1x x3 8＝2 2故选（C）
点评：应用柯西不等式需注意到它的结构
三.解题方法 解法5，三角代换
注意到( 1 x)2 ( x 3)2 4容易想到
令 1 x 2cos, 3 x 2sin其中 0, 2,
于是 1 x
x3 2cos 2sin 2
a2 b2 对于本题， 2
代入上式有 1 x x 3 1 x x 3 2,
2
2
所以ymax 2 2故选（C）
点评：应用基本不等式注意：
一正，二定，三等.
三.解题方法 解法4，柯பைடு நூலகம்不等式
我们大家都知道著名的柯西不等式acbd2a2b2 c2d2
对于本题来讲，我们令a1,b1,c 1x,d x3,
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1x x3, 则它的最大值为( )
43
(A) 2
(B)2
(C) 2 2
(D)
3
它选自2012年江苏南通数学模拟卷三，知识点涉及 已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳， 化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。母 题可见于《选修1-1》第四章习题4-1A组第3题。
并判断根两侧的符号; 3、求出极值，端点的函数值; 4、比较得出最值.
求导
求根
求值
比较
三.解题方法 解法2，平方法
把y 1 x x 3两边平方得 y2 1 x x 3 2 1 x x 3 4 2 x2 2x 3 4 2 (x 1)2 4 函数的y 1 x x 3的定义域是 3,1 根据二次函数的性质，显然当x 1时 y2的最大值为8，即ymax 2 2故选（C）
2 sin
4
当
4
时，有ymax
2
2故选（C）
点评：换元后注意新元的范围
三.解题方法 解法6，数形结合1
注 意 到
2
1 x
x 3 2＝4
形式很像圆的方程，我们可以
令 u 1 x ,v x 3则 有 于 是 原 题 变 为 y u v的 最 大 值 我 们 可 以 把 y看 成 直 线 的 截 距 ， 如 图 ，
中学数学说题案例
一、说题引入
❖ 数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思 考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美 妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变 万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让 你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之 为“数学美”。正因为这“数学美”，科学得以 巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世 界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世 界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小 题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数 学的世界就是美的世界。
44 切需满足1414 y2因此ymax 2 2故选（C）
三.解题方法 解法9，构造对偶函数
依题意y 1x x3我们构造Y 1x x3
于是y2 Y2 8,即y2 8Y2显然Y 1x x3
故Y 1x x32,2,即Y20,4
ymax
8 Y2 82 2 min
点 评 ： 构 造 的 函 数 Y1xx3 是 单 调 递 减 的 容 易 求 出 值 域 。
43
(A) 2
(B)2
(C) 2 2
(D)
3
隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为 3 ,1 ,
且有 1xx34.
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1x x3, 则它的最大值为( )
43
(A) 2
(B)2
(C) 2 2
(D)
3
易错点，易混点，关键点都在定义域和式子的结 构。
三.解题方法
解法 探究
解法1，函数单调性
解法2，平方法
解法3，基本不等 式 解法4，柯西不等式
解法5，三角代换 解法6，数形结合1
三.解题方法 解法1，函数单调性
想1、到已最知值函，数最y容易1想到x的是x单3,调则性它，的于最是大想值到为求( 导)。
依令题y( 意A2)，x1 函23 数2的11( Bxy) 20,得 1x( Cx )1 2显x然2在3的定(3D, 义)14域内3 是是3 单 3调, 1
点评：平方后化归为二次函数的最值问题
三.解题方法 解法3，基本不等式
在 基 本 不 等 式 a 2 b2 2ab两 边 同 时 加 上 a 2 b 2， 有2a2 2b2 2ab a2 b2两边同时除以4，整理得，
a2
b2 2
ab 2
2
即
a
2
b
令 1 x a, 3 x b，
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1x x3, 则它的最大值为( )
43
(A) 2
(B)2
(C) 2 2
(D)
3
已知点为给出函数解析式，求证点为求该函数的最
大值，题眼为观察式子结构，定义域
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1x x3, 则它的最大值为( )
很 明 显 ymax 2 2故 选 （ C ）
三.解题方法
解法7，数形结合2 解法8，利用充要条件 解法9，构造对偶函数 解法10，对称性法
解法11，向量法 解法12，公式法
解法 展示
三.解题方法 解法7，数形结合2
注 意 到
2
1 x
x 3 2＝4
形式很像圆的方程，我们可以
令 u 1 x ,v x 3则 有 于 是 原 题 变 为 y u v的 最 大 值 而 直 线
与 圆 相 切 时 有 d r于 是 d | y | 11
r 2因 此 ymax 2 2， 故 选 （ C ）
三.解题方法 解法8，直线与椭圆相切的充要条件
直线Ax By C 0与椭圆x2 y2 1相切的 a2 b2
充要条件为A2a2 B2b2 C2把圆看成特殊的 椭圆，那么直线u v y 0与圆u2 v2 1相