相似三角形的预备定理

l1
A B
l2
D
l3
E
l4
AB 与 DE 相等吗？ C BC EF
F l5
2021/2/4
1
6
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：
∵ l3∥l4 ∥l5 ,
l1
l2
∴
AB DE , BC EF , BC EF AB DE
A
AB DE , AC DF
相似三角形的预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等
的两个多边形为相似多边形.
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1
2
相似三角形的判定:
符号语言：
A
A′在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
B
C B′
C′
AB BC CA. AB BC CA
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
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1
9
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
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1
A
D
E
B
C
10
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
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1
5
探究：
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、 l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在
l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度.
AB 与 DE 相等吗？ BC EF
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AC DF AB DE
B
D l3 E l4
BC EF , AC DF
AC DF , C BC EF
F l5
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1
7
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
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1
8
l1 l2
A
l3
D
E
l4
1
13
探索发现：
变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,
过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与
△ABC相似吗?
A
∵ DE∥BC
D
E
∴△ADE∽△ABC B
C
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1
14
变式2：如图，若点D是AB边 上的任意一点, 过点D作 DE∥BC，量一量，检验△ADE A 与△ABC是否相似。
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型
A
A
A
DE
B
C
B
AC
D B
D
E
B
l
C
D
E
D
l
A
C l
E
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E
B
C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你
可要认真1 噢！
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相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
A
D B
A
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D B
1
E
C
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思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
2021/2/4
1
12
A
探索发现：
D
E
D
E
B
C
如图，在正△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 △ABC相似吗?
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
2021/2/4
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1
k
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1
3
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形, 叫做相似三角形 .
D
A
回顾
B
CE
∠A=∠D, ∠B=∠6E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
从上面的解答中，你获得了那些信息？
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1
18
A
D
E
E
D
A
B
C
预备定理
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
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1
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相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
1
22
练习：
A
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请
尽可能多地找出图中的相似三角形， D
E
并说明理由。
1. DE∥BC 2.DF∥AC
ΔADE∽ΔABC
B
ΔDBF∽ΔABC
3.ΔADE∽ΔABC ΔDBF∽ΔABC
ΔADE∽ΔDBF
F
C
三角形相似
具有传递 性!
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1
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这是两个极具代表性的
1
21
练习：
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可
能多地找出图中的相似三角形，并 O
说明理由。
E
F
1. EF∥AB
ΔOEF∽ΔOAB
C
D
A
B
2.EF∥CD
ΔOEF∽ΔOCD
3.AB∥CD
ΔOAB∽ΔOCD
或：ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD
ΔOAB∽ΔOCD
三角形相似
具有传递 性!
2021/2/4
2021/2/4
E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
F 6
△ ABC∽ △DEF
相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边—成——比—例——。
相似比:AB BC AC
DE EF DF
=k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
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1
4
思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？
1 当两个三角形的相似比为 时，它们
是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
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1
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判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
“X”型
A
D
E
D
E
O
B （图1） C
B
（图2） C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
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A
DB
若DE ∥ BC则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
AD AEDE. AB AC BC
故△ADE∽ △ABC,
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17
B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D
AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
∵ DE∥BC
D
E
B
C
∴△ADE∽△ABC
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1
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变式3：若点D是BA延长线上的
一点,过点D作DE∥BC，与CA的
延长线交于点E，△ADE与
△ABC相似吗?
E
D
A
∵ DE∥BC
G
F
∴△ADE ∽ △ABC B
C
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1
16
如图，已知DE ∥ BC,
则．．．．．．
C E