八年级数学下册 第19章 全等三角形知识梳理 华东师大版
第19章《全等三角形》全章教案(华东师大版初二下)尺规作图(3)doc初中数学 (1)
第19章《全等三角形》全章教案（华东师大版初二下）尺规作图(3)doc初中数学 (1)知识技能目标1.能够利用差不多作图作出符合要求作的几何图形；2.熟练作图的规范语言．过程性目标1.构思作图思路，分解所要求作的几何图形，探究作图步骤；2.通过作图题的练习，培养学生的推理能力，规范几何语言的表达，养成良好的书写格式．情感态度目标认识到尺规作图在生产、生活中的意义，对之产生爱好．重点和难点重点：熟练地把握五种差不多作图步骤；难点：灵活运用五种差不多作图作出符合要求的几何图形．教学过程一、创设情境(1)五种差不多作图是什么？(2)学生在练习本上画出这五种差不多作图〔不写作法，保留痕迹〕．有了差不多作图那个基础，我们能够求作一些较为复杂的几何作图题．二、探究归纳两边及其夹角，求作三角形．：∠α，线段a、b．求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1.作∠MAN＝∠α；2.在射线AM、AN上分不作线段AB＝a，AC＝b；3.连结BC．△ABC为所求作的三角形．注一样几何作图题，应有下面几个步骤：、求作、作法．比较复杂的作图题，在作图之前可依照需要作一些分析．在几何作图题中，要反复应用上节学过的差不多作图，作法中不需要重述差不多作图过程．如题1中需要先作一个角等于角，〝作法〞中只需写〝作∠MAN＝∠α〞即可．三、实践应用例1画一个等腰三角形，使它的底边为a，底边上的高h．：线段a，h．求作：△ABC，使A B＝AC，且BC＝a，高AD＝h．作法：1.作线段BC＝a；2.作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；3.在MN上截取DA，使DA＝h；4.连结AB，AC．△ABC为所求的等腰三角形．例2求作等腰直角三角形，使它的斜边等于线段．：线段a．求作：等腰直角△ABC，使∠A＝90°，BC＝a．作法：1.作线段BC＝a；2.作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；3.在MN上截取DA，使DA＝h；4.连结AB，AC．△ABC为所求的等腰三角形．四、交流反思一样几何作图的步骤：、求作、作法、结论、证明．在一样情形下，只需把握前四个步骤．一些几何作图差不多上有差不多作图组成的．因此，在几何作图时，能够先画草图分析，将复杂的几何作图分解为假设干个差不多作图．五、检测反馈1.画一个等腰三角形，使其腰长等于a，底边长等于b．2.画一个直角三角形，使其直角边分不等于的两条线段．3.画一个四边形，使其两组对边分不相等．。
华师大八年级数学下册-19.2全等三角形的识别-全等三角形的判定
全等. 简记为“角边角”或“ASA”
A
问题：在△ABC 和△A′B ′C ′中
∠A = ∠A′ AB = A′B ′ ∠C = ∠C′
B A′
C
△ABC 与△A′B ′C ′全等吗？
B′
C′
推论：有两角和其中一角的对边对应相等
的两个三角形全等 简记为“角角边”或“AAS”
已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D 求证：AC = AD
M
A
N
A′
B
C
B′
C′
在△ABC 和△A′B ′C ′中
A
∠A = ∠A′ AB = A′B ′ ∠B = ∠B′
B A′
C
∴ △ABC ≌△A′B ′C ′（ASA）
B′
C′
如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O， AB = AC，∠B = ∠C
（1）根据上述条件你能得到全等三角形吗？ A
复习：边角边公理
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
角边角公理 实验：
1.任意画一个△ABC
“角边角”或“ASA”
2.画线有段B两′C′= 角BC和它们的夹边对应相
等的两个三角形全等. 3.在B′C′的同旁分别以B′C′为顶点画∠MB′C′=∠B，
∠NC′B′=∠C，MB′与NC′交于A′.
答：全等，根据AAS
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′
分别是△ABC和△A′B′C′的高.
求证：AD = A′D′
证明：∵ △ABC≌△A′B′C′
A
∴AC = A′C′，∠C = ∠C′（？）
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ ∴∠ADC = ∠A′D′C′= 90°
数学八年级下华东师大版19.2全等三角形的判定-19.2.2边角边课件
例题推广
1 、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分 ∠BAC，求证： ∠B＝∠C ． A 证明: ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∵ AB＝AC ∠BAD＝∠CAD B C D AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等） 利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公 理证明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
二、教学方法与手段
（一）教学方法：
遵循“学生为主体，教师为主导”的教学原则，按照学生从 感性认识到理性认识，从特殊到一般的认知规律，采用学生操 作确认的方式及直观演示验证法，启发式引导学生展开思维、 探究证明思路，循序渐进的教学方法。最大限度提高学生的参 与度。
（二）教学手段：
借助于多媒体课件演示及学生动手操作确认发现新知。
·C
D
E
问题：
有一块三角形的玻璃打碎成如图 的两块，如果要到玻璃店去照样 配一块，带哪一块去？
联系实际
补充与实际生活相关的例题，让学 生体会到全等三角形在实际生活中的应 用，感到数学知识与实际生活密切相关, 提高学生的学习兴趣.
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边， 长度为2.5cm的边所对的角为40° ， 情况又怎样？
做 一 做
画一个三角形，使它的一个内角为45° , 夹这个角的一条边为３厘米，另一条 边长为４厘米.
步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm 2.画∠ MAB= 45°
温馨 提示
3.在射线AM上截取AC=3cm
4.连结BC. △ ABC就是所求的三角形
探究新知⑴
把你画的三角形与同桌画的三角形进行比较，你们 的三角形全等吗？ 动画演示 这是一个 三角形全等的判定方法（1）： 公理。 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么 这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
八年级数学第19章 全等三角形的小结与复习华东师大版知识精讲
初二数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第19章全等三角形的小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴研究命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系；⑵熟练掌握全等三角形的判定方法：（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.），并灵活应用；⑶认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作图；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用.2. 难点：⑴灵活运用（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.）这些全等判定方法，解决各种问题．⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学推理的能力．三. 知识梳理：（一）本章知识框架图：（二）本章知识回顾：1. 命题⑴命题的概念：可以判断正确或错误的句子．命题必是判断句，与句子是否正确无关．正确的命题称为真命题．包括公理和定理等．错误的命题称为假命题．只要能举出一个反例就能说明是假命题．⑵命题的组成：许多命题常由题设（或已知条件）和结论两部分组成；命题常可写成“如果……，那么……”的形式．“如果”开始的部分就是题设，“那么”开始的部分就是结论．2. 公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．⑵定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．3. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每个命题都有逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．注意：SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的条件．6. 尺规作图：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．7. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．8. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例⒈写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）同位角相等，两直线平行．（2）如果x＝3，那么x2＝9．（3）如果△ABC≌△A’B’C’，那么BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’．（4）如果△ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC的三个外角中只有两个钝角．分析：（1）每一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题（2）每一个定理不一定有逆定理．解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等．真命题．（2）逆命题是：如果x2＝9，则x＝3．它是一个假命题．由x2＝9可知，除x＝3外，还有x＝－3．（3）逆命题是：如果在△ABC和△A’B’C’中，BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’，那么△ABC≌△A’B’C’．这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．（4）逆命题是：如果△ABC的三个外角中只有两个钝角，那么△ABC是直角三角形．它是一个假命题．因为△ABC还有可能是钝角三角形．例2. 如图，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BED＝72°，则∠BFD的度数为．分析：由AB//CD可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，又因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，可得∠ABF＋∠CDF＝12（∠ABE＋∠CDE），而∠ABE＋∠CDE＝∠BED＝72°．所以∠BFD＝36°．解答：∠BFD＝36°例3. 测量池塘两端的距离．校八（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下几种方案．（I）如图⑴，先在平地取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长．（Ⅱ）如图⑵，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B距离．阅读后回答下列问题：⑴方案（I）是否可行？，理由是．⑵方案（Ⅱ）是否切实可行？，理由．⑶方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？，理由．分析：实际问题转化为数学问题，关键是找到数学模型．问题中的（1）、（2）、（3）可转化为判断两个三角形是否全等，解：⑴可行，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB，EC＝BC，根据（S．A．S．）识别方法知△DCE≌△ACB，所以DE＝AB．⑵可行，∠EDC＝∠ABC＝90°，CD＝CB，∠ECD≌△ACB，根据（A．S．A．）识别方法知△ECD≌△ACB，所以DE＝AB．（3）为了使△EDC≌△ABC 成立．∠EDC＝∠ABC，CD＝CB，∠ECD＝∠ACB，根据（A.S.A.）识别方法知△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．例4. （2006年乐山市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，EF交AD于点G，交BC于点H．⑴图中的全等三角形有对，它们分别是：（不添加任何辅助线）⑵请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．我选择的是：．证明：C D分析：本题重在考查学生的识图能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．解：⑴2，△AEG≌△CFH和△BEH≌△DFG．⑵△AEG≌△CFH．证明：在平行四边形ABCD中，有∠BAG＝∠HCD．所以∠EAG＝180º－∠BAG＝18Oº－∠HCD＝∠FCH．又因为BA∥DC，所以∠E＝∠F．又因为AE＝CF，所以△AEG≌△CFH．例5. （2006年湖州市）如图（1），已知Rt△ABC中，∠C＝90º．根据要求作图；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法．）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为点H；③连接ED．分析：只需依次按要求作图．解答：如右图⑵．例6. 如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证：AB＝AC，AD＝AE．分析：对于几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要看清问题的实质，准确把握要解决问题的方向．证明：因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE所以△ABD≌△ACE（AAS）．所以AB＝AC，AD＝AE．例7. 如图所示，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长．分析：⑴折叠是一种轴对称，故折叠前后会产生全等形．⑵通过设未知数，用方程的知识来解决有关几何的计算问题是一种非常有用的方法．欲求CE的长，可考虑在Rt△CEF中利用勾股定理求得．由△AFE≌△ADE可知EF＝DE，即EF＋CE＝CD＝AB＝8．因此，要求CE的长，只需求出CF的长，而CF＝BC－BF．故只需根据题目的已知条件求出BC和BF的长即可．解：由AB＝8，S＝24，所以BF＝6．所以在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，AF＝10．由题意可知△ADE≌△AFE，所以AD＝AF＝1O．所以CF＝BC－BF＝AD－BF＝1O－6＝4．设CE＝x，则EF＝DE＝8－x，在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，x2＋42＝（8－x）2．解得x＝3．所以EC的长为3．例8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90º，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，作AH BC 于H，若AH＝5cm，求四边形ABCD的面积．分析：求不规则四边形面积常用割补法，使图形变成规则图形，而面积保持不变．解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠B在△ADE和△ABH中∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠AHB＝90°，AD＝AB∴△ADE≌△ABH（AAS）∴AE＝AH＝5cm∴△ADE面积＝△ABH面积四边形ABCD面积＝矩形AHCE面积＝AE·AH＝5×5＝25（cm2）．例9. 如图，已知AE平分∠BAC，AB＝AC＋BD，E是CD的中点，试证明BE平分∠ABD．分析：本题抓住“AB＝AC＋BD”，通过截长、补短的方法添加辅助线构造全等三角形，从而顺利解决了问题，“截长补短法”添加辅助线是解决形如条件“a＝b＋c”型问题中普遍采用的方法．要证BE平分∠ABD，即证∠ABE＝∠DBE．考虑到AB＝AC＋BD且AE平分∠CAB，可尝试通过三角形全等来证明·显然图中三角形均不全等，因此，必须构造全等三角形．由AE平分∠CAB得∠1＝∠2，AE可看作公共边，条件AB＝AC＋BD是关键，其一，构造一个三角形与 ACE全等，则需在AB上截取AF＝AC；其二，构造一个三角形与△ABE 全等，则需延长AC至F使AF＝AB，由此找到突破口，问题便可解决了．证法一：在AB上截取AF＝AC，连结EF如图（1）因为AB＝AC＋BD，AF＝AC，所以BF＝BD．在△ACE与△AFE中，由AC＝AF ，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE得：△ACE≌△AFE（S.A.S.）则CE＝FE因为E为CD中点，则CE＝DE所以FE＝DE在△BEF与△BED中BF＝BD，BE＝BE，EF＝ED所以△BEF≌△BED（S.S.S.）所以∠FBE＝∠DBE，即BE平分∠ABD．证法二：如图（2），延长AC至F，使CF＝BD，连结EF因为AB＝AC＋BD，CF＝BD所以AB＝AF在△ABE与△AFE中AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE所以△ABE≌△AFE（S.S.S.）所以BE＝EF，∠F＝∠ABE在△BED与△FEC中由BE＝FE，CE＝DE，BD＝FC得△BED≌△FEC（S.S.S.）所以∠EBD＝∠F所以∠EBD＝∠ABE，即BE平分∠ABD．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1、以下命题：①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．其中的真命题是 （ ）A. ① ③B. ① ④C. ① ② ④D. ② ③ ④2、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是 （ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边3、根据下列条件，能惟一画出△ABC 的是 （ ） A. ∠A ＝60º，∠B ＝45º，AB ＝4； B. AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30º C. AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8； D.∠C ＝90º，AB ＝64、如图所示，在等边△ABC 中，D 、E 、F ，分别为AB 、BC 、CA 上一点（不是中点），且AD ＝BE ＝CF ，图中全等的三角形组数（都全等的为一组）有 （ ）A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组5、如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ABE ADC ∆≅∆的根据是 （ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS6、如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，则∠BAD ＋∠C 的和为 （ ） A. 120º B. 150º C. 180º D. 210º7、如图，在△ABC 中，DE 、GF 分别是AB 、AC 边上的垂直平分线，若AB ＝10， BC ＝22，AC ＝18，则△AEG 的周长等于（ ）A. 22B.24C. 25D. 308、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 是△ABC 的三条角平分线的交点，则O 到AB 的距离是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2.4二、填空题9、写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ． 10、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；11、如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC ＝7cm ，那么ED ＝ cm ；如果∠ECD ＝60°，那么∠EDC ＝ ．12、如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，O 为BD 中点过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若︒=∠60ADB ，EO ＝10，则∠DBC ＝ ，FO ＝ ．13、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB ＝3，PP ′＝ ．14、如图所示，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，线段AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，且AC ＝FD ，则△ABF 是 三角形．15、如图，在ΔABC 中，已知AB 的垂直平分线交AC 于E ，ΔABC 和ΔBEC 的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长为．16、如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，点C与点C’重合，则折叠后重合部分的面积为．三、解答题17、如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC＝OA，并简述步骤．M18、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE，求证：AE＝CE．19、已知如图：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于E，ED＝2，求：E到BC的距离．20、已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：DE＝DF；（2）求证：AD⊥EF．【试题答案】一. 选择题。
第19章《全等三角形》全章教案(华东师大版初二下)尺规作图第1课时doc初中数学
第19章《全等三角形》全章教案（华东师大版初二下）尺规作图第１课时doc初中数学〔一〕本课目标学会线段、角的尺规画法及其和、差画法，认识角的画法的理论依据．〔二〕教学流程1．复习导入往常，我们是如何样画一条线段等于线段、画一个角等于角的？2．课前热身〔1〕在稿纸上任意画一条线段a和一个∠1，•然后用刻度尺和量角器画一条线段AB=a，∠AOB=∠1．〔2〕你的这种画法必须要先明白什么？3．合作探究〔1〕整体感知通过复习和课前热身，整体感知：尺规画法的概念，然后进一步学习线段和角的尺规画法．〔2〕四边互动互动1师：如下图，一条线段a，•假设我们手中只有圆规和一把没有刻度的直尺，你能画一条线段AB=a吗？如何样画呢？a生：〔学生讨论、交流〕能；先画一条射线AM，然后用圆规量取线段a的长，再在射线AM上截取线段AB=a/师：对！这种画法不必明白线段a的长，像如此只用圆规和没有刻度的直尺的画图，叫做尺规作图．明确尺规作图的概念；用尺规作一条线段等于线段．互动2师：〔出示投影中的咨询题〕如下图，线段a、b，用尺规作一条线段AB=a+b．试试看．ab生：生作图〔师巡视，并找出错例当堂订正〕．师：你能将你的作图过程用语言表达一下吗？生：〔学生回答后〕师出示投影，展现正确的作图过程和作法的书写．师：假设将题改为：作线段AB=a-b呢〔a>b〕？明确线段的和、差画法．互动3师：请完成第99页的〝试一试〞．师：你能讲明其中的道理吗？生：由全等三角形的识不方法〔SSS〕可知：△COD≌△C′O′D′，再由全等三角形的对应角相等可得：∠AOB=∠A′O′B′．师：对；用尺规作一个角等于角，实际上是由〔SSS 〕作一个三角形全等于的三角形，再由全等三角形的对应角相等而得出两个角相等的．那么它的作图过程中的第二步：〝以O 为圆心，以适当的长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D 〞能否改成：〝任画一直线分不交OA 于C ，OB 于D 〞呢？生：能．明确 用尺规作一个角等于角．互动4师：〔出示投影咨询题〕如下图，∠AOB 、∠1〔∠AOB>∠1〕，•请以∠AOB 的边OB 为一边，作∠BOC=∠1？在你们的稿纸上任意画出这两个角，作图试试看并将结果互相交流．1AB 0师：你画出了几种情形？生：两种〔可能有些同学感到困惑，师展现投影答案，让学生明确为何有两种情形〕． 师：在你所画的图形中，∠AOC 的大小如何？生：∠AOC=∠AOB+∠1或∠AOC=∠AOB-∠1．师：专门好！这确实是角的和或差的画法．第一，两个角的一边要重合，画角的和时，一个角落在另一个角的外部，而画角的差时，一个角要落在另一个角的内部．明确 在巩固角的尺规画法的基础上，进一步把握角的和、差画法．4．达标反馈〔1〕线段AB 、CD ，如下图．求作一条线段，使它的长度等于AB+2CD ．〔2〕∠AOB 、∠1〔∠AOB>∠1〕，如下图． 1A B①以OA 为一边求作∠BOC=∠1；②假设∠AOB=80°，∠1=30°，求∠AOC 的度数．〔3〕假设线段AB=7cm ，点C 在直线AB 上，且AC=5cm ，求线段BC 的长．【答案】 〔1〕略 〔2〕①略 ②50° 〔3〕2cm 或12cm5．学习小结〔1〕内容总结①尺规作图的概念；②用尺规作一条线段等于线段及线段的和、差画法；③作一个角等于角及角的和、差画法．〔2〕方法归纳：线段与角的和、差画法，•实际上是生活中一些实例的反映〔师能够演示两根木棒的加、减〕．〔三〕拓展延伸1．链接生活你是如何样与你的爸爸比身高的？你爸爸比你的身高高多少呢？2．巩固练习①线段AB、CD如下图，画一条线段，使其等于AB-2CD．C②∠A、∠B如下图，画一个角，使其等于∠A-∠2B．A B③线段AB、CD如下图，画一个等腰三角形，使其腰长等于AB，底边长等于BC．D【答案】略〔四〕板书设计。
华东师大版初中数学电子教材-第19章-全等三角形
§19全等三角形 2 §19.1 命题与定理 21．命题 22．公理、定理 3§19.2 三角形全等的判定 41．全等三角形的判定条件 42．边角边 63．角边角 84．边边边 105．斜边直角边 12阅读材料 15§19.3 尺规作图 161．作一条线段等于已知线段 162．作一个角等于已知角 163．作已知角的平分线 174．经过一已知点作已知直线的垂线 175．作已知线段的垂直平分线 19阅读材料 20§19.4 逆命题与逆定理 211．互逆命题与互逆定理 212．等腰三角形的判定 223．角平分线 244．线段垂直平分线 25小结 28复习题 29课题学习 30§19全等三角形你玩过拼图游戏吗？那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画.那些拼板有不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系？发挥你的智慧，想想看！§19.1 命题与定理1.命题思考我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等．根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）同旁内角相等，两直线平行；（4）平行四边形的对角线相等；（5）直角都相等．根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，将它写成“如果……，那么……”的形式，也可分清它的题设与结论．例如，命题（5）可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”．例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可．练习1 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论．（1）全等三角形的对应边相等；（2）平行四边形的对边相等．2 指出下列命题中的真命题和假命题．（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°．2 公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）．我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等．在本书中我们将这些真命题均作为公理．数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余．已知：如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°．证明∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．练习1 把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°．2 判断命题“内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由．习题19.11 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明．（1）两个锐角的和等于直角；（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（第3题）2 把下列命题改成“如果……，那么……”的形式．（1）全等三角形的对应边相等；（2）菱形的对角线相互垂直；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．3 试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．”即，已知：如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为E、F．求证：AB∥CD．（第3题）§19.2 三角形全等的判定1.全等三角形的判定条件我们知道：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？显然由于三角形的内角和等于180°，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等．这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等．能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角），这两个三角形一定全等吗？（1）如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？（2）如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形一定全等吗？想一想，会有几种可能的情况？分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等．（1）三角形的两个内角分别为30°和70°；（2）三角形的两条边分别为3cm和5cm；（3）三角形的一个内角为60°，一条边为3cm；（i）这条长3cm的边是60°角的邻边；（ii）这条长3cm的边是60°角的对边．你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．思考如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？练习1. 如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180o，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.2 如图，AE是平行四边形ABCD的高，将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E与点F重合，则△ABE≌_________，∠F＝_________°．3 如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D与点E重合，则△ABD≌_________，AD＝_________，BD ＝_________．2 边角边如果两个三角形有3组对应相等的元素，那么含有以下的四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边．我们将对这四种情况分别进行讨论．如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？如图19.2.1所示，此时应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角．如图19.2.2，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论．步骤：1 画一线段AB，使它等于4cm；2 画∠MAB＝45°；3 在射线AM上截取AC＝3cm；4 连结BC．ABC即为所求．如图19.2.3，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合；因为∠B＝∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起，而BC＝B′C′，因此点C与点C′重合．于是△ABC与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：。
2020春八年级数学下册第19章全等三角形尺规作图习题课件华东师大版
【归纳】尺规作图中的直尺只能画线而不测量保留痕迹.
【预习思考】 1.几何中的画图和尺规作图有什么不同? 提示：画图是指画出某个图形,对画图工具不作要求；尺规作 图对工具有严格的限制. 2.用直角三角尺画一个直角,是尺规作图吗? 提示：不是.
基本尺规作图 【例1】(8分)如图,一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图,作出 线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明)； (2)若不用尺规作图,你还有其他的作法吗?请说明作法(不作图).
【跟踪训练】 1.下面的说法,错误的是( ) (A)线段有且只有一条中垂线 (B)线段的中垂线平分线段 (C)线段的中垂线是一条直线 (D)经过线段中点的直线是线段的中垂线 【解析】选D.经过线段中点的直线如果不和线段垂直则不是线 段的中垂线,所以,选项D错误.
2.所谓尺规作图中的尺规是指:_____________________. 【解析】尺规作图中的尺规是指没有刻度的直尺和圆规. 答案：没有刻度的直尺和圆规
4.尺规作图:如图所示: 结论:△ABC即为所求.
【规律总结】 尺规作图四注意
第一,不能擅自增加圆规和直尺的功能； 第二,不能用“目测”替代圆规； 第三,不能用三角板的直角替代作垂直的过程； 第四,熟练课本上介绍的基本作图步骤.
【跟踪训练】 4.利用基本作图不可作的等腰三角形是( ) (A)已知底边及底边上的高 (B)已知底边上的高及腰 (C)已知底边及顶角 (D)已知两底角 【解析】选D.因为选项D没有边长,所以这样的三角形不可作.
【解析】(1)如图所示.
(2)连结PB,∵MN垂直平分AB,∴PA=PB. 又∵∠A=45°,∴∠APB=∠BPC=90°, 而 AB 2∴2A,P=BP=2,∴PC=2PA=4, 在Rt△BCP中, BC PC2 PB2 42 22 2 5.
华师大版八年级下册数学第19章知识点大全
华师大版八年级下册数学第19章知识点大全人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大家准备了八年级下册数学第19章知识点，欢迎阅读与选择!
19.1命题与定理
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
(1)命题必须是个完整的句子;
(2)这个句子必须对某件事情做出判断。
>>>>八年级下册数学知识点：命题与定理知识点
19.2全等三角形的判定
1.全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等. (3)全等三角形的周长相等,面积也相等.
>>>>初二数学全等三角形的判定知识点总结
19.3尺规作图
①拼图：即图形的组合，例如用等腰梯形拼菱形
②位似图形的画法。
③常见图形的基本做法，例如角的平分线，突破方法：>>>>八年级数学三角形的尺规作图知识点
19.4逆命题与逆定理
一、命题
1.概念：对事情进行判断的句子叫做命题.
2.组成部分：命题由题设和结论两部分组成.每个命题都可以写成“如果??，那么??”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论.
>>>>初二下册数学知识点：逆命题与逆定理知识点
八年级下册数学第19章知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~。
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《全等三角形》知识梳理 同学们身边有很多的全等形，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类全等形，要想学好全等知识，一定要掌握下面的内容。
一、知识网络
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
三、疑点、易错点
1、对全等三角形书写的错误
在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
切记不要弄错。
2、对全等三角形判定方法理解错误；
3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。
四、典例赏析
例1、如图： AD//BC,AB//CD 你能找出其中的全等三角形吗？说明你的理由。
解析：由AB//CD 可得12∠=∠，由AD//BC 可得34∠=∠，1234AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，可得：ABC ∆≌CDA ∆，
点评：通过间接条件得到直接条件，是解决问题时经常遇到的，目的是考查对知识的综合运用。
你会做吗？
变式1：改AD//BC,AB//CD 为,AD BC AB CD ==又如何？能得到一样的结论吗？
变式2：若将“AD//BC,AB//CD ”改为AD//BC
AD BC =，能得到一样的结论吗？
例2、如图，OC 平分,,AOB OA OB PD AC ∠=⊥于,D PE BC ⊥于E ，求证：.PD PE =
证明：因为OC 平分AOB ∠
所以AOC BOC ∠=∠，
因为,,OA OB OC OC ==
所以
AOC ∆≌()BOC SAS ∆ 所以
ACO BCO ∠=∠，
即OC 是ACB ∠的平分线。
因为
,,PD CA PE CB ⊥⊥ 所以PD PE =（角平分线上的点到角边的距离相等） 点评：本题主要应用了全等三角形的有关知识和角平分线性质，解决本题的关键是把要证明相等的两条线段看作一个平分线上的点到该角两边的距离。