1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-2-2 数列递推关系综合应用
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
1．等差数列、等比数列的定义与递推关系 (1)an－an－1＝d⇔{an}为等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1. (2)aan－n 1＝q(q≠0)⇔{an}为等比数列⇔a2n＝an－1·an＋1(an≠0)．
n＝1 n≥2 .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
4．构造法 (1)递推关系形如 an＋1＝pan＋q(p，q 为常数)可化为 an＋1＋p－q 1＝pan＋p－q 1(p≠1) 的形式，利用an＋p－q 1是以 p 为公比的等比数列求解． (2)递推关系形如 an＋1＝apn＋anp(p 为非零常数)可化为an1＋1－a1n＝1p的形式．
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
类型一 数列 Sn 与 an 的递推关系与应用 突破 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的理解
[例 1] (2018·武汉市武昌区调研考试)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式； [解析] (1)当 n＝1 时，a1＝2a1－2，所以 a1＝2.(1 分) 当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2， Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)，即 an＝2an－1.(3 分) 所以数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
2．在数列{an}中， a1＝1, a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________. 答案：n2＋n1
2024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 (解析版)
数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 （解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。
2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-2 数列递推关系综合应用 Word版含解析
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )A ．－2 B.－1 C.0D.(－1)n解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B.a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D.a n ＝3n解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n＝1n . 答案：A3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10D.11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.答案：C4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5D.15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.故选A. 答案：A5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( ) A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019D.1 009×2 020解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 0182＝1 009×2 019.答案：C6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210B.211C.224D.225解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211. 答案：B7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－12a n ，则a n ＝( ) A.13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B.12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 C ．2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n －1，即a n a n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .故选D.答案：D8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n－1 B.a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D.a n ＝13n －2解析：由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.故选C. 答案：C9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050D.10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.故选C.答案：C10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168D.195 解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1， 可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， ∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C. 答案：C 11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111B.910C.1011D.1112解析：由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n . ∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 答案：C12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2D.3解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2. ∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n项和为S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)．则S 33＝13(3×33＋1－1)＝3.故选D.答案：D 二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0， 则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：614．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1. 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13， 得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n－1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －116．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有 颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为 颗．(结果用n 表示)解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15， a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3.∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝(n －1)(5＋4n －3)2＝2n 2－n －1.∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n 6.答案：66 4n 3＋3n 2－n6专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列． 设a n ＝a 1＋(n －1)d .则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n . (2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列．(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝13，6a 2＝a 1＋a 3＋8，∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝13(舍)． ∴a n ＝a 2q n －2＝3n －1，S n ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝3n2，∴S n ＋12S n －1＋12＝3n 23n －12＝3(n ≥2)， ∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3等比数列． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2a 1.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小． 解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以b n ＋1＝2n ＋1，1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋n (1＋2n －1)2＝n 2＋1.因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)， 当n ≥3时，n (n －2)>0，所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <34.解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)＝4(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3) ＝1n ·(n ＋2)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， ∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13.综上，13≤T n <34.。
2.1.2数列的递推关系
2.1.2数列的递推关系一、内容和内容解析数列是除数、形、三角、函数外又一个重要的数学概念，是数学发展的又一个重要主题.在第一节课的学习中学生已初步接触数列，了解了数列的基本概念，可以发现，数列的简单表示呼应数列是一种特殊函数，类比给出了三种不同的表示法：通项公式、列表法、图象法，而递推公式也是数列的一种表示方法.上一节课学生已经学习了用通项公式来表示数列，这一节课的重点是让学生进一步了解数列的另一种表示方法，即数列的递推关系.递推关系是数列所特有的表示方法，它表示的是数列的某一项和它的前一项或前若干项之间的关系，它紧密的联系着数列的通项，体现着数列项与项之间的某种关系.数列的递推关系同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推关系是不唯一的，可以有不同形式.同函数一样，我们还可以根据数列的递推关系研究数列的性质，包括单调性、周期性等等.通过对数列递推关系的进一步研究，可以更好的体会到所有的事物虽在不断变化着，但在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的，我们可以用递推的思想去研究这些变化.二、学生认知基础分析1．学生已有的经验和基础．(1)学生已经学习了函数的知识以及数列的基本概念及其简单表示，为这节课的学习奠定了一定的基础.而且学生在小学时就有了对数列知识的启蒙，比如根据前几项找一列数的规律，通过一列数写出某一项等等，这都蕴含着数列概念及表示法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素以及用代表性元素表示两者或多者之间关系的经验．(3)学生具有学习用递推关系表示一列数的心理需求.2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对一列具有复杂规律的数难以直接寻求它们之间的关系.(2)对数列递推关系的理解只停留在表面，难以通过抽象的概念应用到实际问题中.(3)不善于把所有的数学知识形成一个自我的体系，不擅长联系旧知来学习新知，对数学概念的理解停留在表面.(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数列的精神实质.三、目标和目标解析结合教学指导意见和教学实际，制定教学目标如下：1.知识与技能：经历通过递推关系写通项公式、通过数列前几项写递推关系以及根据数列递推关系寻找数列的性质，掌握数列递推关系的基础知识和基本技能.2.数学思考：数学是一个融会贯通的整体，学会从函数的角度认识数列，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.3.问题解决：通过例题解析，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，了解并掌握数列简单表示方法的概念以及数列递推关系的应用.4.情感态度：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，强化数学应用意识.四、教学重点、难点重点：数列递推公式的认识与递推公式的应用难点：通过数列递推公式写数列通项公式及研究数列性质五、教学过程设计（一）复习引入，提出课题上一节课我们学习了数列的基本概念，我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，记为{}n a.把表示{}n a的第n项与序号n之间的关系式称为数列的通项公式.（1）在上图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.1a类比于函数，我们把这种数列的表示方法称为解析式法.=n3-n同样，除了解析式法，还可以用列表法、图象法来表示数列.列表法问题：写数列通项公式时，你最先发现这个数列的规律是？后一项是前一项的3倍，即)2(31≥=-n a a n n .我们把这种项与项之间的等式关系称为数列递推关系，它也是数列的一种表示方法.[设计意图] 通过具体例题回顾上一节的知识，从函数的角度类比数列的几种简单表示方法，引出新课内容.（二）分组练习，交流分享分组：分成四个小组，各自完成一道习题，相互交流讨论并选出一名发言人汇报讨论结果.巡视、点拨：了解学生的答题情况，对讨论过程中个别疑难处进行指导.1.根据数列的递推关系，写出数列的前五项并猜想这个数列的通项公式.（1）已知;2,111+==+n n a a a（2）已知;21,211n n a a a ==+ （3）已知);2(1,111≥+==-n a n n a a n n （4）已知.23,5,31221n n n a a a a a -===++[设计意图] 通过练习1让学生进一步体会根据数列的递推关系可以把数列的每一项都表示出来，利用分组练习充分发挥学生合作交流的能力，让学生“动n a 13-k起来”，让课堂“活起来”.2.（1）下面四个图形中的点数依次构成数列的前四项，请写出它的一个递推关系.（2）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出它的一个递推关系.（3）已知数列的前四项分别为：1,2,6,15，请写出它的一个递推关系.[设计意图] 以图形的形式展现数列的前几项，寻找图形之间的关系从而写出数列的递推关系.以丰富的形式提高学生学习探究的兴趣，激发学生的求知欲.（三）例题解析，思维提升例1.已知正项数列{}n a 满足22,111+==+n n n a a a a . ①求;,,432a a a ②能否判断{}n a 的单调性？可否求证？[设计意图] 数列的递推关系的应用，先尝试通过递推关系写出前几项猜想数列的单调性，再根据数列的递推关系引导学生利用作差法、作商法求证猜想.通过这个例子培养学生大胆猜想，严谨求证的数学能力.例2.已知数列{}n a 满足,11,211n n a a a -==+则)(2016=a .2.A 21.B2.-C 1.-D [设计意图] 数列的递推关系的应用，让学生先通过递推关系写出数列的前几项发现规律，然后猜想第2016项，体会由数列的递推关系判断数列的周期性.找规律找周期性这类问题是学生从小学就开始接触的，这种熟悉的问题更易让学生动手尝试，从而达到知识拓展、思维提升的目的.归纳小结：数列递推关系的应用：①写出数列的通项公式；②判断数列的单调性；③周期性.（板书）[设计意图] 通过教师适当的点拨和小结，让学生站在更高层次去理解数学本质.（四）联系自然，课外拓展1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…提问：你能发现这个数列的规律吗？如果用n a 表示第n 个月的兔子的总对数，可以看出，)3(21≥+=--n a a a n n n这是一个由递推关系给出的数列，我们把这个数列称为斐波那契数列.拓展1：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波那契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”，蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.拓展2：把相邻两项的比值看做一个新的数列，即⋯⋯+,,,2113,138,85,53,32,21,111n n a a当n 趋向于无穷大时，其比值趋向于618.0215≈-，即黄金比值. 故斐波那契螺旋又称为黄金螺旋.拓展3：神奇的是，飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处.包括在建筑上，美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.[设计意图] 数学来源于生活，数学是有用的，数学的美妙也体现在生活中的方方面面.让学生从更多角度认识数列的递推关系.（五）归纳总结，作业布置提问：通过今天这节课你收获了什么？[设计意图]通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．分层布置作业必做题：书P34，第4,5,6题.选做题（探究提升）：阅读了解斐波那契数列相关内容，体会数列的递推关系的应用.。
数学必修Ⅴ人教新课标A版2-1-2数列的性质和递推关系课件(40张)
答案： A
数学 必修5
第二章 数 列
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3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值 是________．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9， ∴当n＝3时，an有最小值－9. 答案： －9
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第2课时 数列的性质和递推关系
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1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的 前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方 法．
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得aan－n 1＝aann－ －12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n＝1时，a1＝21＝2成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
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某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后 一排都比前一排多2个座位(如图)．
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初中数学点知识归纳数列的递推关系和求和公式
初中数学点知识归纳数列的递推关系和求和公式数列是数学中常见的概念，它按照一定的规律排列起来的数的集合。
数列的递推关系和求和公式是数列中常用的重要工具，在数学问题的解答中起着重要的作用。
下面将对数列的递推关系和求和公式进行归纳和总结。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是根据已知的数列中的某几项，通过递推公式求得数列中的下一项的方法。
递推关系有多种形式，常见的有等差数列和等比数列。
下面分别介绍这两种数列的递推关系。
1.等差数列的递推关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为an =a1 + (n-1)d。
其中，an表示等差数列中的第n项。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。
根据递推关系，可以得到a10 = 3 + (10-1)2 = 21。
2.等比数列的递推关系等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为an =a1 * r^(n-1)。
其中，an表示等比数列中的第n项。
例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
根据递推关系，可以得到a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
二、数列的求和公式求和公式是用来计算数列中一定范围内的所有数的和的公式。
数列的求和公式有多种，常见的有等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
下面分别介绍这两种数列的求和公式。
1.等差数列的求和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则等差数列的求和公式可以表示为Sn = (n/2)(2a1+(n-1)d)。
例如，已知等差数列的首项为4，公差为3，求该数列的前10项的和。
根据求和公式，可以得到S10 = (10/2)(2*4+(10-1)3) = 145。
2.等比数列的求和公式设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项的和为Sn，则等比数列的求和公式可以表示为Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)。
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专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )A ．－2 B.－1 C.0D.(－1)n解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1n B.a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D.a n ＝3n解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .答案：A3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10D.11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 答案：C4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5D.15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.故选A. 答案：A5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( ) A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019D.1 009×2 020解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1， 于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 0182＝1 009×2 019.答案：C6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210 B.211 C.224D.225解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211. 答案：B7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－12a n ，则a n ＝( ) A.13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B.12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 C ．2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n －1，即a na n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.故选D.答案：D8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B.a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D.a n ＝13n －2解析：由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.故选C.答案：C9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050D.10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.故选C.答案：C10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168D.195 解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C. 答案：C 11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111B.910C.1011D.1112解析：由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n . ∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 答案：C12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2D.3解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2n ＝1＋3(n－1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2.∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n 项和为S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)． 则S 33＝13(3×33＋1－1)＝3.故选D. 答案：D 二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：614．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1. 因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13， 得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列， 所以a n ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －116．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有 颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为 颗．(结果用n 表示)解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15， a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3. ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝(n －1)(5＋4n －3)2＝2n 2－n －1.∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n 6.答案：66 4n 3＋3n 2－n6专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列． 设a n ＝a 1＋(n －1)d .则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n . (2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列． (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝13，6a 2＝a 1＋a 3＋8，∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝13(舍)． ∴a n ＝a 2qn －2＝3n －1，S n ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝3n2，∴S n ＋12S n －1＋12＝3n23n －12＝3(n ≥2)， ∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3等比数列． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2a 1.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小．解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以b n ＋1＝2n ＋1， 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋n (1＋2n －1)2＝n 2＋1. 因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)， 当n ≥3时，n (n －2)>0，所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <34.解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)＝4(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3)＝1n ·(n ＋2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， ∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13. 综上，13≤T n <34.。