概率论与数理统计+二维连续性随机变量及其分布
例2
2, (x, y) ∈G f (x, y) = . 0, 其他
解
X 型区域G : 1 − x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
例3 设X～b(n,p),求E(X),D(X). 解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令
i 试 成 , 1, 第次 验 功 Xi = i 试 失 0, 第次 验 败
E ∑Xi = ∑E( Xi ) i=1 i=1
n n
线性性质
4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
E ( Π Xi ) = Π E( Xi )
n i=1 n i=1
概率论与数理统计
（二）方差 1.定义 D(X)=E [X-E(X)]2 标准差： D( X ) 2.计算 (1) 计算公式 计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X). (2) 离散型：D( X ) = ∑ [ xi − E ( X )]2 pi .
cov(X,Z) ρXZ = = 3/2 . D(X) D(Z)
概率论与数理统计
ρXY =1/ 2, cov(X,Y) = 2
例8 θ～U[-π,π],X=sin θ, Y=cos θ,X,Y是否相 关，是否独立？ +∞ 解 E ( X ) = E (sin θ ) = ∫ sin θ f (θ )dθ
1 dθ = 0, = ∫ sin θ ⋅ −π 2π
概率论与数理统计
例1
已知随机变量 X 的分布律为
X
1
0
p
p
1− p
求D(X). +∞ 解 E( X ) = ∑xi pi = 1× p + 0×(1− p) = p,
i =1
E( X 2 ) = ∑xi2 pi = 12 × p + 02 ×(1− p) = p,
i =1
+∞
D( X ) = E( X 2 ) −[E( X )]2 = p − p2 = p(1− p)
概率论与数理统计
j =1 i =1
+∞ +∞
例6
解 X 型区域G : x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1;
1 1
y
4 cov( XY ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = . 225 概率论与数理统计
4 E ( XY ) = ∫∫ xy ⋅ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ xy ⋅ 8 xydy = , 0 x 9 D
+∞
(2)(X,Y)为二维随机变量, Z=g(X,Y),
∞
−∞
g ( x ) f ( x ) dx
∞
离散型： 离散型： ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) pij E 连续型： 连续型： +∞ +∞ E ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∫ ∫ g ( xi , y j ) f ( x, y )dxdy
X =
*
X −E(X ) D( X )
, Y =
*
Y − E (Y ) D (Y )
* * Cov( X * , Y * ) = E{[ X * − E ( X * )][Y * − E (Y * )]} = E ( X Y )
= E[ =
=
X − E ( X ) Y − E (Y ) D( X ) D (Y )
1= ∫
∫ f (x, y)dxdy = ∫ [ ∫ cy (2 − x)dy ]dx = c ∫ (2 − x)dx ∫ ydy 1 5c = c ∫ (2 − x)( x )dx = . 2 24
1
+∞
+∞
−∞
x
−∞
y
0
0
1
x
D2
0 1 0
0
2
O
x
⇒ c = 24 / 5.
概率论与数理统计
cy(2 - x), 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ x, f (x, y) = 其他 . 0,
概率论与数理统计
Y
Y
Y = a0+b0 X ( b0 < 0 )
Y
Y= a0 +b0 X ( b0 > 0 )
O
ρXY = 1
Y
X
O
Y
ρXY = − 1
X
O
y = a0 +b0 x ( b0 > 0 )
ρ =0
XY
y = a0 +b0 x ( b0 < 0 )
X
0 < ρXY < 1 概率论与数理统计
概率论与数理统计
(0 ≤ y ≤ 1)
Review
（一）随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 设X的分布律为 P ( X = xi ) = pi ,i = 1,2,⋯ 则
E ( X ) = ∑ xi pi
i =1 +∞
2.连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则
λ
λ
(b − a ) 2 / 12
σ
2
1/ λ 2
概率论与数理统计
问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 联合分布 边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 该用一个怎样的数去反映这种联系呢？ ？
数
E([ X − E( X )][Y − E(Y)])
之间的线性 线性关系 能反映随机变量 X , Y 之间的线性关系
1 1
8 E ( X ) = ∫∫ xf ( x , y )dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 8 xydy = , 0 x 15 D 1 1 4 E (Y ) = ∫∫ yf ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ y ⋅ 8 xydy = , 0 x 5 D
G
O
1.cov(X,X)=D(X) 2.cov(X,Y)=cov(Y,X) 对称性 3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y) 4.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y) 5.当X ,Y 独立时，cov(X ,Y ) = 0 .
O
X
O
−1 < ρXY < 0
X
例7 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 ρ XZ
解 E( X ) = E(Y) =1, D( X ) = D(Y) = 4,
cov( X, Z) = cov( X, X ) + cov( X,Y) = 6 D(Z) = D( X +Y) = D( X ) + D(Y) + 2cov( X ,Y) =12
(2) f X (x) = ∫
+∞
−∞
12 2 = x (2 − x) 5
fY ( y) = ∫
+∞ −∞
24 f (x, y)dy =∫ y(2 − x)dy 0 5
x
(0 ≤ x ≤ 1)
1
24 f (x, y)dx =∫ y(2 − x)dx y 5
24 3 y2 = y( − 2 y + ) 5 2 2
且Xi服从0-1分布，则
E ( X ) = p, D ( X ) = P (1 − p ).
∴ E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = ni p ,
i =1 i =1 n n
又Xi之间相互独立，
∴ D ( X ) = D ( ∑ X i ) = ∑ D( X i ) = ni p (1 − p),
X,Y线性不相关 线性不相关 线性
ห้องสมุดไป่ตู้
而当cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定独立. 6.cov(C,X)=0 7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)
概率论与数理统计
为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化 后再求协方差
]
E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} D ( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
D ( X ) D(Y )
概率论与数理统计
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X − E( X ))(Y − E(Y) cov( X ,Y) E = D( X ) D(Y) D( X ) D(Y)
概率论与数理统计
定义 称 E([ X − E( X )][Y − E(Y)]) 为 X ,Y 的协方差 记为 协方差. 协方差
cov( X,Y) = E([X − E(X )][Y − E(Y)])
称
cov( X ,Y) D( X ) D(Y) cov(Y, X )
为（X , Y ）的协方差矩阵 协方差矩阵
−∞ −∞
概率论与数理统计
j =1 i =1
解 X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
y
D
O
x
概率论与数理统计
X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
1.E (C ) = C 2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (Y ) = ∑ y j p j = (−1) × 0.55 + 0 × 0.25 + 2 × 0.2 = −0.15,
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量
概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
5.1-5.4二维随机向量及其分布[1]1
![5.1-5.4二维随机向量及其分布[1]1](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/2bba62808762caaedd33d43c.webp)
f ( x , y ) d xd y
D
Page 14
概率论与数理统计
例: 设
Ae ( X ,Y ) f ( x, y ) 0,
(2 x3 y)
, x 0, y 0 其他
求: (1) 常数A；(2) P { X 2, Y 1}. 解: (1) 由联合密度函数的性质可知
Page 2
概率论与数理统计
§5.1 二维随机变量及分布函数
一. N维随机变量及其分布函数 定义3.1: 设 X 1 , X 2 , , X n 是定义在概率空间 ( , P ) 上的 n个随机变量,则称( X 1 , X 2 , X n ) 是 ( , P ) 上的一个n 维随机变量. 定义3.2: 设 ( X 1 , X 2 , X n ) 是 ( , P ) 上的一个n维随机 向量,则称n元函数 F ( x1 , x 2 , , x n ) P { X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n } 为随机向量 ( X 1 , X 2 , X n ) 的分布函数或 X 1 , X 2 , X n 的联合分布函数.
y (x, y)
x
Page 5
概率论与数理统计
联合分布函数 F ( x , y ) 的性质: (1). 0 F ( x , y ) 1;
x
并且
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0; F ( x , ) lim F ( x , y ) 0;
y
FY ( y ) P {Y y } P { X , Y y } F ( , y ) lim F ( x , y );
概率论和数理统计(第三学期)第4章随机向量
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
【学习】概率论与数理统计学习指导34
【关键字】学习《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第三章多维随机变量及其分布内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设，为随机变量，则称它们的有序数组（）为二维随机变量.设（）为二维随机变量，对于任意实数、，称二元函数为（）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）是变量或的非减函数；（2）且；（3）关于右连续，关于也右连续；（4）对任意点，若，则.上式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布律.表3.1联合分布律具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数，有；（2）；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称，分别为关于和关于的边缘分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布律.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为),2,1,(}{,}{,},{.. ========j i p y Y P p x X P p y Y x X P j j i i ij j i ，则当j 固定，且0}{.>==j j p y Y P 时，称,2,1,}{},{}|{.========i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律.同理，有 ,2,1,}|{.====j p p x X y Y P i ij i j（2）连续型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：)(),(),,(y p x p y x p Y X .则当0)(>y p Y 时，在),(y x p 和)(x p X 的连续点处，),(Y X 在条件y Y =下，X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =.同理，有)(),()|(|x p y x p y x p X X Y =. 6、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij . 设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对任何实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdy y x p z F zy x Z ⎰⎰=≤),(),()(ϕ.（1）Y X Z +=的分布若),(Y X 为离散型随机变量，联合分布律为ij p ，则Z 的概率函数为： ∑-=ii k i k Z x z x p z P ),()(或∑-=jj k j k Z y z y p z P ),()(.若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：dy y y z p dx x z x p z p Z ⎰-=⎰-=+∞∞-+∞∞-),(),()(.（2）YXZ =的分布 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰=+∞∞-dy y yz p y z p Z ),()(.疑 难 分 析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布. 3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.例 题 解 析例 1 设某班车起点站上的乘客数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为)10(<<p p ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下车的人数，求二维随机变量),(Y X 的分布律．解例2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 试求（1）系数c ；(2)),(Y X 落在圆)0(222R r r y x <<≤+内的概率．解 所以 33Rc π=(2) 设{},:,222r y x y)(x D ≤+=注: 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于),(y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错．例3 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解 方程02=++C Bx x 有实根的充要条件是判别式042≥-=∆C B 或4/2B C ≤，由条件知，0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以36/19=p ，使方程有重根的充要条件是C B 42=，满足此条件的基本事件个数为0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此 18/136/2==q例4 设随机变量),(Y X 均匀分布于以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--四项点所构成的正方形中，求X 与Y 的边缘密度函数．解1º当01<<x －时，⎰+==⎰=+--∞∞-11121),()(x x X x dy dy y x f x f当10<≤x 时，121),()(11+-=⎰=⎰=+--∞∞-x dy dy y x f x f x x X 所以2º类似1º可得例5 随机变量),(Y X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>++= 其它,00,0,)1/(2),(3y x y x y x p ，求1=X 条件下Y 的条件分布密度.分析：通过),(Y X 的联合密度和边缘密度函数，来求在1=X 条件下Y 条件分布密度.解：当0>x 时，有203)1/(1)1/(2)(x dy y x x p X +=⎰++=∞，故 .例6 在),0(a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在),0(a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数．解 设抛掷两点的坐标分别为X 和Y ，则X 与Y 相互独立，且都服从）（a ,0上的均匀分布，故),(Y X 的联合概率密度为记两点距离为Z ，则||Y X Z -=的分布函数为 )|(|)(z Y X P z F Z ≤-=当0<z 时，显然0)(=z F Z ； 当a z <≤0时，当a z ≥时，1)(=z F Z 故两点距离Z 的分布函数为例7 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布．解 设)3,2,1(=i X i 为第i 个电子元件无故障工作的时间，则321,,X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为记)(t G 为了T 的分布函数，则 当0<t ，0)(=t G ； 当0≥t 时，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=λ-0,00,1)(3t t e t G t即电路正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布．例8 设随机变量X 与Y 独立同分布，其概率密度为 求随机变量22Y X Z +=的概率密度．解 由于X 与Y 独立同分布，故),(Y X 的联合概率密度为当0≤z 时，显然0)(=z F Z 当0>z 时，故22Y X Z +=的概率密度为例9.已知随机变量1}2/1{,4/34/110~=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y P X ，又n 维向量123,,a a a 线性无关。