第2章 平面体系的几何构造分析
合集下载
第2章平面体系的几何组成分析小结
第二章平面体系的几何组成分析一、名词解释1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。
体系的几何不变性应当满足：具有足够的、布置合理的约束(联系)。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可变体系。
几何可变体系包括几何常变体系和几何瞬变体系。
几何常变体系是指缺少约束或约束布置不合理，体系没有确定的几何形状和空间位置，可发生持续的刚体位移。
几何瞬变体系是指具有足够数量的约束，但是约束布置不合理，在发生微小位移后，即成为几何不变体系。
瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生很大的内力。
3．刚片在平面体系中，不考虑材料应变的几何不变部分称为刚片。
如一根梁、一根链杆、一个铰结三角形等。
4．自由度自由度是指物体或体系运动时可以独立变化的几何参数的数目。
即确定物体或体系位置所需的独立坐标数。
平面上的一个点有两个自由度，平面上的一个刚片有三个自由度。
5．约束(联系)用于限制体系运动的装置称为约束(或联系)。
(1)等效链杆的概念链杆为两端为铰的刚性直杆或曲杆。
只用两个铰与外界相连的刚片称为等效链杆。
等效链杆的作用与链杆相同。
(2)单约束和复约束连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束。
连接两个以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚节点相当于三个约束。
连接两个以上刚片的刚结点称为复刚结点，连接n个刚片的复刚结点相当于n—1个单刚结点。
(3)虚铰(瞬铰)虚铰也称为瞬铰，它是连接两个刚片的两链杆延长线的交点，与单铰具有相同的约束作用。
(4)必要约束和多余约束能够起到影响体系实际自由度数目的约束为必要约束。
必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。
不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。
6．体系的计算自由度用计算自由度公式方法求得的体系自由度，称为计算自由度W。
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学 PPT课件
总复习
1
NaA 2
1 1m×4＝4m
解：取1-1以右为分离体 ∑Y=0 NC=－10kN 取2-2以右为分离体
O
∑Y=6+YB+YC=0
6kN
YB=0
∑MO=0 NA=0
a
2
6kN
8kN
6kN
总复习
第八章 静定结构影响线
一、影响线的定义：
定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指
定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
二、叠加法绘制弯矩图
Q M AB M BA Q0
AB
l
AB
•首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线， •叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。
三、内力图形状特征 1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截
面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
总复习
M M 0 Hy
Q Q0 cos H sin N Q0 sin H cos
2、在拱的左半跨取正右半跨取负；
3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值；
4、 M、Q、N图均不再为直线。
5、集中力作用处Q图将发生突变。
6、集中力偶作用处M图将发生突变。
四、三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩
2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平 衡。两杆相交刚结点无m作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用， 该端弯矩为零。
4.无何载区段 5.均布荷载区段 6.集中力作用处 7.集中力偶作用处
平行轴线
Q图
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
2平面体系的几何构造分析解析
6
.
(2,3)
1
2
3
5 4
6
试分析下图示各体系的几何构造
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
有一个多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
§2-4 平面杆件体系的计算自由度
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
I
G
H
L J
K
A
B C DE F
.(1,2)
L J (2,3) I
(1,3)
G
H
K
无多余约束的几何不变体系
1
2
3
5 4
6
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
瞬变体系
1
2
.
(2,3)
1
2
3
5 4
6
试分析下图示各体系的几何构造
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
有一个多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
§2-4 平面杆件体系的计算自由度
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
I
G
H
L J
K
A
B C DE F
.(1,2)
L J (2,3) I
(1,3)
G
H
K
无多余约束的几何不变体系
1
2
3
5 4
6
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
瞬变体系
1
2
第二章_平面体系的几何组成分析
三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
2第二章-平面体系的几何构造分析
结构力学
几何构造
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
W 2jb
j—结点数；
b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W (3 m 2 j ) (3 g 2 h b )
结构力学
几何构造
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的基本概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 平面体系的计算自由度
结构力学
几何构造
§2-1
几何构造分析的基本概念
一、几何构造分析的目的
1. 判断某个体系是否为几何不变体系，因为
只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根 据几何不变体系的规律设计新结构。
m、j、g、h、b意义同前。
结构力学
几何构造
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体 系；若W 0，则可能是几何不变体系，也可能 是几何可变体系，取决于具体的几何组成。 所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非 充分条件。
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。 A I B II C III
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
3）刚性连结
看作一个刚片
结构力学
几何构造
4）瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一 个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为 在交点处有一个瞬铰（虚铰）。 A 相交在∞点 A
关于∞点的情况需强调几点：
y y
x
x,
φ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13
C 5
DE 68
9
7 10
I
解: 用混合公式计算。
m=1 j=5 g=2 b=10 W (31 25) (3 2 10)
13 16 3
33
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
1A
2
3B 5
6
7
C 8
9
D 10 11
4I
E
II 12
解: 用混合公式计算。 m=2 j=4 h=1 b=12
B
I
III
A
II C
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则
组成几何不变体系且无多余约束。 A I
被约束对象：刚片 I，II
提供的约束：链杆1，2，3
12
3
II
14
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
a)
A
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
3
C
I
4 2
1
A
II
5
因为A、B、C三铰不在同一直 线，符合规律3，故该体系几何 不变且无多余约束。
6 III（基础）
23
思考题 ： 试分析下图示各体系的几何构造组成。
a）
b）
24
c）
d）
e）
f）
25
小结： 1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及
所提供的约束。
2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束， 除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
大刚片 I与结点D用链杆3、4相连，符合规
律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。
1
I
3
解：
2 II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
W (3 2 2 4) (2112)
14 14 0
34
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
15
A
BI
II C
b)
III
瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它 们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于 有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰 不共线，体系为几何不变且无多余约束（见 图b）。
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
3）注意约束的等效替换。
26
§2-3 平面体系的计算自由度
一、复杂链杆与复杂铰
1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简
单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。
复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
W 2jb
j—结点数； b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W (3m 2 j) (3g 2h b)
m、j、g、h、b意义同前。
30
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
A
3
6
I B1
II
III
2C
解：
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无 穷线上，故为瞬变体系。
22
例2-2-4 试分析图示体系的几何构造。
解：
B
刚片I、II用链杆1、2相连 （瞬铰A) 刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B) 刚片II、III用链杆5、6相连（瞬铰C)
1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确 定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何 参数x、y。
5
y
A
x y
x
结点自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参 数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规
律1。故体系为几何不变且无多余约束。
19
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。
o
A III B 1
I
D
234
解：
b） II（基础）
刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
AI
II
C III
B1
2
3
解： m=3 g=0 h=3 b=3
W 33 (23 3) 9 9 0
31
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
3）刚性连结
看作一个刚片 9
4）瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简
单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交
点处有一个瞬铰（虚铰）。
A
相交在∞点
A
关于∞点的情况需强调几点：
——每一个方向有一个∞点; ——不同方向有不同∞点; ——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;
——各有限点都不在∞线上。 10
§2-2 几何不变体系的组成规律
一、几何不变体系的组成规律
基本规律就是三角形规律。
1. 规律1—— 一个结点与一个刚片的连接
一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆 相连，则组成几何不变体系且无多余约束。
被约束对象：结点A，刚片I 提供的约束：两根链杆1，2
A
1
2
I
11
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成
为几何不变的体系称为瞬变体系。
o
常变体系
AB
C
B1
瞬变体系
几何可变体系不能作为结构来使用。
4
2. 刚片
由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一 根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在 几何构造分析中称为刚片。
3. 自由度
体系在平面内运动时，可以独立变化的几何 参数的数目称为自由度。
1
3
解：
2
45
m=2 g=1 h=1 b=5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
解：
A1 B
j=5 b=10 W 25 10 0
2 34
8C 96 D
5
E 7 10
32
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
AB 24
右图示体系，结点A、刚 片I由共线的链杆1，2相连，
1 A2
是瞬变体系。
I
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。
被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1
II
A
1IBiblioteka 12II铰A也可以是瞬铰，如右图示。
A
1
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。
若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
3. 封闭刚架
有三个多 余约束
无多余 约束
28
二、计算自由度
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
C 5
DE 68
9
7 10
I
解: 用混合公式计算。
m=1 j=5 g=2 b=10 W (31 25) (3 2 10)
13 16 3
33
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
1A
2
3B 5
6
7
C 8
9
D 10 11
4I
E
II 12
解: 用混合公式计算。 m=2 j=4 h=1 b=12
B
I
III
A
II C
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则
组成几何不变体系且无多余约束。 A I
被约束对象：刚片 I，II
提供的约束：链杆1，2，3
12
3
II
14
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
a)
A
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
3
C
I
4 2
1
A
II
5
因为A、B、C三铰不在同一直 线，符合规律3，故该体系几何 不变且无多余约束。
6 III（基础）
23
思考题 ： 试分析下图示各体系的几何构造组成。
a）
b）
24
c）
d）
e）
f）
25
小结： 1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及
所提供的约束。
2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束， 除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
大刚片 I与结点D用链杆3、4相连，符合规
律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。
1
I
3
解：
2 II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
W (3 2 2 4) (2112)
14 14 0
34
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
15
A
BI
II C
b)
III
瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它 们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于 有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰 不共线，体系为几何不变且无多余约束（见 图b）。
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
3）注意约束的等效替换。
26
§2-3 平面体系的计算自由度
一、复杂链杆与复杂铰
1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简
单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。
复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
W 2jb
j—结点数； b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W (3m 2 j) (3g 2h b)
m、j、g、h、b意义同前。
30
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
A
3
6
I B1
II
III
2C
解：
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无 穷线上，故为瞬变体系。
22
例2-2-4 试分析图示体系的几何构造。
解：
B
刚片I、II用链杆1、2相连 （瞬铰A) 刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B) 刚片II、III用链杆5、6相连（瞬铰C)
1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确 定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何 参数x、y。
5
y
A
x y
x
结点自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参 数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规
律1。故体系为几何不变且无多余约束。
19
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。
o
A III B 1
I
D
234
解：
b） II（基础）
刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
AI
II
C III
B1
2
3
解： m=3 g=0 h=3 b=3
W 33 (23 3) 9 9 0
31
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
3）刚性连结
看作一个刚片 9
4）瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简
单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交
点处有一个瞬铰（虚铰）。
A
相交在∞点
A
关于∞点的情况需强调几点：
——每一个方向有一个∞点; ——不同方向有不同∞点; ——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;
——各有限点都不在∞线上。 10
§2-2 几何不变体系的组成规律
一、几何不变体系的组成规律
基本规律就是三角形规律。
1. 规律1—— 一个结点与一个刚片的连接
一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆 相连，则组成几何不变体系且无多余约束。
被约束对象：结点A，刚片I 提供的约束：两根链杆1，2
A
1
2
I
11
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成
为几何不变的体系称为瞬变体系。
o
常变体系
AB
C
B1
瞬变体系
几何可变体系不能作为结构来使用。
4
2. 刚片
由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一 根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在 几何构造分析中称为刚片。
3. 自由度
体系在平面内运动时，可以独立变化的几何 参数的数目称为自由度。
1
3
解：
2
45
m=2 g=1 h=1 b=5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
解：
A1 B
j=5 b=10 W 25 10 0
2 34
8C 96 D
5
E 7 10
32
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
AB 24
右图示体系，结点A、刚 片I由共线的链杆1，2相连，
1 A2
是瞬变体系。
I
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。
被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1
II
A
1IBiblioteka 12II铰A也可以是瞬铰，如右图示。
A
1
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。
若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
3. 封闭刚架
有三个多 余约束
无多余 约束
28
二、计算自由度
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。