高中数学轨迹求法

一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时 1．三角形ABC 中，，且，则三角形ABC 面积最大值为__________.2、 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？3、一动点到y 轴距离比到点()2,0的距离小2，则此动点的轨迹方程为 .1.4．已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足12MA MB=.设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；5、已知曲线C 是动点M 到两个定点()0,0O 、()3,0A 距离之比为12的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程；（2）求过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程.6．一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且4AM MB =u u u u r u u u r，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．221664x y +=B ．221664x y +=C ．22168x y +=D ．22168x y +=B7．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．1、【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设点A 的坐标为，由题意有： ，整理可得： ,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆出去其与x 轴的交点，据此可得三角形ABC 面积的最大值为2、【解答】∵|PA |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=++代入2||||=PB PA 得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 3、()280y x x =≥或()00y x =< 【解析】设动点为(),P x y ()2222x y x -+=+，平方得244y x x =+，当0x ≥时，8y x =；当0x <时，0y =，所以动点的轨迹方程为()280y x x =≥或()00y x =<.4、（1()221122x y x y ++=-+， 化简可得： ()2224x y ++=，轨迹C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆 （2）设过点B 的直线为()2y k x =-，圆心到直线的距离为2421k d k -=≤+∴3333k -≤≤， min 3k =（1）点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆（2）直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0．5．（1）22230x y x ++-=（2）1x =，512310x y -+= 【解析】（1）设点(),M x y .由12OMAM =()2222123x y x y +=-+， ①将①式两边平方整理得22230x y x ++-=.即所求曲线方程为22230x y x ++-=.（2）由（1）得()2214x y ++=，表示圆心为()1,0C -，半径为2的圆.（i ）当过点()1,3N 的直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，显然与圆相切； （ii ） 当过点()1,3N的直线的斜率存在时，设其方程为()31y k x -=-， 即30kx y k -+-=，由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即20321k kk --+-=+，解得512k =， 此时直线方程为512310x y -+=，所以过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程为1x =，512310x y -+= .7【解析】 【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解：(1)由题意，得化简，得．即．点的轨迹方程是轨迹是以为圆心，以为半径的圆(2)当直线的斜率不存在时，， 此时所截得的线段的长为，符合题意．当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到的距离，由题意，得，解得．∴直线的方程为．即.综上，直线的方程为，或.二、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

2:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支3 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

()()的轨迹方程端点为顶点，求一腰的一个，分别为中，若一腰的两个端点、等腰三角形C A B A ABC ,0,2-2,456、已知圆O ：x 2 + y 2 = 16及点A(2, 0)，求过A 且与圆O 相切的诸圆圆心P 的 轨迹方程。

7．已知动点M 到定点()12,0F -和()22,0F 的距离之和为42. (1)求动点M 轨迹C 的方程；(2)设()0,2N ，过点()1,2P --作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的,A B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为1k ， 2k ，求12k k +的值.8．已知()2,0M -，()2,0N ，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是（ ）A ．222x y +=B ．224x y +=C ．()2222x y x +=≠±D ．()2242x y x +=≠± D1.解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：，。

∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。

故所求轨迹方程为2.【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。

故选D 。

3解 设M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周 4.【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。

令椭圆方程为12'22'2=+b y a x ，则34,5'''=⇒==bc a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

()()()1024024522≠-≠=-+-x x y x 且、6、解：如右图：过A 且与圆O 相切的圆，只能与圆O 相切，根据两圆相切的性质： 连心线必过其切点，设切点为M ，则O 、P 、M 共线，∴OM = OP + PM 。

又因为A 在圆P 上，∴PM = PA 。

∴OP + PA =OM = 4。

故P 的轨迹是以O 、A 为焦点，长轴长为 OM = 4的椭圆。

x故 P 的轨迹方程：4)12-x （+32y = 1。

（Ⅰ）由椭圆定义，可知点M 的轨迹是以12F F 、为焦点，以为长轴长的椭圆．由2,c a ==2b =．故曲线C 的方程为22184x y +=． 5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()21y k x +=+，由()221{ 8421x y y k x +=+=+，得()()2221242280k x k k x k k ++-+-=． 7分 设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()1224212k k x x k -+=-+， 21222812k kx x k-=+． 从而()()()()121212122121224422224428kx x k x x k k y y k k k k x x x x k k+-+---+=+==--=-． 11分 当直线l 的斜率不存在时，得1,,1,22A B ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得124k k +=．综上，恒有124k k +=． 12分考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.3．已知ABC ∆中， ,A B 的坐标分别为()0,2和()0,2-，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A. 22195x y +=（0y ≠）B. 2213620x y +=（0y ≠） C. 22159x y +=（0x ≠） D. 2213236x y +=（0x ≠） 三、相关点法；若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P 1(x 1,y 1)而运动，且x 1, y 1可用x, y 表示，则将P 1(x 1,y 1)代入已知曲线，求出P 点的轨迹方程。

此法也称代入法或转移法。

1．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是__________． ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1【解析】设圆上任一点坐标为M(x 0，y 0)，则，PM 的中点坐标为(x ，y)，则解得代入中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知圆22:4O x y +=及一点()1,0P -， Q 在圆O 上运动一周， PQ 的中点M 形成轨迹C .（1）求轨迹C 的方程；（3．如图,设P 是圆上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且，(1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程；2．（1）221:12C x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）7.【解析】试题分析：（1）转移法求动点轨迹,先设所求M 动点坐标及Q 点坐标,再根据中点坐标公式得两者坐标关系,用M 动点坐标表示Q 点坐标,最后代入圆方程,化简得轨迹的方程,（2）先根据点斜式写出直线PQ 的方程,再根据圆心到直线方程距离得三角形的高,利用垂径定理可得弦长,即三角形底边边长,最后根据三角形面积公式得结果. 试题解析：（1）设()()11,,,M x y Q x y ，则1121,2x x y y =+=，把()11,x y 代入224x y +=得221:12C x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（2）直线PQ ： 1y x =+圆心C 到直线PQ 的距离为24d =142MN =， 7CMN S ∆=3．（Ⅰ）；（Ⅱ）。