(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数讲义 新
1．3.2 函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：①f(a)□01<f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值；②f′(a)＝□020；③在x＝a附近的左侧，f′(x)□03<0，函数单调递□04减；在x＝a附近的右侧，f′(x)□05>0，函数单调递□06增．(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)□07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；②f′(b)＝□080；③在x＝b附近的左侧，f′(x)□09>0，函数单调递□10增；在x＝b附近的右侧，f′(x)□11<0，函数单调递□12减．2．求函数f(x)极值的方法与步骤解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)□13>0，右侧f′(x)□14<0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)□15<0，右侧f′(x)□16>0，那么，f(x0)是极小值．(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□17不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y ＝|x |在x ＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f ′(x )＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x有极值．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极大值点的个数为________．(2)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a <0 (3)1探究1 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x＋3ln x ；(2)f (x )＝x 3－3x 2－2在(a －1，a ＋1)内的极值(a >0)． [解] (1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x )－＋因此当x＝1(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究] 若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？[解] 由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝2xx2＋1－2；(2)f (x )＝x 2e －x.解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值． 所以a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【跟踪训练2】 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)某某数b 的值； (2)某某数a 的取值X 围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a ．依题意有－23a >0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以必有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.探究3 利用极值判断方程根的个数例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，某某数a 的取值X 围． [解] f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或aa>5或a<－27.故实数a的取值X围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，某某数a的取值X围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 答案y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e . 5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，某某数a 的取值X 围．解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋A ．因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图． 所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值X 围是(－2,2)．。
2021年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修
2021年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的
学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：。
(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1
t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、
乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义 知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率 v乙＝kBC.因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路 AB 来说，用ΔΔyx＝xy22－－xy11可近似地刻画其陡峭程度.
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. (2)实质： 函数值 的增量与 自变量 的增量之比.
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两
点，则平均变化率 ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1 表示割线P1P2的 斜率 .
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答案 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一 速度？ 答案 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 10，这时的平均速度即为当 t＝1 时的 瞬时速度.
解析 答案
类型二 求瞬时速度
例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝
t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
全国通用高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数(二)学
（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数（二）学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数（二）学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.3.1 函数的单调性与导数（二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题。
2。
掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x）:f′(x)的正负f(x）的单调性f′(x)〉0单调递增f′(x）<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0,其余的点恒有f′(x）>0，则f（x)仍为增函数（减函数的情形完全类似)．②f(x）为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b）都有f′（x)≥0且在(a,b）内的任一非空子区间上f′(x）不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a,b）上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”（向上或向下）越小慢比较“平缓”（向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题（1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2）注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．（3）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号"或“和"字等隔开．1．如果函数f（x）在某个区间内恒有f′(x）＝0，则f（x)在此区间内没有单调性．（√) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．（√）类型一利用导数求参数的取值范围例1 若函数f（x)＝kx－ln x在区间(1,＋∞）上单调递增,则k的取值范围是________．考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围）答案[1，＋∞)解析由于f′(x）＝k－错误!，f(x)＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，等价于f′（x）＝k－错误!≥0在(1,＋∞）上恒成立．由于k≥错误!，而0<错误!〈1，所以k≥1.即k的取值范围为［1,＋∞）．引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．解∵f′（x）＝k－错误!，又f(x）在（1，＋∞）上单调递减,∴f′（x)＝k－错误!≤0在(1,＋∞）上恒成立,即k≤错误!，∵0<错误!<1,∴k≤0.即k的取值范围为（－∞，0］．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．解f（x)＝kx－ln x的定义域为（0，＋∞），f′（x)＝k－错误!。
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义b22b高二22数学
合作探究 提素养
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求曲线(qūxiàn)在某点处切线的方程
【例 1】 已知曲线 C：y＝x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x＝1 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[思路探究] (1)先求切点坐标，再求 y′，最后利用导数的几何意 义写出切线方程．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
(3)函数 f(x)＝0 没有导函数．
() ()
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当堂达标 固双基
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1．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x－y＋1＝0，
则( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是 2，又曲线在该点处的切 线的斜率就是函数在该点处的导数．
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①
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因为点 A(1,0)，Px0，x10在切线上， 所以xx100－－10＝－x120， 解得 x0＝12.故切线的斜率 k＝－4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y＝－4(x－1)， 即 4x＋y－4＝0.
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义a22a高二22数学
(1)∵切线与直线 y＝4x－3 平行， ∴2x0＝4，即 x0＝2. ∴y0＝x20＋6＝10.，即过曲线 y＝x2＋6 上点(2,10)的切线与 直线 y＝4x－3 平行． ∴切线方程为 y－10＝4(x－2)，即 4x－y＋2＝0.
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(2)∵切线与直线 2x－y＋5＝0 垂直， ∴2x0·2＝－1，得 x0＝－14. ∴y0＝x20＋6＝9176，即过曲线 y＝x2＋6 上点－14，9176的切线 与直线 2x－y＋5＝0 垂直． ∴切线的方程为 y－9176＝－12x＋14， 即 8x＋16y－95＝0.
∴－12－4a＋b＝－16，① 当 x＝－2 时，－32＋y＋20＝0，∴y＝12， ∴f(－2)＝8＋4a－2b＝12，② 由①②得ab＝＝10，. 答案：(1,0)
12/8/5．已知曲线 f(x)＝x2＋6 的切线分别符合下列条件，求切线 的一般式方程：
(1)平行于直线 y＝4x－3； (2)垂直于直线 2x－y＋5＝0.
S＝12a－23a·a3＝16a4＝83， 解得 a＝±2.
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng
quàn)
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1．下列说法正确的是( ) A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有 切线 B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 斜率不存在 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可 能存在
新教材2025版高中数学第1章导数及其应用1
1．1.3 导数的几何意义新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数❶，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝________．批注❶函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x轴．基础自测1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．( )(2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．( )2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)＝( )A.1 B．－C． D．－13．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝( )A．1 B．－1C．0 D．不存在4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x＝x0处切线的倾斜角为________．题型探究·课堂解透——强化创新性导数的几何意义例1 函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)方法归纳曲线在某点处切线的斜率就是该点的导数值，此时该点既在曲线上又在切线上．巩固训练1 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )A.－2B．2C．3D．无法确定在某点处的切线问题例2 已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．方法归纳求曲线在某点处的切线方程的一般步骤巩固训练2 曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝kx＋b，则实数b＝( )A．－16 B．16C．－20 D．20过某点的切线问题例3 求过点(2，0)且与曲线y＝f(x)＝相切的直线方程．方法归纳求曲线y＝f(x)的切线方程时，肯定要弄清晰是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程．后者须要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．巩固训练3 求曲线y＝f(x)＝x2过点P(1，1)的切线方程．1．1.3 导数的几何意义新知初探·课前预习[教材要点]要点f′(x0)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：由图可知切线斜率为，∴f′(1)＝.答案：C3．解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.答案：B4．解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0，π)，所以α＝.答案：题型探究·课堂解透例1 解析：如题图所示，依据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，又由平均改变率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：C巩固训练1 解析：由题图，f′(5)＝－1，且f(5)＝－5＋8＝3，所以f(5)＋f′(5)＝2.答案：B例2 解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2，4)．在曲线上另取一点Q(2＋d，(2＋d)3＋)，∵k PQ＝＝4＋2d＋d2，当d→0时，k PQ→4，所以切线的斜率为4，∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.巩固训练2 解析：因为＝＝d2－6d＋9，所以当d→0时，d2－6d＋9→9.所以曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为9.又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)＝－2，所以在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝9x＋16.故b＝16.答案：B例3 解析：设切点为Q(x0，y0)，因为＝＝，所以当d→0时，则f′(x0)＝，又f(x0)＝，所以切线方程为y－＝(x－x0)，切线过点(2，0)，所以－＝(2－x0)，解得x0＝1，所以切线方程是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0. 巩固训练3 解析：设切点为)，因为＝＝2x0＋d，所以当d→0时，2x0＋d→2x0，所以f′(x0)＝2x0，所以切线方程是＝2x0(x－x0)，切线过点(1，1)，则＝2x0(1－x0)，解得x0＝1，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.。
(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 新
A.8
20 B. 3
√C.－1
D.－8
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)， 所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为
10 3 A. 3 cm
√20 3
跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆 6πS
柱的高h的值为__3_π___.
解析 答案
(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆， 100π
当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为__4_＋__π__cm.
解析 答案
类型二 实际生活中的最值问题
10.8－310x2，0<x≤10， 每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)＝10x8－130x020，x>10. (1)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年 利润最大，并求出最大值.
解答
命题角度2 用料、费用最少问题 例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只 需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万 元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x )x万元.假设桥 墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的 费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
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跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函 数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
√
解析 答案
类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间. (1)y＝12x2－ln x；
解答
(2)y＝x＋bx(b>0).
解答
反思与感悟 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数. (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.
跟 踪 训 练 2 函 数 f(x) ＝ (x2 ＋ 2x)ex(x∈R) 的 单(－2调－递2，减－区2＋间 2为) _解__析___由__f_′__(_x_)＝__(_x_2＋__4_x. ＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0， 解得－2－ 2<x<－2＋ 2. 所以 f(x)＝(x2＋2x)ex 的单调递减区间为(－2－ 2，－2＋ 2).
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数(一)
学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数的关系 思考 观察图中函数f(x)，填写下表.
导数值 f′(x)>0
切线的
斜>率0
<0
k____
倾斜 曲线的变化 函数的单调
锐
上升
递增
角
趋势
性
钝
下降
递减
角 _____
_____
梳理 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 .
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型探究
类型一 函数图象与导数图象的应用
例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y＝ f′(x)的图象如图所示.
x
－1
0
4
5
f(x)
1
221
给出下列关于函数f(x)的说法：
①函数y＝f(x)是周期函数； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点.
其中正确说法的个数是
√ A.4 B.3 C.2 D.1
解析 答案
反思与感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间 (a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0， 则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函 数，不具有单调性. (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.
解答
达标检测
1.函数f(x)＝x＋ln x
√A.在(0,6)上是增函数
B.在(0,6)上是减函数
C.在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数
D.在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数
12345
答案
2.若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
√
解析 由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区 间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞， 1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.
解析 答案
命题角度2 含参数的函数求单调区间 例 3 讨论函数 f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
解答
反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏. (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为 二次不等式求解.
跟踪训练3 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.
－1＋2＝－23b， 由－1×2＝3c，
得b＝－32， c＝－6.
12345
解析 答案
5.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
12345
解答
规律与方法
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反 映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0 ，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式 f′(x)<0 ，解集在定义域内的部分为减区间.
[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减. (×)
12345
解析 答案
3.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是
A.0，1e
B.(e，＋∞)
√C.1e，＋∞
D.1e，e
解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即
ln
x＋1>0，得
1 x>e.
故函数 f(x)的单调递增区间为1e，＋∞.
12345
解析 答案
4.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝_－__32_，c＝ _－__6__.