第4章 Lyapunov稳定性分析
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第4章 稳定性与Lyapunov方法
x − xe =
∑ (x
i =1
n
i
− x ei ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
98
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统（4-1-1）的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ，即 x 0 − x e ≤ δ ，如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ，即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ，那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界，可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 ε > 0 ，存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
图 4-1-1 系统(4-1-2)的相平面图，原点是唯一平衡点
【例 4.1.2】非线性系统
&1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣sin( x1 )⎦
其平衡点为 xe = ⎢
（4-1-3）
⎡± nπ ⎤ ⎥ ，也就是有无穷多个平衡点。其相平面图如图 4-1-2 所示。 ⎣ 0 ⎦
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析线性定常系统的Lyapunov稳定性分析发布时间：2007-02-084.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中，。
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。
因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。
为了判断n′n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由确定的P是否也是正定的。
这可归纳为如下定理。
定理4.8 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。
此时，Lyapunov函数为，特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：(1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。
第4章 稳定性分析
分析举例，判断下列函数是否为正定的？ 正定的 半正定的 负定的 半负定的 不定的
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2. 二次型标量函数 设 x =[ x1, x2, ···, xn]T，则实二次型标量函数记为：
V(x)=V(x1, x2, ···, xn)=xTPx
其中，P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)
p11
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⑴李亚普诺夫意义下一致稳定
通常时变系统的d与t0有关，时不变系 统的d与t0无关。只要d与t0无关，这种平
衡状态称为一致稳定的。
⑵时不变系统的稳定属性
时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。
⑶李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界稳定。
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2、渐近稳定性
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x&1 f1(x1, x2 ) x1 - x1x2
在xe1=[0, 0]T 处将其线性化有
x&2 f2 (x1, x2 ) -x2 x1x2
x&1
x&2
A
x1 x2
其中雅可比矩阵A为
f1
A
x1 f2
x1
f1
x2 f2
1
- x2 x2
x2
D1 p11,
D2
p11 p21
p12 , p22
,
Dn P
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矩阵P定号的充要条件是：
(1)若Di> 0 (i=1,2,…,n)，则P为正定的。
(2)若Di
>0 <0
i为偶数 i为奇数
，则P为负定的。
(3)若Di
0 i= (1,2,…,n-1) ，则P为半正定的。 = 0 i=n
第4章 系统稳定性
第4章 系统稳定性及其李雅普诺夫稳定 章 Chapter 4 System Stability & Lyapunov Stability
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
第4章 Lyapunov稳定性分析
1/ 2 1 1 1 det ( 1) 4 2 2 1/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 2 2 0, 2 2 2 0
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x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
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二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
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x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
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二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
第4章 稳定性与Lyapunov方法
x − xe =
∑ (x
i ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
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第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统（4-1-1）的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ，即 x 0 − x e ≤ δ ，如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ，即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ，那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界，可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 ε > 0 ，存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
也是一个自治系统。因而，系统的内部稳定性只考虑自治系统（4-1-1） 。
4.1.1 系统的平衡点
系统（4-1-1）的解记为 x = Φ (t ; x0 , t 0 ) ，构成 R 线性空间中的一个运动轨迹。
n
【定义 4.1.1】称 xe 是系统（4-1-1）的一个平衡点，如果 f ( xe , t ) = 0, ∀t ≥ t 0 。 一个系统可以没有平衡点，一个平衡点或多个平衡点。非线性系统的平衡点一般比较复杂，
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)
−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
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二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型 二次型Lyapunov函数
V ( x) = V ( x1 ,L , xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 xn + L 2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
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二、 Lyapunov 稳定性判别
4、 Lyapunov渐近稳定性判别定理 、 渐近稳定性判别定理 渐近
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 ） 1 V ( x)是正定的； & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是半负定的； 2）V ∂x & 3）集合{x ∈ R n | V ( x) = 0}不包含系统的除平衡点以外的状态轨迹。 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。 进一步，若V ( x)是半径无穷大的，则平衡点xe = 0 是Lyapunov全局渐近稳定的
一个标量函数V : R n → R称为Lyapunov函数，如果满足 1）V ( x)是正定的； ∂V ( x) ∂V ( x) ∂V ( x) 2）V ( x)具有连续的偏导数 = L . ∂x ∂xn ∂x1 一个Lyapunov函数称为半径无穷大的，如果
它进一步满足 3）当|| x ||→ ∞时， ( x) → ∞. V
例如：匀速直线运动 的物体的动能为 1 mv 2 , 2 匀速旋转运动物体的 动能为 1 mω 2。 2
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= [ x1
x2
a11 a L xn ] 21 M an1
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 M O M M an 2 L ann xn
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
研究单摆在(0,0)点的稳定性 例: 研究单摆在 点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) = (1 − cos x1 ) + l 2 (2) 稳定性判断
V ( x)正定 & ( x) = g sin x V 1 l
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一、Lyapunov 稳定性概念
5、Lyapunov 不稳定 、
& x = f ( x)的平衡点xe为Lyapunov不稳定的，如果存在
ε > 0,对任意δ > 0,都有初始状态满足 || x(t0 ) − xe ||< δ的 运动轨迹x(t )，在某个时刻t1使得 || x(t1 ) − xe ||≥ ε .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
– 特征值判据
1) A 正定 ⇔ A 的特征值均为正数 ２ A 负定 ⇔ A 的特征值均为负数 ) ３ A 半正定 ⇔ A 的特征值均为非负数 ) ４ A 半负定 ⇔ A 的特征值均为非正数 )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
稳定性判据 四．离散时间线性系统的 稳定性判据
间接法判据， 间接法判据，直接法判据
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
1、平衡状态（平衡点） 、平衡状态（平衡点）
• 在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称 在没有= f ( x, t ) 的平衡状态的计算
x(t ) = xe
S(ε)
x2
S(δ)
xe
t
x1
t
0
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一、Lyapunov 稳定性概念
4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 、 大范围（ 大范围 全局）渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件 ）对于任意初始状态成立。 ）条件2）对于任意初始状态成立。
x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0
& x4 = {∆ ( M + m)mgl}x3
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−1
一、Lyapunov 稳定性概念
2、 Lyapunov 稳定性定义 、
& xe称为系统 x = f ( x)的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意 运动轨迹x(t )，只要初始状态离xe很近，整个轨迹就不会 远离平衡点xe .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型函数的定号的判断
– Sylvester判据 判据
设∆ ik 为矩阵A的各阶顺序主子式，即 a11 ∆1 = a11 , ∆ 2 = a21 a11 L a1n a12 ,L, ∆ n = M O M a22 an1 L ann
1) A 正定 ⇔ ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ２ A 负定 ⇔ (−1) k ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ) 3) A 半正定 ⇔ ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n ４ A 半负定 ⇔ (−1) k ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n )
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x2 k 2 x2 g = − x2 半负定。 k m − l sin x1 − m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
& x1 = x2 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 & x2 = − x1 − x2 方法判断其稳定性.
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
2 & x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 2 & x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 ) 方法判断其稳定性.
对称矩阵
= xT Ax
二、 Lyapunov 稳定性判别
• 标量函数的定号性
1) V ( x)正定： V ( x) > 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 2) V ( x)半正定： V ( x) ≥ 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 3）V ( x)负定： 若 −V ( x)正定 4）V ( x)半负定：若 −V ( x)半正定
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析 Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性, 稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 稳定性判据 稳定性判据, 据,全局渐近稳定性判据 间接法判据， 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
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一、Lyapunov 稳定性概念
3、 Lyapunov 渐近稳定性定义 、 渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态： limt →∞ ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：
通过构造一种广义能量函数（称为 函数） 通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利 用系统向量场f(x)来判断。 来判断。 用系统向量场 来判断
二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型 二次型Lyapunov函数
V ( x) = V ( x1 ,L , xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 xn + L 2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
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二、 Lyapunov 稳定性判别
4、 Lyapunov渐近稳定性判别定理 、 渐近稳定性判别定理 渐近
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 ） 1 V ( x)是正定的； & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是半负定的； 2）V ∂x & 3）集合{x ∈ R n | V ( x) = 0}不包含系统的除平衡点以外的状态轨迹。 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。 进一步，若V ( x)是半径无穷大的，则平衡点xe = 0 是Lyapunov全局渐近稳定的
一个标量函数V : R n → R称为Lyapunov函数，如果满足 1）V ( x)是正定的； ∂V ( x) ∂V ( x) ∂V ( x) 2）V ( x)具有连续的偏导数 = L . ∂x ∂xn ∂x1 一个Lyapunov函数称为半径无穷大的，如果
它进一步满足 3）当|| x ||→ ∞时， ( x) → ∞. V
例如：匀速直线运动 的物体的动能为 1 mv 2 , 2 匀速旋转运动物体的 动能为 1 mω 2。 2
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= [ x1
x2
a11 a L xn ] 21 M an1
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 M O M M an 2 L ann xn
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
研究单摆在(0,0)点的稳定性 例: 研究单摆在 点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) = (1 − cos x1 ) + l 2 (2) 稳定性判断
V ( x)正定 & ( x) = g sin x V 1 l
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一、Lyapunov 稳定性概念
5、Lyapunov 不稳定 、
& x = f ( x)的平衡点xe为Lyapunov不稳定的，如果存在
ε > 0,对任意δ > 0,都有初始状态满足 || x(t0 ) − xe ||< δ的 运动轨迹x(t )，在某个时刻t1使得 || x(t1 ) − xe ||≥ ε .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
– 特征值判据
1) A 正定 ⇔ A 的特征值均为正数 ２ A 负定 ⇔ A 的特征值均为负数 ) ３ A 半正定 ⇔ A 的特征值均为非负数 ) ４ A 半负定 ⇔ A 的特征值均为非正数 )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
稳定性判据 四．离散时间线性系统的 稳定性判据
间接法判据， 间接法判据，直接法判据
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
1、平衡状态（平衡点） 、平衡状态（平衡点）
• 在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称 在没有= f ( x, t ) 的平衡状态的计算
x(t ) = xe
S(ε)
x2
S(δ)
xe
t
x1
t
0
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一、Lyapunov 稳定性概念
4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 、 大范围（ 大范围 全局）渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件 ）对于任意初始状态成立。 ）条件2）对于任意初始状态成立。
x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0
& x4 = {∆ ( M + m)mgl}x3
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−1
一、Lyapunov 稳定性概念
2、 Lyapunov 稳定性定义 、
& xe称为系统 x = f ( x)的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意 运动轨迹x(t )，只要初始状态离xe很近，整个轨迹就不会 远离平衡点xe .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型函数的定号的判断
– Sylvester判据 判据
设∆ ik 为矩阵A的各阶顺序主子式，即 a11 ∆1 = a11 , ∆ 2 = a21 a11 L a1n a12 ,L, ∆ n = M O M a22 an1 L ann
1) A 正定 ⇔ ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ２ A 负定 ⇔ (−1) k ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ) 3) A 半正定 ⇔ ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n ４ A 半负定 ⇔ (−1) k ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n )
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x2 k 2 x2 g = − x2 半负定。 k m − l sin x1 − m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
& x1 = x2 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 & x2 = − x1 − x2 方法判断其稳定性.
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
2 & x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 2 & x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 ) 方法判断其稳定性.
对称矩阵
= xT Ax
二、 Lyapunov 稳定性判别
• 标量函数的定号性
1) V ( x)正定： V ( x) > 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 2) V ( x)半正定： V ( x) ≥ 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 3）V ( x)负定： 若 −V ( x)正定 4）V ( x)半负定：若 −V ( x)半正定
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析 Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性, 稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 稳定性判据 稳定性判据, 据,全局渐近稳定性判据 间接法判据， 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
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一、Lyapunov 稳定性概念
3、 Lyapunov 渐近稳定性定义 、 渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态： limt →∞ ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：
通过构造一种广义能量函数（称为 函数） 通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利 用系统向量场f(x)来判断。 来判断。 用系统向量场 来判断