《高等数学》知识在物理学中的应用举例
高数在物理中的应用
高数在物理中的应用。
高数是一门学科，主要探讨一些数学原理，如多项式、极限和微分等。
它在物理学中有着重要的作用，因为它可以帮助我们理解物理定律，从而有助于我们更好地理解物理现象。
高数有助于我们理解物理定律。
物理定律往往用数学表达式来描述，而这些数学表达式往往包含多项式、极限和微分等高数知识。
因此，只有理解高数，我们才能真正理解物理定律。
高数可以帮助我们更好地理解物理现象。
比如，有些物理现象是微积分学的性质，比如抛体运动的轨迹、微粒子的运动轨迹等。
这些物理现象往往可以用微积分来描述，这就需要我们深入理解高数，从而更好地理解物理现象。
高数也可以用来分析物理实验的结果，以便得出正确的结论。
比如，我们可以用高数来研究物理实验所测量的参数，从而分析物理实验的结果，得出正确的结论。
高数在物理学中发挥着重要作用，它可以帮助我们更好地理解物理定律，以及更好地理解物理现象，并分析物理实验的结果，从而得出正确的结论。
高等数学在物理学上的应用
总之 ：可用 定积分来 求变力 沿直线所 作的功和 非均匀 直线细棒 的质量 。 例 把质量 为ｍ 的物体从地面以初速 度ｖ 竖直上抛 ，设
物 体 只 受 重 力 作 用 ，求 物 体 的运 动 方 程 。
（） ３
从ａｌ求定积分，得所求的功 ７ Ｉ （ 出 ￣ｂ Ｊ ｔ ，ｘ ＝ ）
例 非均匀直线细棒 的质量 问题 ：
将条件 ｌ Ｖ ａｌ ０代入 （ ）式 ，得 Ｇ： ｏ，将条件 ＝ ２ 。ｖ
ｓ ＝ ｌ ０代入 （ ）式得 Ｃ＝ 。把 Ｇ， ２ ３ ２ ０ Ｃ的值代入 （ ）式得 ３
ｂ 上 连 续 ， 求 力 ｆ （ ）所 作 的 功 。 由于 变 力 的 方 向不 变 ， ］ Ｘ
还应满足两个条件：ｆ＝ ０ ｓｏ ｌ＝ ，
｛ 。 ｄ
只是大小 改变 ，可 以用 定积 分元 素法求 变力所 作 的功 。取
ｘ 积 分 变 量 ， 积 分 区 间 为 ［， ｂ ， 任 取 一 小 区 间 ［ ， 为 ａ ］ Ｘ
维普资讯
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曼塑
马文 素
（ 海建 筑职 业技术 学院 ，青 海 西 宁 ８ ０ ２ 青 １ １） ０
摘 要 ：通过运 用高等数学的思想来解决物理问题 ，阐 明 了高等数 学与物理 学之 间联 系，以提 高学生分析 问题和解 决问题 的综合 能力。
ｆ Ｉ
对 （） 两 分一 ， —ｇ ｃ ， （ １ 式 端积 次 一＋ 得 ｆ ２ ）
再积分一次得ｓ（ ）一 ｔ
其 中 Ｃ 、２ ｔＣ 都是 任 意 常数
ｘｄ］ ＋ ｘ ，在这一小段上 ，用 常力作功近似 代替变力 作功，得
论高等数学在大学物理中的重要性
高等数学在大学物理中的重要性专业：数学与应用数学（金融数学）学号：xxxxxxxxxx学生姓名：xx 指导老师：xxx作为一种工具学科，高等数学在大学物理中的渗透几乎是无处不在，从动力学到相对论，从电磁学到机械振动，没有哪个方面没有用到高等数学的推导。
高等数学是抽象的，但是大学物理为高等数学提供了生动而直观的例子，例如场强、电势这些物理量就为微积分做出了直观的解释。
同样，对于某些物体复杂的运动，或某些不能当做质点的物体的简单运动，没有高等数学的帮助是根本无法得出结论的。
下面，本文将通过一个利用高等数学在研究复杂物体的运动的具体例子来体现高等数学在研究大学物理时的重要性。
本文研究的内容是利用高等数学找出可以使不同形状的轮子平稳行驶的路面，使其中心可以做直线运动，从而在某些情况可以将其作为质点处理。
关键词：不平整路面；轮子；建立模型；极坐标；参数方程；微分方程；正方形；直线若要求出使不同形状轮子平稳行驶的路面，不妨建立一个通用的模型，在计算时只需要带入此种轮子的解析式，即该种形状的特点，便可得出相应路面的解析式，通过数学软件即可将此种路面描绘出来，从而达到分析该种轮子运动特点的目的。
1.确定变量要想得出路面的形状，首先要确定路面的解析式，在这里我们假设路面是在平面直角坐标系中下半平面内参数化曲线，于是其方程可表示为f(t)=(x(t),y(t))。
当然x(t)是递增的，x(0)=0,y(t)≤0.而对于轮子，则可以将其看作是以极坐标方程形式表示的曲线r=r(θ),现假设轴心在0时刻是在(0,0)上的，而且随着轮子的转动，轴心始终处于x轴上。
在讨论中我们假设路面与轮子有足够大的摩擦力，使轮子与路面之间不会发生任何相对滑动。
在轮子的滚动中，轮子在路面上走了f(t)的长度的时间内，轮子转了θ=θ(t)的角度。
2.描述模型特点经客观假设，这两个函数之间应满足以下几个条件。
1.初始条件。
初始时轮子与路面的接触点处于原点下面的f(0) ，这个时候θ(0)=−π/22.滚动条件。
高数在物理中的应用
高数在物理中的应用
高数在物理中的应用很广泛，从物理学探索空间的复杂性，如弯曲空间和时空，到物理建模、数值分析，以及当前领域最活跃的神经科学，高数的应用无所不在。
高数的直观概念可以提供帮助，帮助人们理解复杂关系、建模和计算动力学和统计系统等，其结果对物理学家诸多专业和学科都大有裨益。
以粒子物理学和量子力学为例，高数提供了一系列的重要技巧，用于描述和解决关于小粒子的运动行为，了解自旋和反自旋现象，及探讨量子力学的非经典思考方式等。
在分析等离子体体系中，拓扑方法被广泛应用，而这些拓扑方法都是高数的语言。
同样，在研究凝聚态物理中，高数也可以用来解释复杂的统计物理系统，例如不同大小的叠加的理想气体的行为。
此外，由于将高数和神经科学相结合，已经可以帮助我们对大脑有更深入的理解，从而为提高计算性能和改善大脑功能等一系列目标提供支持。
总之，高数在物理学中无处不在，占据着极为重要的地位。
高等数学中的曲线与曲面积分理论及其在物理学中的应用研究
高等数学中的曲线与曲面积分理论及其在物理学中的应用研究曲线与曲面积分理论是高等数学中的重要内容之一，它不仅在数学领域发挥着重要作用，还在物理学中有广泛的应用。
本文将围绕这个任务名称，分析曲线与曲面积分理论的基本概念与性质，并探讨其在物理学中的应用。
首先，我们需要了解曲线与曲面积分的基本概念。
在高等数学中，曲线积分主要用于描述曲线上函数的积分，而曲面积分用于描述曲面上函数的积分。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种形式。
其中，第一类曲线积分表示的是标量场沿曲线的积分，而第二类曲线积分则表示的是向量场沿曲线的积分。
曲面积分也类似，可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种形式。
接下来，我们将讨论曲线与曲面积分的性质。
曲线与曲面积分的性质包括线性性、加法性、界性等。
首先，曲线与曲面积分都具有线性性，即对于常数倍数和任意两个积分函数的和的积分等于常数倍数的积分加上两个积分函数分别的积分。
其次，曲线与曲面积分也具有加法性，即对于两条曲线或曲面的积分等于这两条曲线或曲面分别的积分之和。
最后，曲面积分还具有界性，即曲面积分的结果在一个确定的范围内存在上界和下界。
在物理学中，曲线与曲面积分理论具有广泛的应用。
首先，曲线与曲面积分可以应用于质心的计算。
在物体的质心计算中，可以将物体划分为无穷小的质点，并对每个质点的质量进行积分运算，从而得到整个物体的质心。
其次，曲线与曲面积分可以应用于流体的流量计算。
在流体力学中，曲线积分可以描述流体通过曲线的流量，曲面积分则可以描述流体通过曲面的流量。
此外，曲面积分还可以应用于电场强度和电势的计算。
在电学中，曲面积分可以用来求解电场强度和电势的分布情况。
除了物理学中的应用，曲线与曲面积分理论在工程学、经济学和计算机科学等领域也有重要的应用。
例如，在工程学中，曲面积分可以应用于电磁场的分析和计算。
在经济学中，曲面积分可以应用于经济指标的计算和分析。
在计算机科学中，曲线与曲面积分可以应用于图像处理和计算机图形学等领域。
《高等数学》知识在物理学中的应用举例
《高等数学》知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。
求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。
在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。
在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。
例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC ==,ϕ=∠AOB .ψ=∠ABO y解1) 如图，点C 的坐标为：ψϕcos cos a r x +=，(1)A.sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有B,sin 2sin ϕψar =o x 故得.2sin 2sin ryr a ==ψϕ (3) 由(1)得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+ϕϕ得,12422222222=---++rya x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为:.)3()(422222222r a y x y a x -++=-2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得,sin cos 2cos sin ψψϕωϕωr r x --=',2cos ϕωr y =' 其中.ϕω'=又因为,sin 2sin ψϕa r = 对该式两边分别求导,得.cos 2cos ψϕωψa r ='所以C 点的速度22y x V '+'=4cos )sin cos 2cos sin (2222ϕωψψϕωϕωr r r +--= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψϕψϕϕψω++=r例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(Ttc a π-=式中c 及T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程.解: 由题设及加速度的微分形式dtdv a =,有 ,)2sin1(dt Ttc dv π-=对等式两边同时积分⎰⎰-=vtdt Ttc dv 0,)2sin1(π得:,2cos2D TtTcct v ++=ππ其中D 为常数.由初始条件:,0,0==t v 得,2c TD π-=于是)].12(cos2[-+=TtT t c v ππ又因为,dtds v =得 ,)]12(cos2[dt TtTt c ds -+=ππ对等式两边同时积分,可得:)].2sin 2(221[2t Tt TT t c s -+=πππ例 3 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。
高等数学中定积分在物理学领域中的应用
在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。
通过对定积分的运用，我们可以更好地理解物理现象，解释实验结果，并推导出物理定律。
本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。
一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中，质心、转动惯量和力矩是常见的物理量，它们的计算与定积分有着密切的联系。
1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置，其坐标可以通过下式进行计算：在这个公式中，x 表示物体上各个微小质量元的横坐标，f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
通过对质心的计算，我们可以更好地理解物体的分布特性，分析物体的运动规律。
2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。
3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度，F 表示施加在物体上的力。
力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。
通过以上介绍，我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值，它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。
二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。
1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系，可以通过下式进行表达：在这个公式中，F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
通过定积分，我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。
数学在物理学中的应用
数学在物理学中的应用数学和物理学一直以来都被称为近乎无法分离的双胞胎学科。
事实上，数学为物理学提供了强大的工具和方法，让我们能够更深入地理解和解释自然现象。
在本文中，我们将讨论数学在物理学中的应用，展示数学是如何为物理学的发展和研究提供支持的。
在物理学中，数学最常见的应用之一是建立模型和方程。
物理学家通过观察和实验收集数据，并使用数学方法将这些数据转化为可被物理学理论解释的形式。
例如，在经典力学中，牛顿定律描述了运动物体的受力和加速度之间的关系。
这个定律可以用微分方程的形式表示，其中包含了物体的质量、加速度和力的关系。
在量子力学中，数学的应用更加深入和抽象。
量子力学研究的对象是微观世界中的粒子和系统，这些系统的行为往往不符合经典力学的规律。
通过波函数和算符的概念，量子力学提供了一种数学框架，用于描述粒子的位置、动量、能量和其他性质。
在量子力学中，波函数的演化可以通过薛定谔方程来描述，这是一个偏微分方程，通过解方程可以获得系统的状态和特性。
除了方程和模型的建立，数学在物理学中的应用还包括数据分析和实验设计。
物理学家常常需要处理大量的实验数据，分析数据的分布和趋势，以寻找规律和验证理论。
这就需要运用统计学和概率论的知识，对数据进行处理和分析。
此外，数学还能帮助物理学家设计实验流程，确定测量方法和精度，以确保实验结果的可靠性。
物理学中另一个重要的数学应用领域是数值计算和模拟。
有些物理问题无法用解析的方法求解，需要借助计算机和数值算法。
例如，对于复杂的流体动力学问题，数值方法可以模拟流体的运动和变化，帮助物理学家提取有用的信息和洞察力。
另外，数值计算还在天体物理学领域得到广泛应用，用于模拟星体的运动和演化，以及宇宙大尺度结构的形成。
除了上述应用之外，数学在物理学中还扮演着重要的角色，如在电磁学中的矢量分析、在热力学中的微分和积分、在理论物理中的群论等等。
这些数学工具和方法为物理学的研究和推广提供了支持和指导，使得我们能够更加准确地描述和解释自然现象。
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《高等数学》知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。
求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。
在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。
在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。
例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC ==,ϕ=∠AOB .ψ=∠ABO y解 1) 如图，点C 的坐标为： ψϕcos cos a r x +=， (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有 ,sin 2sin ϕψa r = o x 故得.2sin 2sin ryr a ==ψϕ (3) 由(1)得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+ϕϕ得,12422222222=---++rya x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为:.)3()(422222222r a y x y a x -++=-2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψϕωϕωr r x --=' ,2cos ϕωr y ='其中.ϕω'=又因为,sin 2sin ψϕa r = 对该式两边分别求导,得.cos 2cos ψϕωψa r ='所以C 点的速度22y x V '+'=4cos )sin cos 2cos sin (2222ϕωψψϕωϕωr r r +--= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψϕψϕϕψω++=r例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(Ttc a π-=式中c 及T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程.解: 由题设及加速度的微分形式dtdv a =,有 ,)2sin1(dt Ttc dv π-=对等式两边同时积分⎰⎰-=vtdt Ttc dv 0,)2sin1(π得:,2cos2D TtTcct v ++=ππ其中D 为常数.由初始条件:,0,0==t v 得,2c TD π-=于是)].12(cos2[-+=TtT t c v ππ又因为,dtds v =得 ,)]12(cos2[dt TtTt c ds -+=ππ对等式两边同时积分,可得:)].2sin 2(221[2t Tt TT t c s -+=πππ例 3 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。
在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为.c 一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。
解 以一岸边为x 轴，垂直岸的方向为y 轴，如图建立坐标系。
所以水流速度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=.2),(,20,d y d y d k d y ky v由河流中心处水流速度为c ，故)2(2d d k d k c -⨯=⨯=，所以dck 2=. 当20d y ≤≤时，y dc v 2=，即 ,2y dcdt dx =,ut y = (1) 得tdt dcudx 2=. 两边积分，有⎰⎰=xtdt t dcudx 00,2 2t dcu x =, (2) 由(1)-(2)，得,2y ud c x =20dy ≤≤. (3) 同理，当d y d ≤≤2时，)(2y d dcv -=，即 ),(2)(2ut d d cy d d c dt dx -=-=⎰⎰-=dt ut d dcdx )(2， D y udc y u c x +-=22， (4)其中D 为一常数。
由(3)知，当2d y =时，u cd x 4=，代入(4)，得ucd D 2-=，于是,222u cd y ud c y u c x --=d y d≤≤2. 所以船的轨迹为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=≤≤=.2,22,20,22d y d u cd y ud c y u c x d y y ud c x船在对岸的靠拢地点，即d y =时有.2ucdx =例 4 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。
设阻力与速度平方成正比，即.22gv mk R = 如上掷时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为.12201vk v v +=解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。
取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： v R上升：,22y g mk mg y m '--='' 。
。
下降：.22y g mk mg y m '+-=''- mg v上升时 R 下降时 mg对上升的阶段：)1(22v k g dtdv+-=，即),1(22v k g dy vdv dt dy dy dv +-== 于是gdy v k vdv -=+221. 两边积分⎰⎰-=+002201v h gdy v k vdv，得质点到达的高度)1ln(212022v k gk h +=. (1) 对下降的阶段：),1(22v k g dyvdv dt dy dy dv -==即得⎰⎰=-100221v h gdy v k vdv ,得)1ln(212122v k gk h --=. (2) 由(1)=(2) 得.120201vk v v +=二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。
求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。
在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。
并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。
例5 一半径为R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度为：),1(220Rr αρρ-=式中0ρ和α都是常数。
试求此圆球饶直径转动时的回转半径。
解：设dm 表示距球心为r 的一薄球壳的质量，则dr Rr r dr r dm )1(22202απρρπ-==，所以此球对球心的转动惯量为.3557)1(502204002απραπρ-=-==⎰⎰R dr Rr r dm r I RR(1)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为I I 32='， (2) 又因球的质量为⎰⎰-=-==RRR dr Rr r dm m 03022020.1535)1(απραπρ (3)又饶直径的回转半径,mI k '=(4) 由(1)-(4)，得.21351014R k αα--=例6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为23d k =，式中d 为对角线的长度。
解：建立坐标系，设O 为立方体的中心，轴,Ox ,Oy Oz 分别与立方体的边平行。
由对称性知，,Ox ,Oy Oz 轴即立方体中心惯量的主轴。
设立方体的边长为.a由以上所设，平行于Ox 轴的一小方条的体积为adydz ，于是立方体饶Ox 的转动惯量为.6)(2222222a m dydz z y a I a a a a x =+=⎰⎰--ρ 根据对称性得：.62a m I I I z y x === 易知立方体的对角线与,Ox ,Oy Oz 轴的夹角都为,θ且,31cos =θ故立方体饶对角线的转动惯量为.6cos cos cos 2222a m I I I I z y x =++=θθθ (1) 又由于a d 3=, (2)饶其对角线转动时的回转半径为,mIk =(3) 由(1)-(3)得.23d k =例7 一个塑料圆盘，半径为,R 电荷q 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω，求圆盘中心处的磁感应强度。
解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。
圆盘每秒转动次数为πω2，圆盘表面上所带的电荷面密度为2R q πσ=，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，它所带的电量为rdr dq πσ2⋅=，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为rdr rdr dI ωσπωπσ⋅=⋅⋅=22， 它在轴线上距盘心x 处的P 点所产生的磁感应强度为rdr x r r x r dIr dB ωσμμ232220232220)(2)(2+=+=,)(2232230dr x r r +=ωσμ故P 点处的总磁感应强度为⎰+=Rdr x r r B 0232230,)(2ωσμ 变换积分⎰⎰⎰+-+=+dr x r r x dr x r r dr x r r 23222212223223)()()(所以]2[2222220x x R x x R B -+++=ωσμωπμ]22[2222220x xR x R R q -++=， B 的方向与ω方向相同(0>q )或()0<q . 于是在圆盘中心0=x 处，磁感应强度.20RqB πωμ=例8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。
解：设雨滴的本体为.m 由物理学知.)(F mv dtd= (1) 1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。
对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为,r 则雨滴质量m 是与半径r 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是31r k m =， (2)其中1k 为常数。
2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即,4222r k r k dtdm=⋅=π (3) 其中2k 为常数。
由(2)，得.321dtdrr k dt dm ⋅= (4) 由(3)=(4)，得.312λ==k k dt dr (5)对(5)两边积分：,0⎰⎰=r att d dr λ得,a t r +=λ (6)将(6)代入(2)，得.)(31a t k m +=λ (7)3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式,)(])([3131g a t k v a t k dtd+=+λλ (8) ,)(])([301310gdt a t k v a t k d tv+=+⎰⎰λλ,)(41)(34131k a t g k v a t k ++=+λλλ（3k 为常数） 当0=t 时，0=v ，故,4413λga k k -=].)([434a t a a t g v +-+=λλλ 三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。
在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。