学而思九年级初三数学教材
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学而思九年级数学教材41、如图，动点A在函数y＝x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影局部的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．1〕求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；2〕求证：AB2=AE?AC．3、〔2000?河北〕：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．1〕求证：△ABC∽△FCD；2〕假设S△FCD=5，BC=10，求DE的长．1y3、如图，第一象限内的图像是反比例函数x图像的2一个分支，第二象限内的图象是反比例函数的一个分支，在x轴的上方有一条平行于它们分别交于点A、B，过点A、B作x 分别为C、D．假设四边形ABCD的周长为那么点A的坐标为〔y=－x图象x轴的直线l与轴的垂线，垂足8且AB＜AC，．4、〔2021?宁波〕正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比2例函数y=x〔x＞0〕的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反2比例函数y=x〔x＞0〕的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，那么点P3的坐标为．y 1ykx1x〔x<0〕的图像交于点5、直线2与反比例函数A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，假设AB=AC，那么k的值为〔〕6、〔2021?十堰〕如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，ky双曲线x〔k＞0〕经过A，E两点，假设平行四边形AOBC的面积为18，学而思九年级数学教材那么k=6．2y7、〔2021?荆门〕如图，双曲线x〔x＞0〕经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，那么四边形OABC的面积是2．k8、〔2021?扬州〕如图，双曲线y=x经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，OA=2AN，△OAB的面积为5，那么k的值是12．9、〔2021?成都一模〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、yy kx〔k为常数，且k＞0〕在第一象轴分别交于点A，B，与反比例函数限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．假设BE 1BF m〔m为大于l的常数〕．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积1为S2，s1那么s2=．〔用含m的代数式表示〕3y1y210、〔2021?桂林〕双曲线x，x，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过A作BDx轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，CE，那么CE=。
学而思初三数学暑假班第7讲.圆的概念及性质.提高班.学生版
“圆”来如此漫画释义满分晋级7圆的概念及性质圆1级 圆的 概念及性质圆2级 与圆有关 的位置关系 圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算暑期班 第七讲暑期班 第八讲暑期班 第九讲中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题中考内容与要求扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定 义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O半径圆心AO表示为“O ⊙”圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．等圆O‘O同心圆O知识互联网模块一 圆的基本概念知识导航OEDCB A 弦和弧：1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A B 、为端点的弧记作»AB ，读作弧AB ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．Cm劣弧优弧弦BAO表示：劣弧»AB优弧¼ACB 或¼AmB 圆心角和圆周角：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．O DC BA 圆周角圆心角下面这些都不是圆周角：【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．能力提升夯实基础OCBAD CBA NM O定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； »»AC AD =；»»BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； »»AC AD =；»»BCBD =．【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ．知识导航模块二 垂直于弦的直径FE ADOB CP3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 41=，则OC 的长为（ ）A ．2 B ．3 C ．23 D ． 7【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．定 理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． O D CB A如图，由定理可知：若AOB COD ∠=∠，则AB CD =、»»AB CD =；若AB CD =，则AOB COD ∠=∠、»»AB CD =； 若»»AB CD =，则AB CD =、AOB COD ∠=∠．能力提升知识导航BCAO圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．C BAO2AOB ACB ∠=∠EO DCB A若ACB AED ∠=∠，则»»AB AD =直角直径OCB A圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D 、、、四点都在圆上，OD CBA则180A C ∠+∠=︒，180B D ∠+∠=︒、【例5】 ⑴ 已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB∠的大小关系．O OO根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑵ 若点D 是优弧»AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑶ 如果点D 在劣弧»AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可夯实基础ODCA以得到什么结论？COADE O B DFCA【例6】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC +∠AEB +∠BAC =⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF ⊥AD ．则∠D = ．⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知 57C ∠=︒，45D ∠=︒，则CEB ∠=________．⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．【例7】 已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点．（1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ； （3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．判断正误能力提升探索创新EDCBA OCBADCB ED APEDOBFCAOGFE DC BAOEDCBA⑴ 半圆是弧⑵ 半径相等的两个圆是等圆⑶ 过圆心的线段是直径⑷ 两个端点能够重合的弧是等弧⑸ 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 ⑹ 长度相等的弧是等弧 ⑺ 直径是最大的弦 ⑻ 半圆所对的弦是直径 ⑼ 两个劣弧的和是半圆⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R.训练1. 如图，CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．训练2. 图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．训练3. ⑴ 如图，O ⊙的直径为10，弦8AB =，P 是线段AB 上一点，则OP 的取值范围是________________．思维拓展训练(选讲)OBA⑵ 如图，将O ⊙沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，若O ⊙的半径为6，则弦AB 的长度等于_________．训练4. 如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC ，试猜想»AD 与»BC之间的关系，并证明你的猜想．OPABPCOAO DC BA E知识模块一 圆的基本概念 课后演练【演练1】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D ，两点．⑴ 求证：AOC BOD ∠=∠；⑵ 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练【演练2】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = .【演练3】 如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ，连接AC OC BC 、、， ⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠，⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练实战演练DCAOPABC【演练4】 已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是»BE的中点，40A ∠=︒，求C ∠的大小．【演练5】 如图，ABC △内接于O ⊙，OD AC ⊥于D ，2OD =，4OC =，则B ∠=________．OD CB A OE DCBA第十七种品格：成就史蒂芬与他的导演梦史蒂芬·史匹柏在36岁时就成为世界上最成功的制片人，电影史上十大卖座的影片中，他个人囊括四部。
学而思初三数学秋季班第2讲.方程与函数思想.目标班.学生版
15初三秋季·第2讲·目标班·学生版中考内容中考要求A BC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题中考内容与要求满分晋级阶梯2方程与函数思想函数18级 期末复习之 二次函数与几何综合函数17级 二次函数的应用 函数16级 方程与函数思想16 初三秋季·第2讲·目标班·学生版二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性知识互联网中考考点分析17初三秋季·第2讲·目标班·学生版抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点抛物线与y 轴必有一个交点()0c ，.抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个不同的交点. 当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点. 当240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.直线()0y kx b k =+≠（或直线y m =或直线x n =）与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点问题，可运用方程思想联立方程2y kx b y ax bx c =+⎧⎨=++⎩（或2y my ax bx c=⎧⎨=++⎩或2x n y ax bx c =⎧⎨=++⎩）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点联立方程组为2y y ax bx c =⎧⎨=++⎩，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则抛物线与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，.【引例】 已知关于x 的二次函数()222134y x m x m m =--+++．探究二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数，并写出相应的m 的取值范围.【解析】 令0y =时，得：()2221340x m x m m --+++=()()22214341615m m m m ∆=--++=--，以下分三种情况讨论：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，即16150m -->∴1516m <-，此时，y 的图象与x 轴有两个交点②当0∆=时，方程有两个相等的实数根，即16150m --=∴1516m =-，此时，y 的图象与x 轴只有一个交点③当0∆<时，方程没有实数根，即16150m --<例题精讲思路导航题型一：方程思想18 初三秋季·第2讲·目标班·学生版∴1516m >-，此时，y 的图象与x 轴没有交点 综上所述：当1516m <-时，y 的图象与x 轴有两个交点；当1516m =-时，y 的图象与x 轴只有一个交点；当1516m >-时，y 的图象与x 轴没有交点．【例1】 1. 抛物线与x 轴的交点.⑴二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为()10-，、()50，，则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为 ．⑵二次函数n x x y +-=62的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解=2x ．⑶二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二 次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数． 求:① n 的值；② 二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．2. 抛物线与直线y m =的交点.典题精练xy1O19初三秋季·第2讲·目标班·学生版图中抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据图象判断下列方程根的情况． ⑴ 方程20ax bx c ++=的两根分别为 ． ⑵ 方程230ax bx c ++-=的两根分别为 ． ⑶ 方程22ax bx c ++=的根的情况是 ． ⑷ 方程24ax bx c ++=的根的情况是 ．3. 抛物线与直线()0y kx b k =+≠的交点⑴直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a = ．⑵当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：① 有公共点；② 没有公共点．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． (1) 求B 点坐标；20 初三秋季·第2讲·目标班·学生版(2) 直线n m x y ++=421经过点B . ① 求直线和抛物线的解析式；② 点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线n m x y ++=421只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．21初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．22 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例4】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.(1) 判定方程根的情况；(2) 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时， 求m 的值．抛物线()20y ax bx c a =++≠的重要结论0<Δx当0a >时，图象落在x 轴的上方， 无论x 为任何实数，都有0y >.思路导航题型二：函数思想23初三秋季·第2讲·目标班·学生版x当0a <时，图象落在x 轴的下方， 无论x 为任何实数，都有0y <．0=Δmx当0a >，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y >.mx当0a <，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y <.0>Δnmx当0a >， x m <或x n >时，则0y >；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y <.nmx当0a <，x m <或x n >时，则0y <；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y >.【引例】1. 如图，函数2y ax bx c =++的图象如图所示：⑴ 当x 时， 0y =； ⑵ 当x 时， 0y >； ⑶ 当x 时， 0y <．2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点()10A -，、点()30B ，和点()03C -，次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点．⑴ 二次函数的解析式为 ．⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．【解析】 1. ⑴ 1x =或3x =；⑵ 3x >或1x <； ⑶ 13x <<．2. ⑴ 223y x x =--；⑵ 1x >；⑶ 03x <<；⑷ 1x <-．例题精讲典题精练yxO -331-1CB A yx31O24 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例5】 ⑴下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -<；②若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若240b ac ->，则二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．④若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．正确的是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④⑵若m 、n （m n <）是关于x 的方程()()10x a x b ---=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<⑶方程2310x x +-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ） A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．023x <<【例6】 已知：关于x 的方程()2240x ax a ++-=①有两个实数根是1x 、2x （12x x <），若关于x的另一个方程220x ax k ++=②的两个实数根都在1x 和2x 之间．试比较：代数式4k +、a 、24a +之间的大小关系．【例7】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2220y mx mx m =--≠与初三秋季·第2y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且 在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．训练1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：⑴写出x 为何值时，y 的值大于0；思维拓展训练(选讲)26 初三秋季·第2讲·目标班·学生版⑵写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大；⑶若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．训练2. 已知二次函数22(21)y x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）．⑴证明：不论m 取何值时，方程22(21)0x m x m m --+-=总有两个不相等的实数根；⑵设二次函数与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），当m的取值满足什么条件时2112xx -≤.训练3. 已知函数()20y x bx c x =++≥，满足当1x =时，1y =-，且当0x =与4x =时的函数值相等．⑴求函数()20y x bx c x =++≥的解析式并画出它的图象（不要求列表）；⑵若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++=⎨-<⎩≥ 又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．27初三秋季·第2讲·目标班·学生版训练4. 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范28 初三秋季·第2讲·目标班·学生版题型一 方程思想 巩固练习【练习1】 已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题：⑴关于x 的一元二次方程20x bx c -++= 的解为 ； ⑵x 取何值时，函数值2y ≤？【练习2】 已知：关于x 的二次函数2(1)(1)2y a x a x =--++.⑴当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； ⑵整数a 取何值时，二次函数与x 轴的交点都是正整数.复习巩固yx31O29初三秋季·第2讲·目标班·学生版【练习3】 如图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()14M -，．⑴ 求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；⑵ 在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．题型二 函数思想 巩固练习【练习4】 ⑴不论x 为何值时，2y ax bx c =++永远是正值的条件是（ ）A ．0a >，0∆<B ．0a >，0∆≥C ．0a >，0∆>D ．0a <，0∆< ⑵若抛物线()2123y m x mx m =-+++位于x 轴上方，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．32m >C ．32m ≥D ．312m << ⑶二次函数2y ax bx c =++对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A ．0a >，0∆> B ．0a >，0∆< C ．0a <，0∆> D ．0a <，0∆<【练习5】 已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，如果0a >，a c b +<，那么方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．必有一个根为0初三秋季·第2讲·目标班·学生版巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。
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学而思初三数学暑假班第1讲.二次函数图象及基本性质.提高班.学生版
1初三暑期·第1讲·提高班·学生版股票图==血压图？漫画释义满分晋级1函数11级 两大函数 与几何综合函数12级 二次函数图象 及基本性质 函数13级 二次函数的基本解 析式与图象变换春季班 第三讲暑期班 第一讲暑期班第二讲二次函数图象及基本性质中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第1讲·提高班·学生版3初三暑期·第1讲·提高班·学生版定 义示例剖析二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．例如223y x x =-+是二次函数，其中二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为3．【例1】 ⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和y = 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和y =元（不考虑利息税）．⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①213y x =-，②()5y x x =-，③213y x=，④()()312y x x =-+，⑤4221y x x =++，⑥()221y x x =--，⑦2y ax bx c =++．⑶ ①如果函数22(1)1k k y k xkx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k = ． 2y ax = 2y ax c =+()2y a x h =-()2y a x h k =-+ 2y ax bx c =++模块一 二次函数的解析式知识导航夯实基础4初三暑期·第1讲·提高班·学生版②2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m = ．③若函数2221(1)m m y m x --=-为二次函数，则m 的值为 ．④已知222mm y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．二次函数的图象：一般地，二次函数2y ax bx c =++的图象叫做抛物线2y ax bx c =++．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．二次函数2y ax bx c =++的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．a 的符号开口方向顶点坐标 对称轴性质①二次函数2y ax =()0a ≠的性质0a > 向上()00， y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值0．②二次函数2y ax c =+()0a ≠的性质0a >向上()0c ，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值c ．③二次函数()2y a x h =-()0a ≠的性质0a >向上()0h ， x h =当x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小； x h =时，y 有最小值0．0a < 向下 ()0h ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大； x h =时，y 有最大值0．④二次函数()2y a x h k =-+()0a ≠的性质0a >向上()h k ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小； x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；模块二 二次函数的图象与性质5初三暑期·第1讲·提高班·学生版x h =时，y 有最大值k ．⑤二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的性质0a >向上 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a =- 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a =- 当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．⑴a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其开口大小相同，即若a 相等，则开口方向及大小相同，若a 互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简称“左同右异”.⑶c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．【例2】 在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22y x =、②212y x =、③2y x =-和 ④22y x =-的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．夯实基础6初三暑期·第1讲·提高班·学生版①②③④x y O【例3】 可通过前面知识点或画图解决下列问题：⑴抛物线233y x =+的顶点坐标为 ，对称轴为 ．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．⑵抛物线23(2)y x =-的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．⑶抛物线23(2)1y x =-+的开口方向是______，顶点坐标为 ，对称轴是 ．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =先向______平移______个单位，再向 平移 个单位得到．⑷抛物线y ＝22x x --的顶点坐标为 ，当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是______，当x 时，y 随x 增大而减小，当x 时，y 随x 增大而增大．【例4】 ⑴ 若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为 ．⑵ 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =， 24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为 ．【例5】 ⑴关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的能力提升xyO取值范围是．⑵抛物线2y ax bx c=++经过点()27A-，，()67B，，()38C-，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D的坐标是．⑶已知点()15A x，，()25B x，是函数223y x x=-+上两点，则当12x x x=+时，函数值y=___________．【例6】⑴判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数73522+--++=xxcbxaxy在坐标平面上的图形有最低点？（）A．0=a，4=b，8=c B．2=a，4=b，8-=cC．4=a，4-=b，8=c D．6=a，4-=b，8-=c⑵二次函数2()y a x m n=++的图象如图，一次函数y mx n=+的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限⑶顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( ) A．2)5(31-=xy B．5312--=xyC．2)5(31+-=xy D．2)5(31+=xy⑷二次函数()()2---=mxmxy的最小值为．⑸二次函数()2214y x k x=-++的顶点在y轴上，则k=，若顶点在x轴上，则k=．【例7】⑴二次函数()()022＞acxay+-=，当自变量x分别取2，3，0时，对应的值分别为1y、2y、3y，则1y、2y、3y的大小关系为．⑵二次函数()02＜acbxaxy++=的图象经过点A(2-，0)、O(0，0)、B(3-，y1)、C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是．【例8】已知二次函数6422-+=xxy．⑴将其化成()2y a x h k=-+的形式；⑵写出开口方向，对称轴，顶点坐标；⑶求图象与两坐标轴的交点坐标；⑷画出函数图象；⑸说明其图象与抛物线22y x=的关系；探索创新xyO8初三暑期·第1讲·提高班·学生版⑹ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小； ⑺ 当x 取何值时，0y >，0y =，0y <；⑻ 当x 取何值时，函数y 有最值？其最值是多少？ ⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．若函数()2221mm y m m x --=+为二次函数，则m 的值是 ．.抛物线2(2)3y x =-++的顶点坐标是（ ）A ．()23，B ．()23，-C ．()23，-D ．()23，-- ．训练1. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（）A ．0a <，0b >，0c <B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a >，0b <，0c >训练2. 已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．-11Ox y1-1y x OO xyyxO思维拓展训练(选讲)O yx9初三暑期·第1讲·提高班·学生版A B C Dy OxOxy1111y O xy xOOxy根据图象分析，a 的值等于．．．．（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2训练3. 函数1y ax =+与21y ax bx =++（0a ≠）的图象可能是（ ）训练4. 如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴， 下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，()212y x m n =-+ ()214y x h k -+10初三暑期·第1讲·提高班·学生版1O yx3yxx=-3O知识模块一 二次函数的定义 课后演练【演练1】 二次函数2347y x x =-+的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．347--，，B ．347-，，C ．347，，D ．347-，， 知识模块二 二次函数的图象与性质 课后演练 【演练2】 已知函数2mmy mx +=，则当m = 时它的图象是抛物线；当m = 时，抛物线的开口向上．【演练3】 已知抛物线的解析式为2(3)1y x =--+，则它的顶点坐标是（ ）A ． (31)，B ． (31)，-C ． (31)，-D ． (13)，【演练4】 一抛物线和抛物线22x y -=的开口大小、开口方向完全相同，顶点坐标是(1-，3)，则该抛物线的解析式为( ) A ．()2213y x =--+ B. ()2213y x =-++ C ．()2213y x =-++D. ()2213y x =--+【演练5】 已知函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则b =_____．【演练6】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11A y ，、()22B y ，是图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定实战演练第十七种品格：成就古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。
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学而思初中课程目录第一讲：数学一、分数与小数1. 分数的认识与运算2. 分数与小数的互化二、代数1. 代数基础知识2. 一元一次方程与不等式3. 二次根式与二次方程三、几何1. 直线、射线与线段2. 角的概念与性质3. 三角形的分类与性质4. 平行线与平行四边形5. 圆的认识与性质四、数据与概率1. 统计数据的收集与整理2. 数据的图表表示3. 概率的基本概念与计算第二讲：语文一、词语运用1. 词语的辨析与运用技巧2. 成语与俗语的理解与应用二、阅读理解1. 文章主旨与段落概括2. 阅读常见问答题解题技巧三、写作表达1. 作文结构与写作步骤2. 议论文与记叙文的写作技巧四、文学常识1. 古代文学名篇赏析2. 现代文学作品解读第三讲：英语一、基础语法运用1. 时态与语态的正确使用2. 名词、代词与形容词的用法二、听力与口语1. 听力技巧与短对话理解2. 日常口语表达与交流实践三、阅读与写作1. 阅读理解技巧与常见题型分析2. 书信写作与应用文练习四、文化与社交1. 英语国家文化与习俗2. 社交场合常用表达与礼仪第四讲：科学一、物质与能量1. 物质与化学变化2. 能量与能量转化二、生命与健康1. 细胞与生物多样性2. 健康与生长发育三、地球与宇宙1. 地球的结构与特点2. 太阳系与宇宙的奥秘四、科学探究1. 科学实验与观察方法2. 科学问题的提出与探索第五讲：历史一、中华文明1. 古代中国的起源与发展2. 中国古代文化的瑰宝二、世界史观1. 世界文明的交流与融合2. 世界历史重要事件与人物三、近现代史1. 近现代中国的社会变革2. 近现代世界的政治与经济四、历史思维与方法1. 历史资料的分析与运用2. 历史事件的评价与解读第六讲：地理一、自然地理1. 自然地理要素与特征2. 自然地理的作用与关系二、人文地理1. 人口与人口分布2. 城市与乡村的特点与变化三、地理知识与应用1. 地理信息系统与地图阅读2. 大气与水资源的保护与利用四、环境与可持续发展1. 环境问题与生态平衡2. 可持续发展的理念与实践以上是学而思初中阶段的课程目录，涵盖了数学、语文、英语、科学、历史和地理六个学科，旨在帮助学生全面发展各项能力。
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1、如图，已知动点A在函数y＝4x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．3、（2000•河北）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数1yx图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=－2x图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（．4、（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．5、直线112y x=--与反比例函数kyx=（x<0）的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的6、（2011•十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线kyx=（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k= 6 ．7、（2011•荆门）如图，双曲线2yx=（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△8、（2012•扬州）如图，双曲线y=kx经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是12．9、（2013•成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数kyx=（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若1BEBF m=（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则12ss= ．（用含m的代数式表示）10、（2012•桂林）双曲线11yx=，23yx=，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过A作x轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，CE，则BDCE= 。
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欢迎阅读1、如图，已知动点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC ．直线DE 分别交x ，y 轴分别于点P ，Q ．当QE ：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于 ．2、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C ．（1（23、（边上的EC 与AD （1（2）若3支，在x 别交于点别为C 、D 则点A ． 4、（在B1分别在P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x ?（x ＞0）的图象上，顶点A2在x 轴的正半轴上，则点P3的坐标为 ．5、直线112y x =--与反比例函数k y x =（x<0）的图像交于点A ，与x轴相交于点B ，过点B 作x 轴垂线交双曲线于点C ，若AB=AC ，则k 的值为（ ）6、（2011?十堰）如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线ky x =（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k= 6 ．7、（2011?荆门）如图，双曲线2y x =?（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点轴正半轴的夹角，∥x形OABC ．8、（与直角边的值是 ． 9、（与x轴、y E ，F ．过点与FN 交于点S1，△OEF 则12s s = 10、（2012?桂林）双曲线11y x =，23y x =，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A ，作x 轴的平行线交y1于点B ，交y 轴于点C ，CE ，则BDCE过A 作x 轴的垂线交y1于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，= 。
11、（2010?惠山区模拟）如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A ，若△BEC 的面积为4，则k 等于 。
12、如图，M 为双曲线y =上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y=-x+m 于点D 、C 两点，若直线y=-x+m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD?BC 的值为 。
13、（x b +双曲线y ＝k= 14、（ADEF的顶点（x ＞015的横△． 16、（上，BC ∥DB=117、如图，正方形OAPB ，等腰三角形AFD 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点P ，F 在函数y ＝9x (x ＞0)的图象上，则点F 的坐标为 。
18、如图，P1，P2是反比例函数ky x =（k>0）在第一象限图像上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．反比例函数的解析式；A2点的坐标．19、如图，直线43y x=与双曲线kyx=交于点A，将直线43y x=向右平移92个单位与双曲线kyx=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AO：BC=2，则k= ．2013∥x轴，点为2．21、AM⊥x。
22、（，分别与AB、则k23上，且3，则k的值为20151EF⊥y 轴于点令A（t，），则AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．在直角△ADE中，由勾股定理，得DE====．∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD，∴QE=，∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG，∴DP=．又∵QE：DP=4：9，∴=3:4:94t=，解得t2=8∴EF：设EF=4t 由∴AE=4t ∵△4t：1t=1t2、证明：（∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，∠ADC=180°-∠DAE-∠C，∴∠AED=∠ADC．∵∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．（2）在△ADE和△ACD中，由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE?AC．又AB=AD，∴AB2=AE?AC．3、证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴FCDABC SS∆∆∵S△∴S△又∵S△∴AM=4又∴DE：3、解：点∵AB∴点B 而点B∴B点的横坐标=-2×a=-2a，即B点坐标为（-2a，1 a），∴AB=a-（-2a）=3a，AC=1 a，∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，∴AB+AC=4，即3a+1a=4，整理得，3a2-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，∴a1=13，a2=1，而AB＜AC，∴a=13，∴A点坐标为（13，3）．故答案为（13，3）．4、解：作设P1（a∴Rt△∴∴∴P2把P2∴P2（2设P3∴Rt△∴∴OE=OD+DE=2+2b，∴2+2b=b，解得，∴2b1=，∴点P3的坐标为+1-1）．故答案为：-1）．5、解：过A作AD⊥BC于D，如图，对于y=-12x-1，令y=0，则-12x-1=0，解得x=-2，∴B 点坐标为（-2，0），∵CB ⊥x 轴， ∴C 点的横坐标为-2，对于y=k x ，令x=-2，则y=-2k， ∴C 点坐标为（-2，-2k），∵∴D 而点A 把y=-4k 把A （6、 解：则AM ∵A 、E ∴∵AM ∥∴EN=12∴OM=12ON ，根据三角形的中位线，可得MN=BN ，∴OM=MN=BN ， 设A （x ，y ），由平行四边形的面积=OB×AM=18， ∴3x×y=18，xy=6，即k=6； 故答案为：6． 7、解：延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB=a ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，∵双曲线y＝2x?（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∴S△OCD=12xy=1，∴S△OCB′=12xy=1，∴点A∵AB∴2y（∵∴S△∴8、解：过则AC∴OC而则∴OM=∴点B∵点A与点B都在y=x图象上，∴k=ab=2a?y，∴y=23b，即B点坐标为（32a，23b），∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为5 2，∴△ONB的面积=5+52=152，∴12NB?OM=152，即12×（32b-23b）×32a=152，∴ab=12，∴k=12．故答案为12．9、解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵1BEBF m=（m为大于l的常数），∴1 MEDF=∵设E∴△∵△=12（∴122SS=．故答案为：1m+．10、解：设A点的横坐标为a，把x=a代入y=3x得y=3a，则点A的坐标为（a，3a），∵AC⊥y轴，AE⊥x轴，∴C点坐标为（0，3a），B点的纵坐标为3a；E点坐标为（a，0），D点的横坐标为a，∵B 点、D 点在y=1x 上，∴当y=3a 时，x=3a ；当x=a ，y=1a ，∴B 点坐标为（3a ，3a ），D 点坐标为（a ，1a ），∴a 2a 3123∴AB=而∠∴BD CE 11、 ∴又∠又∠∴△∴BO BC 又∵S 即所以k 12、对于y=-x+m ，令x=0，则y=m ；令y=0，-x+m=0，解得x=m ，∴A （0，m ），B （m ，0），∴△OAB 等腰直角三角形，∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设M 的坐标为（a ，b ），则CE=b ，DF=a ，∴，BC=b ，∴b=2ab=2． 故答案为．13、解：对直线方程y ＝b +，令y=0，得到，即直线与x 轴的交点D 的坐标为，0），令x=0，得到y=b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA=b ，OD=b ，∵在Rt ∴∠∵直线∴-3∵EBAB ∴14、设点E解得m1=，m2=．由于m=不合题意，所以应舍去， 故m=．1+m=12． 故点E 的坐标是（12，12）．15、解：分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，再过点A 作AF ⊥BE 于F ．则AD ∥BE ，AD=2BE=ka ，∴B 、E 分别是AC 、DC 的中点．在△ABF 与△CBE 中，∠ABF=∠CBE ，∠F=∠BEC=90°，AB=CB ，∴△ABF ≌△CBE ．∴S △AOC=S 梯形AOEF=6．又∵A （a ，k a ），B （2a ，2ka ），∴S 梯形解得：16、∵OD ：∴13a?13∵BC ∥∴设C 则C 将（m ，BC=a-kb 所以S △OBC=12（a-kb ）?b=3，所以12（a-k b ）?b=3， （a-kb ）b=6， ab-k=6②，把①代入②得，9k-k=6， 解得k=34．方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，可知，△ODF的面积=18梯形DFAB=18△BOC的面积=38，即12k=38，k=34．17、解：∵9∴点P设F∴y=x-3∴点F18、解：（1把P1解得：k（2）作则把P2点坐标（2+a，a）代入y＝x，即：(2+a) a，解得a1?1，a2＝?1（舍去），∴OA2=2+2a=2，∴A2（，0）．19、解：设点A的坐标为（a，34a），∵AOBC =2，取OA 的中点D ，∴点B 相当于点D 向右平移了92个单位，∵点D 的坐标为（12a ，38a ），∴B ∵点A ∴a×34解得a=0∴点A 20、解：过∵点A ∵点B 21、解：设A （x ，y ），∵直线y=mx 与双曲线y=kx 交于A 、B 两点，∴B （-x ，-y ）， ∴S △BOM= 12|xy|，S △AOM= 12|xy|，∴S △BOM=S △AOM ，∴S △ABM=S △AOM+S △BOM=2S △AOM=2，S △AOM= 12|k|=1，则k=±2． 又由于反比例函数位于一三象限，k ＞0，故k=2．22、解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE=2k ，S △OAD=2k ， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S□ONMG=|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，23、∵∴△∴△设A 而点∴∵S ∴12∴ab= 把A ∴k=ab=163． 故答案为：163．。