学而思七年级数学教材
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版1初一秋季·第2讲·尖子班·教师版如何计算？实数7级实数初步实数6级绝对值实数5级有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义2有理数综合运算2初一秋季·第2讲·尖子班·教师版知识点切片（4个） 7+2+1+1知识点目标有理数综合运算（7）1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序裂项技巧（2）1、分数裂项；2、整数裂项连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算整体思想（1）1、整体思想，化繁为简题型切片（6个）对应题目题型目标乘法分配律的应用例1、练习1 连续自然数的加减交替例2、练习1 有理数综合运算例3、练习2裂项例4、例5、练习3、练习4 连锁约分例6、练习5 整体思想例7、练习6有理数综合运算1．有理数加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③ 一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1a b a b÷=?，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0. 6. 有理数乘方知识导航知识、题型切片3初一秋季·第2讲·尖子班·教师版概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，它表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘. 特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.7. 有理数混合运算的运算顺序：① 先乘方，再乘除，最后加减；② 同级运算，从左到右进行；③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例1】计算：⑴735(1)(36)1246??-+---?-⑵11171110()71110++⑶111(0.25)(5)( 3.5)()2244-?-+?-+-?⑷371(8)32-?-⑸112571113623461236-÷+---+ ? ?????【解析】⑴原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246-?-+?-+-?---?-=-+-=- ? ?????.⑵原式11107107111107077257=?+?+?=++=.⑶原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-?---?-+-?=-?-++=.⑷原式33337187188568568323244?=+?=?+?=+= .⑸设112571113623461236a b =-=+---+，，题目中要求a b ，可以先求ba ，则原式=()125711136=182********=7723461236??+---+?---+++- ，∴原式=177.【例2】连续自然数加减交替问题乘法分配律的应用4初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑴填空：12344950-+-++-=L L ；123499100101-+-++-+=L L ；⑵计算：()112341n n +-+-++-?L L .【解析】⑴25-，51；⑵2n -（n 为偶数）或12n+（n 为奇数）.针对例2的拓展：⑴1234567891011122009201020112012--++--++--+++--+L ；⑵1234567891011122009201020112012+--++--++--+++--L . 【解析】⑴原式()()()()12345678910111220092010201120120=--++--++--+++--+=L .⑵原式()()()()12345678910111213200620072008200920102011201 2=+--++--++--+++--++--L 1201020112012=+-- 2012=-..【例3】计算：⑴()216123113284 2.5242523412??-÷-?+++--? ???⑵()22213111112190.75242222÷÷-+÷--?--?? ? ?????????⑶()()3220132231313 1.20.33??--?-÷--?÷⑷()()231814511722851755??-?-+-?----?-?? ? ?????????⑸()2323510.3534124111159650.52-÷-÷-?-? ? ? ÷【解析】⑴解：原式16132 6.25121618222532?=--?-+++-- ? ??11 6.251250=++-1.02 6.2512=+- 4.73=-.有理数综合运算5初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵解：原式341119199232244216=??-+÷-?- ? ????? 11199122216??=-+?-?- 1991816=---69121616=----15316=-.⑶解：原式()32213 1.2 1.23130.30.30.3=?÷-- 14803=--14803=-.⑷解：原式()()11716525285525??=-?-+----?-16112517165=-++-1241 3.2=-++ 119.8=-.⑸解：原式()322855255159650.52-=?÷?-? ???????????÷2281093=÷-? ? ????? 0=.1.分数裂项技巧：⑴()11111n n n n =-++；⑵()1111n n k k n n k ??=- ?++??；⑶()()()()()1111122112n n n n n n n ??=-??+++++；⑷()()()()()1111222n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++.2.整数裂项技巧：⑴()()()()()()()()111121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+；⑵思路导航6初一秋季·第2讲·尖子班·教师版()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++.3.连锁约分多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.【例4】计算：⑴11111161111161621212626313136+++++；⑵2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----++++++++++L L L . 【解析】⑴原式1111111111111561111161621212626313136??=-+-+-+-+-+-1115636??=- 136=. ⑵注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有：2111(12)12=-?++，311(12)(123)12123=-++++++…，所以原式111111212123=----- ? ?++++11129912100??-- ?++++++??L L L112100=+++L 15050=.针对例4的铺垫：计算：⑴1111223344599100+++++L ⑵111113355720112013++++L 【解析】⑴原式111111112233499100=-+-+-++-L11100=- 99100=.⑵原式11111111123355720112013??=?-+-+-++-L11122013??=?- 分数裂项运算7初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1201222013=?10062013=. 针对例4的拓展计算：⑴111111315131517293133+++L ；⑵1111111111234567892612203042567290++++++++；⑶11120101111201022009201012011120092200820091??+ ++-+++ L L . 【解析】⑴原式111111120411131315131515172931313313299=-+-++-= ?L . ⑵原式1111111111234567892612203042567290=+++++++++++++++++ ? ? ? ? ? ? ? ? ????()1111111111+2+3+4+5+6+7+8+92612203042567290??=+++ ++++++1111111451223349101945(1)=451010=+-+-+-++-=+-L⑶原式11111201011111111120112010220092010201120102009220082009=++++++-?++++++ ? L L 1111111111111201120102200920102009220082009??=++++++-++++++ ? ?????????L L 1220112010=12021055=.【例5】计算：⑴12233499100?+?+?++?L ；⑵1335579799?+?+?++?L ；⑶123234484950??+??++??L .【解析】⑴原式()()()11232341345299100101983=??+??-+??-++??-L ()11231232342343459899100991001013=??-??+??-??+??--??+??L 333300=.⑵原式()()()()11351357157939799101956=??++??-+??-++??-L ()1313513535735757995979997991016=+??-??+??-??+??--??+??L 整数裂项运算8初一秋季·第2讲·尖子班·教师版161651=.⑶原式()()()11234234513456248495051474=+-+-++-?L ()11234123423452345345647484950484950514=-+-+--+L 1499400=.【例6】计算：⑴11111111111111241035911+++---- ??? ????? ?????????????????L L⑵11111111111113243546979998100+?+?+?+??+?+ ? ? ? ? ? ???????????????????L【解析】⑴原式3579112468101246810357911==.⑵原式1312413514619799198100113243546979998100+?+?+?+?+?+=L 2222222345989913243546979998100=L 299100?=9950=.【例7】⑴已知1111111112581120411101640+++++++=，111111112581120411101640---+--++的值为. ⑵计算：11111111111111232006232005232006232005+++?++++-++++?+++ ? ? ? ?L L L L .【解析】⑴1111111111111111111225811204111016401111016402581 120411101640---+--++=++-+++++++ ? ?11121111101640??=++-1121101640??=+-165211640=?-131164=-. 整体思想连锁约分运算9初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵设111232005a =+++L ，则原式 ()22111111200620062006200620062006a a a a a a a a a a =++-++=+++-++= ? ? ? ?.10 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版训练1. 计算：1111111261220304256--+-++--+--+ ? ? ? ???????【解析】 4756.训练2. 计算：1111113243517191820+++++L 【解析】原式111111111111232242171921820=-+-++-+- ? ? ? ?????????L1111111111111123351719224461820=-+-++-+-+-++- ? ?????L L1111112192220=-+- ? ?????995311940760=+=.训练3. 33221129234+==??；33322112336344++==??；33332211234100454+++==??；……．⑴ 若n 为正整数，猜想3333123n ++++=L ；⑵ 利用上题的结论来比较3333123100++++L 与()25000-的大小．【解析】⑴()22114n n ??+; ⑵ 3333221123100100101255025004++++=??=L∵2550250025000000>∴()233331231005000++++>-L .训练4. 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0bb，，的形式，则20042001a b +=【解析】先找出这三个数中的1和0．由已知，这两个数组分别对应相等，于是可断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1．但若0a =，则ba 无意义，所以0a ≠，只能0ab +=，于是a b =-．又0a ≠，那么1ba=-，则1b =，故1a =-．此时，()2004200420012001112a b +=-+=．11初一秋季·第2讲·尖子班·教师版乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替【练习1】⑴ 计算：()()(){}()34|15|73-+---+-----；⑵ 计算：1111181232-÷-+- ? ?????；⑶ 计算： 135********++++-----L L .【解析】⑴26-；⑵29；⑶50-.有理数综合运算【练习2】计算：4343(27)(2)(2)3-÷---?-+-【解析】 25.裂项【练习3】计算：1111112612203042-----= ．【解析】原式11111111111122334455667223677=-----=-----= ? ??L .【练习4】计算：2446688101012?+?+?+?+?. 【解析】原式()()1246468210121486=??+??-++??-L ()1246246468468810121012146=??-??+??-??+-??+??L 11012146=280=. 连锁约分【练习5】计算：111111111111111122334420132013+-+-+-+- ??????????? ???????????????????L【解析】原式111111111111111122334420132013=-+-+-+-+ ??????????? ???????????????L1324352012201422334420132013=L 1201422013=?10072013=. 整体思想【练习6】计算：()()()()222222222222123492350123502349+++++++-+++++++L L L L .【解析】设2222349a =+++L ，则原式()()()()()22222221501505050502500a a a a a a a a a a =++-++=+++-++=数学史复习巩固12 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1+1=2吗？皮亚诺（Peano,Giuseppe ）意大利数学家。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.学生版
1初一秋季·第1讲·尖子班·学生版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·学生版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向3210﹣1﹣2P Q M BA3初一秋季·第1讲·尖子班·学生版右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·尖子班·学生版0ba⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.A5初一秋季·第1讲·尖子班·学生版dc b a【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？初一秋季·第1讲·尖子班·学生版987654312367初一秋季·第1讲·尖子班·学生版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．8初一秋季·第1讲·尖子班·学生版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度 向动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .利用数轴性质建立方程求点对应的数9初一秋季·第1讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
初一数学人教版 学而思
初一数学人教版学而思初一数学是初中阶段的第一门数学课程，是学生初步接触数学知识和学习数学方法的重要阶段。
学而思是一家专注于中小学数学教育的教育机构，为学生提供高质量的数学学习资源和学习指导。
本文将围绕初一数学人教版学而思课程进行讨论和分析。
人教版是中国人民教育出版社所编写的教材，人教版初一数学教材是学生学习初中数学的基础教材。
学而思是以此教材为基础，结合自身的教学经验和教学理念，为学生提供一套全面系统的数学学习课程。
学而思的初一数学课程分为数学基础和数学提高两个阶段，每个阶段包括多个学习单元。
数学基础阶段主要学习数学的基本概念和基本运算，如整数、有理数、分数等。
学生通过学习和练习，掌握数学基础知识的运用和解题方法。
数学提高阶段则侧重于数学的拓展学习和应用。
学生将学习更高阶段的数学知识，如代数、几何、概率等。
学而思通过设计生动有趣的学习活动和练习题，激发学生的兴趣，提高他们的学习积极性。
学而思的初一数学课程注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教师通过引导学生思考、探索和讨论，培养学生的逻辑思维和创新思维。
学生通过解决实际问题和数学问题的联系，提高他们的问题解决能力和应用能力。
学而思的初一数学课程还注重培养学生的数学学习方法和学习习惯。
教师会教授学生学习数学的基本方法，如记忆、思维导图、逻辑分析等。
学生通过学习和实践，掌握科学有效的学习方法，提高学习效果和学习效率。
学而思的初一数学课程还重视学生的学习能力和学习素养的培养。
学生不仅仅学习数学知识，还学习学习的方法和学习的态度。
学而思通过学习单元的设计和教学活动的安排，提高学生的学习能力和学习素养，培养他们的自主学习能力和合作学习能力。
总结来说，初一数学人教版学而思课程是一套系统完整的初中数学学习课程。
学而思以人教版教材为基础，通过精心设计的学习单元和教学活动，帮助学生全面掌握数学基础知识和学习方法。
学而思注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们的学习能力和学习素养。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.教师版
1初一秋季·第1讲·尖子班·教师版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 1420 2.552-<-<<< ⑵A .⑶B .【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．3210﹣1﹣2P Q M BA 52.50-2123初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【解析】 ⑴由数轴的基本定义可知为62-+，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999-和1999的两个点之间有 个整数（含1999-和1999）． ⑵在数轴上，表示1999.1-和1999.9的两个点之间有 个整数． 【解析】 ⑴3999；⑵ 3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （M 为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （1m M m <<+，m为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．【解析】 1、2013；2014. 2、M ，1M +.3、m ，1m +.【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【解析】⑴①33x =，51x =.②2013405x =，2014404x =，20132014x x <.⑵假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得： 01234569910019.94x -+-+-+--+=，030.06x =-．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小. 0ba4初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【解析】⑴根据a b ，在数轴上的位置可知，00a b <>，，且a 的绝对值比2b 的绝对值大，所以a b a a b b b a -<<+<-<<-.⑵ C ，根据题意，00a b <>，，且在数轴上a 的对应点与原点的距离较b 的对应点大.【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.dc b a【解析】⑴由数轴可知，3d a =+，代入24d a -=得324a a +-=，解得1a =-所以原点应在点B 处．⑵①C ．(3)(4)(7)2a a a a ++++++=-，4a =-，1b =-，0c =，3d =． ② A ．37a a ++=，4a a +=，∴0a >，2a =．⑶2-. 提示：2b a =+.【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、A5初一秋季·第1讲·尖子班·教师版B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ⑴ 2；⑵3-； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12a c ±.【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？98765431023【解析】201345031÷=，则与数字0重合． 针对例7的铺垫：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处 标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012-将与圆周上的数字 重合．3210-5-4-3-2-10【解析】20124503÷=，则与数字0重合． 针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）DCBA76543210-12、如图，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x =处时，三角形停止滚动. ①落在2013x =处的点是ABC △的哪个顶点？说明理由. ②在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？…20131C B A6初一秋季·第1讲·尖子班·教师版3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．O 北西南东A-10【解析】1、C ．2、①顶点C ；②894π.3、在直的数轴上，线段41AO =，414101=⨯+，指针指向北；2009(14)2023--=，因为636420162⨯=，202320167-=，故2009在点O 的西边，202345053÷=+，指针指 向西．7初一秋季·第1讲·尖子班·教师版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-【解析】 0. 因为a b +与a b -互为相反数，所以0a b a b ++-=，从而得到00a b ==，所以原式等于0.训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 . 【解析】 2000.训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .（人大附中期中）【解析】 B C A .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．（清华附中期中）【解析】 ⑴ 0ab =，2a b c d ++-=；⑵ 5m n +=，若1m =，4n =，有()14，，()14-，，()14-，，()14--，； 若2m =，3n =，有()23，，()23-，，()23-，，()23--，； 若3m =，2n =，有()32-，，()32，，()32-，，()32--，； 若4m =，1n =，有()41，，()41-，，()41--，，()41-，. 所以共有16组．8初一秋季·第1讲·尖子班·教师版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？ 【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东-6-5-4-3-2-154321⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了3 1.59.5519km +++=. 数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009【解析】⑴点A 对应的数是694，点B 对应的数是714-，线段AB 的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .【解析】a c b d +<+.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A【解析】C ．2(4)9b b --=，1b =-．9初一秋季·第1讲·尖子班·教师版数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴ 3-；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是6-或14-.周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1【解析】1.数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
学而思初中数学培优教材
学而思初中数学培优教材学而思初中数学培优教材是一套专为初中生量身定制的数学学习教材。
它以全面的知识点覆盖和系统的知识结构设计为特点，旨在帮助学生提高数学学习能力和能力水平。
首先，学而思初中数学培优教材注重知识点的深度和广度。
该教材根据国家教育部制定的课程标准，以及专家的专业建议，确保每一个数学知识点都得到细致的讲解。
教材对数学知识点进行了分类整理，将复杂的数学问题分解成简单易懂的小步骤，帮助学生逐步理解和掌握每一个知识点。
此外，教材还提供了大量例题和习题，让学生有机会进行实际操作和练习，加深对知识点的理解。
其次，学而思初中数学培优教材强调数学思维的培养。
教材不仅注重数学知识的学习，还注重培养学生的数学思维能力。
教材中布置了一些思维性的题目，鼓励学生通过不同的思路和方法解决问题。
这样培养学生分析问题、归纳总结、抽象思维和逻辑推理等能力，有助于提高学生的数学思维水平。
再次，学而思初中数学培优教材注重学习方法的指导。
教材中详细介绍了不同的学习方法和技巧，帮助学生找到适合自己的学习方法。
教材提供了学习计划和学习方法的指导，帮助学生有效安排学习时间，并培养良好的学习习惯。
通过学习方法的指导，学生可以更加高效地学习数学，提高学习效果。
最后，学而思初中数学培优教材注重培养学生的问题解决能力。
教材中提供了一些实际生活中的数学问题和数学建模问题，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题。
这样既增加了学生对数学的兴趣，也培养了他们独立思考和解决问题的能力。
总之，学而思初中数学培优教材通过全面的知识点覆盖、系统的知识结构设计、培养数学思维能力和指导学习方法，帮助学生提高数学学习能力和水平。
这套教材不仅适用于学校的正式教学，也适用于学生的课外辅导和自学。
通过使用这套教材，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高解决数学问题的能力，并在数学学习中取得更好的成绩。
学而思七年级上1-10讲
第一讲：数轴和相反数第二讲绝对值第三讲有理数的运算——加减运算第四讲有理数及其加减混合运算复习第五讲有理数的乘法第六讲有理数的除法第七讲有理数复习(一)第八讲：有理数的乘方第九讲有理数复习检测第十讲有理数培优训练【知识要点】1、有理数可分为整数与分数；也可以分为正数、负数和零。
2、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
0没有倒数。
非负数：即大于或等于0的数。
3、数轴上的点及两点间距离。
4、有理数的加减混合运算的方法和步骤：（1）运算顺序：有括号的先算括号里面的，且从小括号开始算起；没有括号的，先算乘方，后算乘除，最后算加减；（2）计算过程中注意先确定每一项的符号，加减及乘除运算都遵循同号得正，异号得负的原则（3）注意观察式子的形式，尽可能运用公式简化计算。
例1. 写出下列各数的相反数，倒数。
（1） -1 （2）23（3） 0（4） -213例2. a的相反数为；1a+的相反数为；1a-的相反数为；a b-的相反数为；a b+的相反数为；例3．计算：（1）1998(1999)(2000)(2001)(2002)+--+--++（2）11121()()()(1)23632--+-++-+例4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数.试求：()2010()()a ba b x a b cdcd+++++--的值.例5、一名运动员参加跳远比赛，共跳了6次。
第一次跳了6m，第二次比第一次多跳0.1m，第三次比第二次少跳0.3m，第四次比第三次多跳0.5m，第五次比第四次少跳0.4m，第六次比第五次多跳0.5m。
（1）他哪一次跳得最远？是多少？哪一次跳得最近？是多少？（2）用折线图表示该运动员的跳远情况。
例6．已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为-5，点C表示的数为-7 ，点D表示的数为6点A到原点的距离是多少？点B到原点的距离是多少？点A到点B的距离是多少？点A到点D的距离是多少？点B到点C的距离是多少？若点E表示的数为x，则点E到原点的距离为多少？点E到A的距离为多少？点E到点B的距离为多少？课堂小测1．下列说法：①符号相反的两个数叫做相反数；②0没有相反数；③一个数的相反数一定是负数；④－a的相反数是a；其中正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2．下列说法正确的是（）A、有最小的负数，没有最大的正数B、有最大的负数，没有最小的正数C、没有最大的有理数和最小的有理数D、有最小的正数和最小的负数3．数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，已知A在B的右侧，C在B的左侧，D在B、C之间，则下列式成立的是（）A、dcba<<< B、adcb<<< C、badc<<< D、abdc<<<5．实数ba,在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（） A、bababa->>>+ B、babbaa->>+>C、bababa+>>>- D、bbaaba>+>>-6．数学竞赛成绩80分以上为优秀，老师将某一小组5名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+7，-2，这5名同学的实际成绩分别是。
学而思初中数学合肥专版
学而思初中数学合肥专版学而思初中数学合肥专版是一套专门为合肥地区初中生设计的数学教材。
这套教材以合肥地区的教学大纲为依据，结合学生的实际情况和学习需求，精心编写而成。
学而思初中数学合肥专版的教材内容丰富全面，涵盖了初中数学的各个知识点和技能。
教材分为七个单元，分别是数与式、图形与变换、方程与不等式、函数与图像、统计与概率、三角与相似、几何与证明。
每个单元都按照知识点的难易程度进行了细致的划分，有助于学生逐步掌握数学知识。
学而思初中数学合肥专版的教材编写注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教材中的例题和习题都设计得非常有针对性，能够帮助学生理解和掌握知识点，并能够运用所学知识解决实际问题。
同时，教材还注重培养学生的数学推理和证明能力，通过一些证明题目的训练，激发学生的思维灵活性和创造力。
学而思初中数学合肥专版的教材编写还注重培养学生的数学兴趣和学习动力。
教材中穿插了一些有趣的数学问题和数学游戏，激发学生对数学的兴趣，增加学习的乐趣。
同时，教材还提供了一些拓展性的习题和挑战性的问题，让学生有机会进一步提高自己的数学水平。
学而思初中数学合肥专版的教材编写还注重培养学生的数学思维方法和解题技巧。
教材中提供了一些解题思路和解题方法的讲解，帮助学生建立起正确的解题思维模式。
同时，教材还提供了一些解题技巧和解题方法的训练，让学生能够熟练运用这些技巧和方法解决各种数学问题。
总之，学而思初中数学合肥专版是一套优秀的数学教材，它以合肥地区的教学大纲为依据，结合学生的实际情况和学习需求，精心编写而成。
这套教材内容丰富全面，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，同时还注重培养学生的数学兴趣和学习动力，培养学生的数学思维方法和解题技巧。
相信通过学习这套教材，合肥地区的初中生们一定能够在数学学习中取得优异的成绩。
学而思初一数学秋季班第5讲.找规律、程序运算和定义新运算.基础-提高班.教师版
1初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义5找规律、程序运算 和定义新运算代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算2初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版题型切片（六个） 对应题目题型目标 数列的规律 例1；练习1 数表的规律 例2；练习2 图形的规律 例3；练习3 算式的规律 例4；练习4 程序运算例5、例6：练习5 定义新运算 例7；练习6找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，21n - （n 为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）． ⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）． ⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.【例1】 ⑴ 观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 的第k 个数是 ．（k 为正整数）数列的规律思路导航题型切片3初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 . （n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 .（n 为正整数）【解析】 ⑴ 212k k -； （2） 10096， ⑶1132-，21(1)2n n n +-；⑷ 750-，2(1)1nn n -+ ；（5）207b a -，31(1)n n nb a --．【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是 . 1112211136311114121241111152030205（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．数表的规律4初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .②如果设“X”型框中间的数为a ，请用含a 的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这-13 -5 7 -9 11 -13 15 -17 19 -21 23 -25 27 -29 31 -33 35 -37 39 -41 43 -45 47 -49 51 -53 55 -57 59 -61 63 -65 67 -69 71 ………………【解析】 ⑴172⑵ 420；观察可得规律： 第一行第二列的数：212=⨯；第二行第三列的数：623=⨯； 第三行第四列的数：1234=⨯； ……第n 行第1n +列的数：(1)n n +故可得第20行第21列的数为：2021420⨯=.（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)232221………5初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个 图案由 个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】 ⑴ 10，31n +； ⑵；28,3n+1；⑶ ①5，9．② 43n -． ⑷(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-；算式的规律图形的规律第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形6初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例4】 观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．【解析】 1342=+aa ； 122+=++n a n n a .一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例5】 ⑴ 如下图，输入23x =-，则输出值y 是 ．y=-x +4(x >1)y=x +4(x ≤1)输出 y输入 x⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是 .YES NO输出结果<-5计算1+x -2x 2输入x 的值⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．x +3x 2x 为奇数x 为偶数输出输入x⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.程序运算思路导航7初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版>800输出结果是否将值赋给x ，再次运算计算4x +1的值输入x【解析】 ⑴5-；此程序为选择式，因91x =-≤，故4945y x =+=-+=-.⑵ 9-；经过第一次程序运算得2-，因为25->-，需要返回循环；经第二次运算得9-，因为95-<-，此程序结束，故输出结果为9-. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）⑷ 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02-÷=∴只有213，53，13，3符合题意．（也可用方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当41853x +=时，213x =. 当41213x +=时，53x =. 当4153x +=时，13x =. 当4113x +=时，3x =.综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A 为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2．”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E =1089； ⑵ E 的值都相同．理由如下：设A =100a+10b +c 且a －c =2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=99a －99c =99(a －c )=99×2=198． ∴D =891．∴E =C +D =198+891=1089． (3) E =1089．8初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版证法1：设A =100a +10b +c 且a －c >2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=100(a －c )+(c －a )=100(a －c －1)+10×9+(10+c －a ) ． ∴D =100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1) ．∴E =C +D =[100(a －c －1)+10×9+(10+c －a )]+[ 100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1)]=1089．定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a 、b ，都有：1a b a b ∆=+-， 1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-． 例如，4×27479=-=，那么5×3= ； 当m 为有理数时，m ×（1-×2）= ．⑶ 对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc c d=-，若1134bd <<，则b d += ．⑷ 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-， ① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ，…，依此类推，则2009a = ．【解析】 ⑴ 6；⑵ 22，21m +；⑶由题意得42bd -=，故2bd =，又b d ，为正整数，所以3b d +=.定义新运算思路导航9初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑷ ①34；② 4；③ 13-；34. 【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．【选讲题】【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解析】 B ，603，63n + . （2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+ ,322a a =-+,433a a =-+,则2013a 的值为 .【解析】 1006(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴ 填表：⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？【解析】 ⑴ 如表．剪的次数1 23 4 5 正方形个数 47101316⑵ 如果剪了100次，共剪出11003301+⨯=个小正方形； ⑶ 如果剪n 次，共剪出13n +个小正方形.剪的次数1 2 3 4 5 正方形个数 4 710 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对【解析】 C.训练2. 根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为32，则输出的结果是 ．（汇文中学期中） 【解析】 72-.训练3. 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）； 又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴ 246810100++++++（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ． ⑵ 计算5211n n =-=∑（） ．（填写最后的计算结果）（北大附中期中）【解析】 ⑴ 5012n n =∑；⑵ 50,52222221(1(11(21(31(41(5150n n=-=-----=∑))+)+)+)+)训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序 1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：y=-x -2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x -2(-2≤x <-1)输出y 的值输入x 的值11初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑴ 小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．⑵ 小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是 ．⑶ 若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．（一零一期中）【解析】 ⑴ 7⑵6665⑶ 2011201212 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版数列的规律【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵ 观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）【解析】 ⑴ C ． ⑵ 582665x x -， ，12(1)(1)n n n x +-+.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第 列。
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-2-3a
10学而思七年级数学
出题人：吴老师 姓名
一、选择题：（每题6分，共30分）
1、下列各组量中，互为相反意义的量是（ ）
A 、收入200元与支出20元
B 、上升10米与下降7米
C 、超过毫米与不足毫米
D 、增大2升与减少2升
2、2
1的倒数是( )
A 、－2
B 、－21
C 、2
D 、2
1
3、如果一个有理数的绝对值是正数,那么这个数必定是( )
:
A 、是正数
B 、不是0
C 、是负数
D 、以上都不对
4、下图中，表示互为相反数的两个点是（ ）。
A 、点M 与点Q
B 、点N 与点P
C 、点M 与点P
D 、点N 与点Q
5、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列式子中成立的是( ) A 、a>b B 、 a<b C 、ab>0 D 、0>b
a
二、填空题：（每小题5分，共35分）
6、（6分）把下列各数填在相应的大括号里： +8，，|2|--，－ ， －(－10)， ，－(－2)2，
722，31-，4
3
+：
正整数集合：{ …}负整数集合：{ …} 】
正分数集合：{ …}负分数集合：{ …}
7、（6分）相反数等于它本身的数是 ，绝对值等于它本身的数是 ，倒数等于它本身的数是 。
8、某蓄水池的标准水位记为0m ，如果水面高于标水位表示为，那么，水面低于标准水位表示为 ；
9、一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 。
10、比较大小：43- 5
4-。
（填：“<”或“>”） 11、计算：1– 2 + 3 – 4 +5 – 6 +······+2003– 2004 = 。
（8分）
三、计算：（每题6分，共25分）
12、206137+-+- 13、(－5)×(－7)－5×（－6）
$
14、532)2(1---+-+ 15、 )12()6
54332(-⨯-+-
四、解答题：（每题5分，共10分）
16、把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来； ， －， 0， 2， －， 23
1， 。
17、8箱苹果，以每箱5千克为标准，称重记录如下（超过标准的千克
数为正数）：，—1，3，0，，—，2，—；求这8箱苹果的总重量。