学而思九年级数学教材

1、如图，已知动点A在函数y＝4x(x＞0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．3、（2000•河北）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数1yx=图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=－2x图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（．4、（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．5、直线112y x=--与反比例函数kyx=（x<0）的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）6、（2011•十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线kyx=（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，．7、（2011•荆门）如图，双曲线2y x = （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2．8、（2012•扬州）如图，双曲线y=kx 经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA=2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12．9、（2013•成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y轴分别交于点A ，B ，与反比例函数k y x =（k 为常数，且k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若1BE BF m = （m 为大于l 的常数）．记△CEF 的面积为S1，△OEF的面积为S2， 则12s s = ． （用含m 的代数式表示）10、（2012•桂林）双曲线11y x =，23y x =，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A ，作x 轴的平行线交y1于点B ，交y 轴于点C ，过A 作x 轴的垂线交y1于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则BDCE= 。

11、（2010•惠山区模拟）如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A ，若△BEC 的面积为4，则k 等于 。

12、如图，M 为双曲线3y x =上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y=-x+m 于点D 、C 两点，若直线y=-x+m 与y 轴交于点A ，与x轴相交于点B ，则AD•BC 的值为13、（2010•武汉）如图，直线y＝3x b-+与y轴交于点A，与双曲线y ＝kx 在第一象限交于B 、C 两点，且AB•AC=4，则k= ．14、（2009•兰州）如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=k x（x＞0）的图象上，则点E的坐标是。

15、如图，A、B是双曲线kyx=（k>0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a，2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k= 4．16、（2010•无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y＝kx交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值。

17、如图，正方形OAPB，等腰三角形AFD的顶点A、D、B在坐标轴上，点P，F在函数y＝9x(x＞0)的图象上，则点F的坐标为。

18、如图，P1，P2是反比例函数kyx=（k>0）在第一象限图像上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．反比例函数的解析式；A2点的坐标．19、如图，直线43y x=与双曲线kyx=交于点A，将直线43y x=向右平移92个单位与双曲线kyx=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AO：BC=2，则k= ．20、如图，点A在双曲线1yx=上，点B在双曲线3yx=上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．21、如图，直线y ＝mx 与双曲线k y x =交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM=2，则k 的值是 。

22、（2010•内江）如图，反比例函数y=kx （k>0）的图像经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 。

23、如图，点A 在双曲线y=kx 的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为2015重庆九年级数学培优试题答案1、解：解法一：过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ． 令A（t ，4t ），则AD=AB=DG=4t ，AE=AC=EF=t ．在直角△ADE中，由勾股定理，得4422222161616t t AD AE t t t t +++=+==．∵△EFQ ∽△DAE ，∴QE ：DE=EF ：AD ，∴QE=416t t +，∵△ADE ∽△GPD ，∴DE ：PD=AE ：DG ，∴DP=4416t +．又∵QE ：DP=4：9，∴=4416416:4:9t t t ++=，解得t2=83．∴图中阴影部分的面积=12AC2+12AB2=12t2+12×216t =43+3=133；解法二：∵QE：DP=4：9，∴EF：PG=4：9，设EF=4t，则PG=9t，∴A（4t ，1 t），由AC=AE AD=AB，∴AE=4t，AD=1t，DG=1t，GP=9t，∵△ADE∽△GPD，∴AE：DG=AD：GP，4t：1t=1t：9t，即t2=16，图中阴影部分的面积=12×4t×4t+12×1t×1t=133．故答案为：13 3．2、证明：（1）在△ADE和△ACD中，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，∠ADC=180°-∠DAE-∠C，∴∠AED=∠ADC．∵∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．（2）在△ADE和△ACD中，由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE•AC．又AB=AD，∴AB2=AE•AC．3、证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴2211()()24 FCDABCS CDS CB∆∆===．∵S△FCD=5，∴S△ABC=20．又∵S△ABC= 12×BC×AM，BC=10，∴AM=4．又DM=CM= 12CD，DE∥AM，∴DE：AM=BD：BM= 23，∴DE=83．3、解：点A在反比例函数1yx图象上，设A点坐标为（a，1a），∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为1 a，而点B在反比例函数y=－2x图象上，∴B点的横坐标=-2×a=-2a，即B点坐标为（-2a，1 a），∴AB=a-（-2a）=3a，AC=1 a，∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，∴AB+AC=4，即3a+1a=4，整理得，3a2-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，∴a1=13，a2=1，而AB＜AC，∴a=13，∴A点坐标为（13，3）．故答案为（13，3）．4、解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，设P1（a，2a），则CP1=a，OC=2a，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt △P1B1C ≌Rt △B1A1O ≌Rt △A1P2D ，∴OB1=P1C=A1D=a ，∴OA1=B1C=P2D=2a -a ， ∴OD=a+2a -a=2a ，∴P2的坐标为（2a ，2a -a ），把P2的坐标代入y=2x （x ＞0），得到（2a -a ）•2a =2，解得a=-1（舍）或a=1， ∴P2（2，1），设P3的坐标为（b ，2b ），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt △P2P3F ≌Rt △A2P3E ，∴P3E=P3F=DE=2b ，∴OE=OD+DE=2+2b ， ∴2+2b =b ，解得b=1-3（舍），b=1+3，∴2b =3113=-+，∴点P3的坐标为 （3+1，3-1）． 故答案为：（3+1，3-1）． 5、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，如图，对于y=-12x-1，令y=0，则-12x-1=0，解得x=-2，∴B 点坐标为（-2，0），∵CB ⊥x 轴， ∴C 点的横坐标为-2，对于y=k x ，令x=-2，则y=-2k，∴C 点坐标为（-2，-2k），∵AC=AB ，AD ⊥BC ， ∴DC=DB ，∴D 点坐标为（-2，-4k ）， ∴A 点的纵坐标为-4k，而点A 在函数k y x =的图象上， 把y=-4k 代入k y x =得x=-4， ∴点A 的坐标为（-4，-4k ），把A （-4，-4k ）代入y=-12x-1得-4k =-12×（-4）-1， ∴k=-4．6、解：分别过点A 、E 作AM 、EN 垂直于x 轴于M 、N ，则AM ∥EN ，∵A 、E 在双曲线上，∴三角形AOM 与三角形OEN 的面积相等，∵四边形AOBC 是平行四边形，∴AE=BE ，∵AM ∥EN ， ∴MN=NB ，∴EN=12AM ，∴OM=12ON ，根据三角形的中位线，可得MN=BN ，∴OM=MN=BN ，设A （x ，y ），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6； 故答案为：6．7、解：延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB=a ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD=CB′，△OCD ≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C ，∵双曲线y ＝2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∴S △OCD=12xy=1，∴S △OCB′=12xy=1，由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD ， ∴点A 、B 的纵坐标都是2y ，∵AB ∥x 轴， ∴点A （x-a ，2y ），∴2y （x-a ）=2， ∴xy-ay=1，∵xy=2 ∴ay=1，∴S△ABC=12ay=12，∴SOABC=S△OCB′+S△AB'C+S△ABC=1+12+12=2．故答案为：2．8、解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，则AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，∴OM=32a，NM=32b，∴N点坐标为（32a，32b），∴点B的横坐标为32a，设B点的纵坐标为y，∵点A与点B都在y=kx图象上，∴k=ab=32a•y，∴y=23b，即B点坐标为（32a，23b），∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为5 2，∴△ONB的面积=5+52=152，∴12NB•OM=152，即12×（32b-23b）×32a=152，∴ab=12，∴k=12．故答案为12．9、解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵1BEBF m=（m为大于l的常数），∴1 MEDF m=，∵ME•EW=FN•DF，∴1 ME FNDF EW m==，设E 点坐标为：（x ，my ），则F 点坐标为：（mx ，y ），∴△CEF 的面积为：S1=12（mx-x ）（my-y ）=12（m-1）2xy ，∵△OEF 的面积为：S2=S 矩形CNOM-S1-S △MEO-S △FON=MC•CN -12（m-1）2xy-12ME•MO -12FN•NO=mx•my -12（m-1）2xy-12x•my -12y•mx =m2xy-12（m-1）2xy-mxy =12（m2-1）xy=12（m+1）（m-1）xy ， ∴2121(1)1211(1)(1)2m xy S m S m m m xy --==+-+． 故答案为：11m m -+．10、 解：设A 点的横坐标为a ，把x=a 代入y=3x 得y=3a ，则点A 的坐标为（a ，3a ）， ∵AC ⊥y 轴，AE ⊥x 轴，∴C 点坐标为（0，3a ），B 点的纵坐标为3a ；E 点坐标为（a ，0），D 点的横坐标为a ，∵B 点、D 点在y=1x 上，∴当y=3a 时，x=3a ；当x=a ，y=1a ，∴B 点坐标为（3a ，3a ），D 点坐标为（a ，1a ），∴AB=a-3a =23a ，AC=a ，AD=3a -1a =2a ，AE=3a ，∴AB=23AC ，AD=23AE ，而∠BAD=∠CAD ， ∴△BAD ∽△CAE ，∴23BD ABCE AC==．故答案为23．11、解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴BO OEBC AB=，即BC×OE=BO×AB．又∵S△BEC=4，∴12BC•EO=4，即BC×OE=8=BO×AB=|k|．又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于8．12、解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，对于y=-x+m，令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，∴A（0，m），B（m，0），∴△OAB等腰直角三角形，∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=3，CE=b，DF=a，∴AD=2DF=2a，BC=2CE=2b，∴AD•BC=2a•2b=2ab=23．故答案为23．13、解：对直线方程y＝3x b-+，令y=0，得到x=3b，即直线与x轴的交点D的坐标为（3b，0），令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），∴OA=b，OD=3b，∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=3 OAOD=，∴∠ADO=30°，即直线y=-33+b与x轴的夹角为30°，∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，∴-3x+b=kx，即-3x2+bx-k=0，由韦达定理得：x1x2=ca=3k，即EB•FC=3k，∵EBAB=cos30°=32，∴AB=233EB，同理可得：AC=233FC，∴AB•AC=（233EB）（233FC）=43433，解得：k=3．14、解：依据比例系数k的几何意义可得正方形OABC的面积为1，所以其边长为1，设点E的纵坐标为m，则横坐标为1+m，所以m（1+m）=1，解得m1=512--，m2=512-．由于m=512--不合题意，所以应舍去，故m=512-．1+m=51+．故点E的坐标是（51+，51-）．15、解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，再过点A作AF⊥BE于F．则AD∥BE，AD=2BE=k a，∴B、E分别是AC、DC的中点．在△ABF与△CBE中，∠ABF=∠CBE，∠F=∠BEC=90°，AB=CB，∴△ABF≌△CBE．∴S△AOC=S梯形AOEF=6．又∵A（a，ka），B（2a，2ka），∴S梯形AOEF=12（AF+OE）×EF=12（a+2a）×ka=32k=6，解得：k=4．故答案为：4．16、解：方法1：设B点坐标为（a，b），∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（13a，13b），根据反比例函数的几何意义，∴13a•13b=k，∴ab=9k①，∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=kx的图象上，∴设C点横坐标为m，则C点坐标为（m，b）将（m，b）代入y=kx得，b=km m=kb，BC=a-k b，又因为△OBC的高为AB，所以S△OBC=12（a-kb）•b=3，所以12（a-kb）•b=3，（a-kb）b=6，ab-k=6②，把①代入②得，9k-k=6，解得k=3 4．方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，可知，△ODF的面积=18梯形DFAB=18△BOC的面积=38，即12k=38，k=34．17、解：∵OAPB是正方形，∴点P的横纵坐标相等，且点P在函数y=9x上，∴点P的坐标为（3，3）设F点的坐标为（x，y）∵△ADF是等腰直角三角形，∴y=x-3，将其代入函数y＝9x中，得x=3352+，y=3532-，∴点F的坐标为（335+，353-）．18、解：（1）作P1B⊥OA1于点B，∵等边△P1OA1中，OA1=2，∴OB=1，P1B=3，把P1点坐标（1，3）代入y＝k x，解得：k＝3，∴y＝3；（2）作P2C⊥A1A2于点C，∵等边△P2A1A2，设A1C=a，则P2C=3a，OC=2+a，把P2点坐标（2+a，3a）代入y＝3x，即：(2+a) 3a＝3，解得a1＝2−1，a2＝−2−1（舍去），∴OA2=2+2a=22，∴A2（22，0）．19、解：设点A的坐标为（a，34a），∵AOBC=2，取OA的中点D，∴点B相当于点D向右平移了92个单位，∵点D的坐标为（12a，38a），∴B点坐标为（92+12a，38a），∵点A，B都在反比例函数y=kx的图象上，∴a×34a=（92+12a）×38a解得a=0（0不合题意，舍去），a=3，∴点A 的坐标为（3，94）， ∴k=3×94=274， 故答案为：274． 20、解：过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ，∵点A 在双曲线y ＝1x 上，∴四边形AEOD 的面积为1，∵点B 在双曲线3y x上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3，∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3-1=2．故答案为：2．21、解：设A （x ，y ），∵直线y=mx 与双曲线y=kx 交于A 、B 两点， ∴B （-x ，-y ），∴S △BOM= 12|xy|，S △AOM= 12|xy|，∴S △BOM=S △AOM ，∴S △ABM=S △AOM+S △BOM=2S △AOM=2，S △AOM= 12|k|=1，则k=±2．又由于反比例函数位于一三象限，k ＞0，故k=2．22、解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE=2k ，S △OAD=2k ， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S□ONMG=|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO=4S□ONMG=4|k |，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则2k +2k+6=4k ，k=2．23、解：连DC ，如图，∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1，∴△ADC 的面积为4，设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ，而点D为OB的中点，∴BD=OD= 12b，∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴12（a+2a）×b=12a×12b+4+12×2a×12b，∴ab= 16 3，把A（a，b）代入双曲线y= k x，∴k=ab=163．故答案为：163．。