学而思-九年级数学教材
第三节 平行线的综合及转换初步-学而思培优
第三节平行线的综合及转换初步-学而思培优本文档将介绍学而思培优中关于平行线的综合和转换初步的内容。
平行线是初中数学中重要的概念之一，通过研究本节内容，学生可以深入理解平行线的性质和转换规则，提高数学解题能力。
一、平行线的综合1. 平行线的定义平行线是位于同一平面内，永不相交的直线。
2. 平行线的基本性质- 平行线具有同方向性，即它们要么都向右延伸，要么都向左延伸。
- 平行线之间的距离始终保持一致，无论两条线距离有多远。
- 通过一条直线与平行线相交，所得的对应角相等。
- 通过两条平行线与一条直线相交，所得的内错角、内失角、同旁内角相等。
3. 平行线的判定方法- 角度判定法：两条直线上的对应角相等，则这两条直线平行。
- 垂直判定法：两条直线与同一直线垂直，则这两条直线平行。
- 距离判定法：两条直线上任意一对相互垂直的线段长度相等，则这两条直线平行。
二、平行线的转换初步1. 平行线的转换性质- 平行线的转换性质包括平行线的延长线仍然平行，平行线上任意点之间的线段保持平行，平行线与同一平面内的一条直线所成的对应角相等等。
2. 平行线的转换规则- 延长线规则：若直线AB与直线CD平行，则直线AB的延长线与直线CD的延长线也平行。
- 线段规则：若线段AB与线段CD平行，则线段AB上的任意一点E与线段CD上的任意一点F通过连线EF得到的线段也与线段AB、CD平行。
- 角度规则：若直线AB与直线CD平行且与直线EF相交，则角A与角E、角B与角F对应相等。
通过研究以上的平行线综合和转换初步的内容，学生可以更好地理解平行线的性质和转换规则，进而应用于解决实际问题中。
为了加深对平行线的理解，建议学生多进行练和思考，提高数学应用能力。
参考资料：- 学而思培优数学教材- 《初中数学》。
学而思初中数学朱韬老师教程
学而思初中数学朱韬老师教程一、教学目标：通过本教程的学习，学生应掌握初中数学的基本概念、思想方法和解题技巧，能够有效应对中考数学考试，达到良好的数学素养和成绩。
二、教学大纲：1.数学基础- 数学符号与运算法则- 整数、分数和小数的概念和性质- 数论基础及应用，如公因数、公倍数、质数、约数等- 代数中的基本内容，如代数式、方程、不等式等2.平面几何- 平面图形的认识和性质，如点、线、角、三角形、四边形、圆等- 平面几何基本定理证明和应用，如勾股定理、角平分线定理、中垂线定理等- 向量的认知、性质和运算3.立体几何- 空间图形的认知和性质，如点、线、面、体的概念- 空间几何基本定理证明和应用，如正方体的表面积、体积、稳定性等- 立体几何中的向量和投影的应用4.统计与概率- 统计学的基本概念和方法，如资料的整理、分析和表示方法- 概率的认知、性质和问题解法，如事件、样本空间、概率法则等三、教学重点和难点：1.代数中方程、不等式的解法选择和应用2.平面几何基本定理的证明和应用3.立体几何中空间图形的认知和应用4.概率问题的理解和求解方法四、教学方法：本教程采用“理论与实践相结合”、“引导性学习”、“启发性学习”、“传统课堂教学”等多种教学方法，使学生在启发式教学实践中自主发现问题，提高数学思维能力。
五、教学体系：本教程结合中考数学考试的要求和题型，分阶段分模块学习，让学生按照模块学习和模块检测，切实提高学生对数学知识的理解和应用能力，达到中考数学复习的目标。
六、学习建议：1.注重课堂学习，积极参与，扎实掌握每个模块的基本概念与方法。
2.加强练习与巩固，在课后留出适当时间进行练习，熟记公式与方法。
3.多彩生活，提高数学思维，积累数学思维的素材，增强对数学的热爱与兴趣。
九年级上册人教版数学教材
九年级上册人教版数学教材一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
- 配方法：将一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x + m)^2=n的形式求解。
例如对于方程x^2+6x - 7 = 0，配方得(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
- 公式法：一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
例如方程2x^2-3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c=-2，代入求根公式可得x = 2或x=-(1)/(2)。
- 因式分解法：将方程化为两个一次因式乘积等于零的形式，即(mx +p)(nx+q)=0，则mx + p = 0或nx + q = 0。
例如方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
例如方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1。
4. 一元二次方程的应用。
- 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则a(1 + x)^n=b。
2013-5-16小初高学而思
学而思初中奥数教案
学而思初中奥数教案一、教学目标：1. 让学生掌握数论的基本概念和性质，包括自然数的性质、整除与除尽、最大公约数和最小公倍数等；2. 培养学生解决数论问题的方法和技巧，提高学生的逻辑思维能力和运算能力；3. 培养学生对奥数的兴趣，激发学生探索数学的欲望。
二、教学内容：1. 自然数的性质：奇数、偶数、质数、合数、相邻自然数之间的关系等；2. 整除与除尽：整除的概念、性质、判定方法；除尽的概念、性质、判定方法；3. 最大公约数和最小公倍数：互质的概念、性质、判定方法；最大公约数和最小公倍数的求法；4. 因数分解：质因数分解的概念、性质、方法；5. 应用题：利用数论知识解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引出数论的概念和性质，激发学生的兴趣；2. 讲解：分别讲解数论的五个方面内容，结合例题，让学生理解和掌握；3. 练习：布置针对性的练习题，让学生巩固所学知识；4. 拓展：引导学生思考数论在实际生活中的应用，激发学生探索数学的欲望；5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，为学生课后复习提供指导。
四、教学策略：1. 采用生动形象的讲解方式，让学生更容易理解和接受数论的概念和性质；2. 通过例题，让学生学会运用数论知识解决问题，提高学生的逻辑思维能力和运算能力；3. 注重课后练习，让学生巩固所学知识，不断提高自己的数学水平；4. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力；5. 定期进行总结，帮助学生建立完整的知识体系。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习作业：检查学生的课后练习完成情况，评估学生的掌握程度；3. 考试测评：定期进行数论知识的测试，了解学生的学习成果；4. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断调整教学方法和策略。
六、教学资源：1. 教材：选用权威、系统的数论教材，为学生提供全面、准确的知识体系；2. 教辅：提供丰富的数论练习题，帮助学生巩固所学知识；3. 课件：制作生动、直观的课件，提高课堂教学效果；4. 网络资源：利用互联网，为学生提供更多的学习资料和信息。
2020-2021年学而思初中数学勤敏版四季课程
一、关于学而思初中数学勤敏版四季课程在过去的2020-2021年里，学而思初中数学勤敏版四季课程备受关注。
这一全新课程的推出，为广大初中生提供了更为全面、深度和广度兼具的数学学习体验。
从初中一年级到初中三年级，这一系列课程帮助学生在数学知识的掌握、应试技巧的提升以及数学思维能力的培养方面取得了显著的进步。
接下来，我将从不同角度对这一四季课程进行全面评估，以及对自己的学习收获和感悟进行总结和回顾。
二、课程内容的深度和广度学而思初中数学勤敏版四季课程的内容安排丰富多彩，涵盖了初中数学的各个知识点和技能要求。
从初中一年级的基础巩固开始，到初中三年级的高阶拓展，每一个阶段都有仔细设计的课程内容和练习题目。
通过系统学习，我对数学的整体脉络有了更清晰的认识，相关知识点的运用和拓展能力也得到了有效提升。
在课程深度方面，学而思初中数学勤敏版四季课程注重帮助学生理解数学本质，培养抽象思维和逻辑推理能力。
在每个单元的学习过程中，我逐渐养成了对问题进行深度思考的习惯，不再满足于简单的记忆和机械运算。
这种深度的数学思维方式，让我在解决实际问题和应试备考中更具优势。
三、个人观点和理解学而思初中数学勤敏版四季课程对我的数学学习起到了积极的引领和指导作用。
在课程中，老师们注重培养学生的数学兴趣和学习动力，激发学生的自主学习能力和探究精神。
通过这一系列课程的学习，我不仅掌握了丰富的数学知识，还发展了数学思维和解决问题的技能。
学而思初中数学勤敏版四季课程是一门全面、深度和广度兼具的数学学习课程。
它的推出为广大初中生提供了更好的学习评台和更丰富的学习资源。
在未来的学习和生活中，我将继续积极运用这些数学学习的经验和技能，不断提升自己的数学水平和综合素质。
四、总结和回顾性内容通过深入学习学而思初中数学勤敏版四季课程，我对数学学科有了更为全面、深度和广度兼具的认识和掌握。
学习内容丰富，课程设置合理，老师们的教学态度和方法也令我受益匪浅。
学而思初中课程目录
学而思初中课程目录第一讲：数学一、分数与小数1. 分数的认识与运算2. 分数与小数的互化二、代数1. 代数基础知识2. 一元一次方程与不等式3. 二次根式与二次方程三、几何1. 直线、射线与线段2. 角的概念与性质3. 三角形的分类与性质4. 平行线与平行四边形5. 圆的认识与性质四、数据与概率1. 统计数据的收集与整理2. 数据的图表表示3. 概率的基本概念与计算第二讲：语文一、词语运用1. 词语的辨析与运用技巧2. 成语与俗语的理解与应用二、阅读理解1. 文章主旨与段落概括2. 阅读常见问答题解题技巧三、写作表达1. 作文结构与写作步骤2. 议论文与记叙文的写作技巧四、文学常识1. 古代文学名篇赏析2. 现代文学作品解读第三讲：英语一、基础语法运用1. 时态与语态的正确使用2. 名词、代词与形容词的用法二、听力与口语1. 听力技巧与短对话理解2. 日常口语表达与交流实践三、阅读与写作1. 阅读理解技巧与常见题型分析2. 书信写作与应用文练习四、文化与社交1. 英语国家文化与习俗2. 社交场合常用表达与礼仪第四讲：科学一、物质与能量1. 物质与化学变化2. 能量与能量转化二、生命与健康1. 细胞与生物多样性2. 健康与生长发育三、地球与宇宙1. 地球的结构与特点2. 太阳系与宇宙的奥秘四、科学探究1. 科学实验与观察方法2. 科学问题的提出与探索第五讲：历史一、中华文明1. 古代中国的起源与发展2. 中国古代文化的瑰宝二、世界史观1. 世界文明的交流与融合2. 世界历史重要事件与人物三、近现代史1. 近现代中国的社会变革2. 近现代世界的政治与经济四、历史思维与方法1. 历史资料的分析与运用2. 历史事件的评价与解读第六讲：地理一、自然地理1. 自然地理要素与特征2. 自然地理的作用与关系二、人文地理1. 人口与人口分布2. 城市与乡村的特点与变化三、地理知识与应用1. 地理信息系统与地图阅读2. 大气与水资源的保护与利用四、环境与可持续发展1. 环境问题与生态平衡2. 可持续发展的理念与实践以上是学而思初中阶段的课程目录，涵盖了数学、语文、英语、科学、历史和地理六个学科，旨在帮助学生全面发展各项能力。
学而思数学
学而思数学
教程
学而思数学教程有小学、初中、高中三个级别，教程每学期有一门教材，每本教材都由7～10部分组成，共用三种不同类型的课本。
1、小学级别：
小学教程以计算机互动的形式，提供利用计算机软件的不同功能与图形的自然解题、多元方程的课程框架，帮助学生从基础上学习数学知识和技能。
2、初中级别：
初中教程以自然思路解决问题，扩展学生的思考范围，帮助学生探讨数学模型，综合思维技巧解决实际问题。
具体教材内容涵盖初中数学所有主要知识，重点将试验教学法中的函数、几何、立体几何、概率和统计等知识加强传授，以帮助学生准备进入高中。
3、高中级别：
高中教程面向全面复习、考试应试，贴近考试大纲，以平面微积分、立体几何两部分为主。
课程以图形化、实验性教学法推进，引导学生逐步掌握数学知识，同时促进学生自主思考与发现，联系实际应用解
决问题，为高中学生进入高考后的科研提供良好的基础和丰富的知识储备。
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第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x =≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=- 例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得(21)2100x y k x y ----+=。
因为等式对一切有意义的k 成立，所以得2102100,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得12519,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55⎛⎫⎪⎝⎭.例3：已知m 、n 、c 为常数，220m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。
解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=- ○1用1x +代换原方程中的x ，得()()(1).mf x nf x c x +-=+ ○2 m ⨯○2n -⨯○1得22()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以()22()c m n x m n f x m n ++-⎡⎤⎣⎦=-，所以()c c f x x m n m n =+-+.例4:如图，设111()(1),f x mx x m x m m m ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭因为当1m ≥时，10,()m f x m -≥为递增函数，11(1).1.f m m m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()f x 在[]0,1上的最小值为所以1(0)(1).()(1)(01).f m g m mf m m ⎧=≥⎪=⎨⎪=<<⎩因此1()g m m =在[]1,+∞上为递减函数；()g m m =在()0,1上为递增函数，故()g m 的最大值为(1) 1.g =例5：画函数242x y x-=-的图像。
解 0x =，0x =，240x -=，2,x =±将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为2x ≠±的一切实数。
2,2,2,2,x x y x x -⎧⎪-⎪=⎨+⎪⎪--⎩2;20;022x x x x <--<<≤<>例6：一次函数(1)y kx k k =->图像交x 轴于A 点，将此直线沿直线y x =翻折交y 轴于B 点，这两条直线相交于P 点，且四边形OAP B 的面积为3， 求k 的值。
解 设点P 坐标为'(,),t t 又OAP ∆与OBP ∆是翻折而成，所以OAP S ∆面积是四边形OAPB 的一半等于32。
设0y =代入,y kx k =-得1,x =点A为(1,0).由1131,222OAP S OA PC t ∆=⨯=⨯⨯=得3,t =即点(3,3).p 因点P在y kx k =-上，代入得33,k k =-3.2k = A 卷一、填空题1.设21(2)k y k x -=+是反比例函数，则k = ；其图像经过第象限时；当0x >时，y 随x 增大而 。
2.两个一次函数312,y x =+33,2y x =-的图像与y 轴所围成的三角形面积是 。
3.等腰三角形一个底角的度数记作y ，顶角的度数记作x ，将y 表示成x 的函数是 ，其中x 的取值范围是 。
4.如果函数12a y =--的图像与直线32y x =-平行，则a = 。
5.已知四条直线3y mx =-、1y =-、3y =、1x =所围成的车边形的面积是12，则m = 。
6.一次函数y kx b =+的图像经过点(1,2)p 且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。
若5sin ,5PAO ∠=则线段OB 的长为 。
7.已知一次函数y kx b =+中，若x 的值每增加4，y 的值也相应增加8，则k = 。
8.如果把函数2y x =的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。
9.已知一次函数24(31)(21)3,n y n n x =-++则n 的值为 。
10.若直线(1)5y m x m =-+-不经过第二象限，则m 的取值范围是 。
二、解答题11.求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图像恒过一定点。
12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？B 卷一、填空题1.函数1(1)(0,01)y ax x a x a =+->≤≤的最小值为 。
2.如图，正比例函数y x =和(0)y ax a =>的图像与反比例函数(0)ky k x =>的图像分别交于A 点和C 点。
若直角三角形AOB 和直角三角形COD 的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的大小关系是 。
3.点(4,0)A -、(2,0)B 是平面直角坐标系中的两定点，C 是122y x =-+图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC 或画出 个。
4.直线0(0,0)ax by c ab ac ++=>>经过 象限。
5.一个三角形以(0,0)A =、(1,1)B 及(9,1)C 为三个顶点，一条与x 轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为 。
6.已知函数3y x =及4,y x =-+则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为 。
7.双曲线ky x =与一次函数4,y kx =-+的图像有两个不同的交点，则k 的取值范围是 。
8.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当0x >时y 随x 的增大而增大，则一次函数142y kx k =-的图像经过象限。
9.已知实数x 、y 满足43120,x y +-=则22a x y =+的取值范围是 。
10.一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，则整数m = 。
二、解答题11.设直线2(1)y x =-与直线2(5)y x =--相交于点A ，它们与x 轴的交点为,B C ，求ABC ∆中BC 边上的中线所在的直线方程。
12.已知函数()(2)23f x m x m =-+-，(1) 求证：无论m 取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x 在12x ≤≤内变化时，y 在45y ≤≤内，求实数m 的值。
13.若对于满足02x ≤≤的一切实数x ，函数(2)37y k x k =-+的值恒大于0，求实数k 的取值范围。
14．A 、B 两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。
甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。
从A 厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B 厂到三商店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？C 卷一、填空题1．函数3y x b =-与2y ax =+的图像关于直线y b =对称则a = ，b = 。
2．三个一次函数11y k x b =+、22y k x b =+、33y k x b =+在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线1l 、2l 、3l，则1k 、2k 、3k 的大小关系是 。
3.已知函数(2)31,y a x a =---当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，有y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围是 。
4．已知a b c <<，则函数y x a x b x c=-+-+-的最小值是 。
5．一次函数()y f x =满足[]{}()87f f f x x =+，则()f x = 。
6．已知0abc ≠并且,a b b c c ap c a b +++===则一次函数(1)y P x =+的图像一定通过 象限。
7.已知一次函数y ax b =+ (a 为整数）的图像经过点(98，19)，它与x 轴的交点为(p ，0)，与y 轴的交点为(0，q).若P 为质数，q 为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是 个。
8.把函数1y x -=的图像沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向平移个单位，得到12x y x -=-的图像。
9.方程224620x y x y --++=表示成两个一次函数是 。
10.一次函数y ax b =+的图像经过点(10，13），它在x 轴上的截距是一个质数，在y 轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有 个。
二、解答题11.如图，设直线(1)10kx k y ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积是kS ，求1231999.S S S S +++L L12.在直角坐标系中有一个矩形ABCD ，点B 与坐标原点重合，BA 在y 轴的正半轴上，BC 在x 轴的正半轴上，点P 在CD 边上，直线3y kx =-经过点P ，且与x 轴交于点Q 。