四边形培优提高训练复习
第四章：平行四边形培优训练试题
第四章：平行四边形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )2.平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A ．4cm 或6cmB ．6cm 或10cmC ．12cm 或12cmD ．12cm 或14cm3.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ） A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠4．若用反证法证明：若0a b >>，则a b >，需假设（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是CD 的中点，2AB BC =，BM a =，AM b =，则CD 的长为（ ） A ．2+ab B ．2b a +C ．abD ．22a b + 6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知，，，过BC 的中点E 作，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则的面积是（ ） A .38B .312C .314D .3187.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角的度数为( ) A. 0120 B.0130 C. 0135D.01508．如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论，①DE ＝DF ；②AG ＝GF ：③AF ＝DF ：④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．49.如图，四边形ABCD 中．，，BD 为的平分线，，，F 分别是BD ，AC 的中点，则EF 的长为（ ）A. 1 B .5.1 C. 2 D . 5.210．如图,已知在▱ABCD 中,分别以AB ,AD 为边分别向外作等边三角形ABE 和等边三角形ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A ,E 之间,连接CE ,CF ,EF ,则下列结论不一定正确的是（ ） A ．△CDF ≌△EBCB ．∠CDF =∠EAFC ．△ECF 是等边三角形D ．CG ⊥AE二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．一个多边形的内角和等于1800°，则该多边形的边数n 等于12．在平面直角坐标系中，若▱ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，﹣n ）、B （2，3）、C （﹣m ，n ），则点D 的坐标是13．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中________ 14.在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______15．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB ＝45°，BD ＝2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B ′，则DB ′的长为________ 16．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =6，BC =16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间________秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）如图，在ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的角平分线BE 与CE 相交于点E ，且点E恰好落在AD 上；（1）求证：222BE CE BC += ；（2）若2AB =，求ABCD 的周长．18（本题8分）．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO ＝CO ．19（本题8分）如图，在ABCD 中，过点B 作BM AC ⊥，交AC 于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ⊥，交AC 于点F ，交AB 于点N ．（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；（2）已知125AF EM ==，，求AN 的长．20（本题10分）已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，AC 为对角线，BM ∥AC ，过点D 作 DE ∥CM ，交AC 的延长线于F ，交BM 的延长线于E ．（1）求证：△ADF ≌△BCM ；（2）若AC=2CF ，∠ADC=60°，AC ⊥DC ，求四边形ABED 的面积（用含a 的代数式表示）．21.(本题10分)在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上的点，连接BE ． （1）如图1，若BE 平分∠ABC ，BC ＝8，ED ＝3，求平行四边形ABCD 的周长；（2）如图2，点F 是平行四边形外一点，FB ＝C D ．连接BF 、CF ，CF 与BE 相交于点G ，若∠FBE +∠ABC＝180°，点G 是CF 的中点，求证：2BG +ED ＝B C ．22（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，8），点B 的坐标是（6，0），点C 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AO 方向以每秒1个单位的速度向终点O 运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB 方向运动；当点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．以CP ，CQ 为邻边构造▱CPDQ ，设点P 运动的时间为t 秒． （1）点C 的坐标为 ，直线AB 的解析式为 ． （2）当点Q 运动至点B 时，连结CD ，求证：//CD AP ．（3）如图2，连结OC ，当点D 恰好落在△OBC 的边所在的直线上时，求所有满足要求的t 的值．23．（本题12分）如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，5cm OA =，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且11,22DE OD BF OB ==，连结AE ，CE ，CF ，AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若11,33DE OD BF OB ==，上述结论还成立吗？若11,DE OD BF OB n n==呢？ （3）若CA 平分BCD ∠，60AEC ∠=，求四边形AECF 的周长．第四章：平行四边形培优训练试题答案三．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：A解析：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2.答案：D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，OB=12BD，A、∵AC=4cm，BD=6cm，∴OA=2cm，OB=3cm，∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；B、∵AC=6cm，BD=10cm，∴OA=3cm，OB=5cm，∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；C、∵AC=12cm，BD=12cm，∴OA=6cm，OB=6cm，∴OA+OB=12cm=12cm，不能组成三角形，故不符合；D、∵AC=12cm，BD=14cm，∴OA=6cm，OB=7cm，∴OA+OB=13cm＞12cm，能组成三角形，故符合；故选D．3.答案：B解析：A 、∵AE CF =， ∴AO=CO ，由于四边形ABCD 是平行四边形，则BO=DO ， ∴四边形DEBF 是平行四边形；B 、不能证明四边形DEBF 是平行四边形；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，又∠ADE=∠CBF ， ∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ）， ∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； 故选：B ．4.答案：C解析：反证法证明“若a ＞b ＞0a b >a b ≤，故选：C ．5.答案：D解析：∵M 为CD 中点， ∴CM=DM=12CD=12AB=BC=AD ， ∴∠DAM=∠DMA ，∠CBM=∠CMB ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠C+∠D=180°，∴∠C=2∠DMA ，∠D=2∠CMB ， ∴∠DMA+∠CMB=12（∠C+∠D ）=90°， ∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB ）=90°即△MAB为直角三角形，∵BM=a，AM=b，∴CD=AB=2222MA MB a b+=+，故选：D．6.答案：A解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴8==BCAD,CDAB//,6==CDAB，∵E为BC中点，∴4==CEBE，∵060=∠B,ABEF⊥，∴030=∠FEB，∴2=BF，由勾股定理得：32=EF，∵CDAB//，∴ECHB∠=∠，在BFE∆和CHE∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CEHBEFCEBEECHB∴△BFE≌△CHE(SAS)，∴32==EHEF，2==BFCH，∵31621=⨯=∆FHDHSDHF，∴3821==∆∆DHFDEFSS．故选A．7.答案：B解析；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．∵()x n +=⨯-025701802，∴()0293018025701802-=-⨯-=n n x ，∵01800<<x ，∴00018029301800<-<n ，解得：2.172.16<<n ，又n 为正整数， ∴17=n ，所以多边形的内角和为()02700180217=⨯-，即这个内角的度数是00013025702700=-． 故选B ．8.答案：B解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，即AB ∥CE ， ∴∠ABF ＝∠E ， ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DE AB DFE AFB E ABF ， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ）， ∴AF ＝DF ，BF ＝EF ； 可得③⑤正确， 故选：B ．9.答案：A解析：∵BC AC ⊥， ∴090=∠ACB ，∵4,3==AC BC ， ∴5=AB ， ∵BC AD //，∴DBC ADB ∠=∠，∵BD 为ABC ∠的平分线， ∴CBD ABD ∠=∠， ∴ADB ABD ∠=∠， ∴5==AD AB ，连接BF 并延长交AD 于G ， ∵BC AD //∴BCA GAC ∠=∠， ∵F 是AC 的中点， ∴CF AF =，∵CFB AFG ∠=∠， ∴△AFG ≌△CFB(ASA)， ∴3,===BC AG FG BF ， ∴235=-=DG ， ∵E 是BD 的中点， ∴121==DG EF ． 故选：A ．10．答案：D解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC ，AD=BC ，CD=AB ， ∵△ABE 、△ADF 都是等边三角形， ∴AD=DF ，AB=EB ，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC ，CD=BE ，∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC ，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC ， ∴∠CDF=∠EBC ，∴△CDF ≌△EBC （SAS ），故A 中结论正确； （2）∵在平行四边形ABCD 中，∠DAB=180°-∠ADC ，∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC ， 又∵∠CDF=300°-∠ADC ， ∴∠CDF=∠EAF ，故B 中结论正确；（3）∵在△CDF和△EAF中，DF=AF，∠CDF=∠EAF，DC=AB=AE，∴△CDF≌△EAF，∴EF=CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE=CF，∴EF=CE=CF，∴△ECF是等边三角形，故C正确；（4）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，∴当CG⊥AE时，∠ABG=30°，则此时∠ABC=180°-∠ABG=150°，∵由题中条件无法确定∠ABC的度数，∴D中结论不一定成立.故选D.四．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：12解析：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°＝1800°，解得n＝12．则该多边形的边数n等于12．故答案为：12．12.答案：（﹣2，﹣3）解析：∵A（m，﹣n），C（﹣m，n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，3），∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为（﹣2，﹣3）13.答案：三角形中每一个内角都小于60°解析: 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°14.解析：∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，=∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴=15.答案：2解析：连结BB′.根据已知条件和折叠的性质易知△BB′E是等腰直角三角形且∠BEB′＝90°.∵BD＝2，所以BE＝1，∴BB′＝2.又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴B ′E 是BD 的中垂线， ∴DB ′＝BB ′＝216.答案：2或143解析：由已知梯形，当Q 运动到E 和B 之间，设运动时间为t ，则得：162t 2-=6-t ， 解得：t=143， 当Q 运动到E 和C 之间，设运动时间为t ，则得：162-2t=6-t ， 解得：t=2， 故当运动时间t 为2或143秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为2或143三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17解析：()1BE CE 、分别平分ABC ∠和BCD ∠12EBC ABC ∴∠=∠，12ECB BCD ∠=∠ ABCD//AB CD ∴180ABC BCD ∴∠+∠=90EBC ECB ∴∠+∠=︒90BEC ∴∠=222BE CE BC ∴+=()2ABCD//,2AD BC CD AB ∴==EBC AEB ∴∠=∠BE 平分ABC ∠EBC ABE ∴∠=∠ AEB ABE ∴∠=∠AB AE =∴同理可证DE DC =122DE AE AD ===∴ ()24212ABCDC∴=⨯+=18.解析：（1）∵BF=DE ， ∴BF EF DE EF -=-， 即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CDBE DF =⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）； （2）如图，连接AC 交BD 于O ， ∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌， ∴ABE CDF ∠=∠， ∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO CO =．19.解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CDAB ．∵BM AC DN AC ⊥⊥，， ∴DNBM ，∴四边形BMDN 是平行四边形．（2）∵四边形ABCD ，BMDN 都是平行四边形，∴AB CDDM BN CD AB ==，，∥， ∴CM AN MCE NAF =∠=∠，． 又∵90CEM AFN ∠=∠=︒， ∴()CEM AFN AAS ≌， ∴5FN EM ==． 在Rt AFN 中，222212513AN AF FN =+=+=．20.解析：（1）在平行四边形ABCD 中，则AD ＝BC ，AD//BC ， ∵AC ∥BM ，∴∠AFD ＝∠E ，∠DAF=∠ACB ， ∵CM ∥DE ，∴∠BMC ＝∠E ， ∴∠BMC ＝∠AFD ， ∵AC ∥BM ， ∴∠ACB=∠MBC ， ∴∠FAD ＝∠MBC ， 则在△ADF 与△BCM 中．BMC AFD FAD MBC AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△BCM （AAS ）． （2）解：在△ACD 中， ∵AC ⊥CD ，∠ADC ＝60°， ∴CD ＝12AD ＝12a ， 则AC， ∵AC=2CF ， ∴， ∴AF ＝AC CF -=24a a -=4a ， 又由△ADF ≌△BCM ，可得BM＝4a ， 又∵DE ∥CM ，BM ∥AC ， ∴CFEM 为平行四边形， ∴， ∴， 又∵AC ⊥DC ， ∴DC 为△ADF 高， 又∵△ADF ≌△BCM ， ∴△ADF 的高的长度等于DC ， S ABED ＝S △ADF ＋S ABEF ＝12•AF •CD ＋12（AF ＋BE ）•CD ＝12×4a ×12 a ＋12（4aa ）×12a＝53a2．21.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵FBG CKGBGF KGCFG CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，在△AEB和△KBC中，∵BAE CKBAEB KBCAB CK∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，∴∠KEC＝∠DEC，在△KEC和△DEC中，∵KEC DECEKC DCK CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△KEC≌△DEC（AAS），∴KE＝ED，∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．22.解析：（1）∵点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，∴点C（3，4），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意可得：8068bk=⎧⎨=+⎩，解得：438kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为：y＝﹣43x+8；故答案为：（3，4），y＝﹣43x+8；（2）如图1，连接CD，∵四边形CBDP是平行四边形，∴CB//PD，BC＝PD，∵点C为AB的中点，∴AC＝BC，∴PD＝AC，∴四边形ACDP是平行四边形，∴CD//AP；（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CQ＝PD，PD//CQ，∴∠QCP+∠DPC＝180°，∵AO//CE，∴∠OPC+∠PCE＝180°，∴∠FPD＝∠ECQ，又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，∴△PDF≌△CQE（AAS），∴DF＝EQ，PF＝CE，∵点C（3，4），点P（0，8﹣t），点Q（2t，0），∴CE＝PF＝4，EQ＝DF＝2t﹣3，∴FO＝8﹣t﹣4＝4﹣t，∴点D（2t﹣3，4﹣t），当点D落在直线OB上时，则4﹣t＝0，即t＝4，当点D落在直线OC上时，∵点C（3，4），∴直线OC解析式为：y＝43x，∴4﹣t＝43（2t﹣3），∴t＝24 11，当点D落在AB上时，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CD与PQ互相平分，∴线段PQ的中点（t，82t-）在CD上，∴82t-＝﹣43t+8，∴t＝245；综上所述：t＝4或2411或245．23.解析：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =．12DE OD =，12BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 为平行四边形．（2）13DE OD =，13BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 为平行四边形． ∴上述结论成立，由此可得出结论：若1DE OD n =，1BF OB n =，则四边形AFCE 为平行四边形．（3）在ABCD 中，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠． CA 平分BCD ∠，BCA DCA ∴∠=∠， DCA DAC ∴∠=∠， AD CD ∴=． OA OC =， OE AC ∴⊥，OE ∴是AC 的垂直平分线， AE CE ∴=．60AEC ∠=︒，ACE ∴∆是等边三角形，210AE CE AC OA cm ∴====，()()22101040AECF C AE CE cm ∴=+=⨯+=四边形．。
四边形专项训练题(培优)
四边形专项训练题（培优）一．选择题（共10小题）1．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．2．如图，在▱ABCD中，一定正确的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5B．4C．3D．25．如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F 的坐标为（2，3），则图象最低点E的坐标为（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（，2）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF 的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm8．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E9．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B．C．D．10．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形二．填空题（共10小题）11．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝．12．正十二边形的一个内角的度数为．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．14．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠F AN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB 中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为．16．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是．17．七边形一共有条对角线．18．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）19．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件，使AB＝CD．（填一种情况即可）20．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）三．解答题（共8小题）21．同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE．23．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC ⊥BD ，OB ＝OD ，∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．24．如图，已知五边形ABCDE 是正五边形，连接AC 、AD ．证明：∠ACD ＝∠ADC ．25．如图，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：△DCE ≌△BCE ；（2）求证：∠AFD ＝∠EBC ．26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．27．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．。
人教【数学】培优平行四边形辅导专题训练
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．4．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH 3；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC =32． 【解析】【分析】 （1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=12AB ，BE=12AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE =∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33，∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=93，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG5∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S△DCG＝12•CD•NG＝12•DG•CM，∴2×25，∴CM＝GH45，∴MG＝CH22CG CM355，∴FH ＝FG ﹣FG ＝5， ∴CF ＝22FH CH +＝22535()()55+＝2． 故答案为2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×10×4=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=534∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2， 在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173； 综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上． 【点睛】 四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．10．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD ，若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．。
2020年中考数学备考专题能力提升训练卷：四边形
培优专题能力提升训练卷：《四边形》1．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 丁点Q ，连接CM ．（1）求证：PM ＝PN ；（2）当P ，A 重合时，求MN 的值；（3）若△PQM 的面积为S ，求S 的取值范围．2．将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转得到矩形A 1BC 1D 1，点A 、C 、D 的对应点分别为A 1、C 1、D 1． （1）当点A 1落在AC 上时．①如图1，若∠CAB ＝60°，求证：AC ∥D 1B ；②如图2，AD 1交CB 于点O ．若∠CAB ≠60°，求证：DO ＝AO ；（2）①如图3，当A 1D 1过点C 时．若BC ＝15，CD ＝9，则A 1A 的长＝ ． ②当∠A 1BA ＝45°时，作A 1E ⏊AB ，△A 1EB 绕点B 转动，当直线A 1E 经过D 时，BC ＝15，CD ＝9，直线A 1E 交边AB 于N ，的值＝ ．3．（1）观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；（2）问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）菱形ABCD的面积为．（2）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．①求证：CE+CF＝AB；②若点P是AF的中点，当点E由点B运动到点C时，点P运动的路线长为．（3）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）5．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和BE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．（3）若BC＝DE＝10，在（2）的旋转过程中，求线段AE长的最大值和最小值．6．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．7．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．9．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点的勾股点；在点E、F、G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若△ADE是等腰三角形，直接写出AE的长．10．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE＝EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB 边于点G．（1）如图1，求证：DE＝DG；（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H 为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括EG）．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC ：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．12．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE＝BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AB'E'，点B、E的对应点分别为B'、E'．（Ⅰ）如图1，当α＝30°时，求证：B'C＝DE；（Ⅱ）连接B′E、DE′，当B'E＝DE''时，请在图2中补全图形，并求出α的值；（Ⅲ）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B'E'上任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．13．如图1正方形ABCD，边CD在等腰三角形DEF的边DE上，AB＝3，DE＝5，连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DN、MN．（1）直接写出AE与CF的关系和△DMN的形状．（2）如图2，将等腰直角三角形DEF绕点D顺时针旋转α°（0°≤α≤45°），连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DF、MN．此时（1）中的两个结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）在（2）的条件下，△ECF的面积在旋转过程中变化吗？若没有变化，请直接写出面积；若有变化，请直接写出它的最大值和最小值．14．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，QE⊥AC？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF ：S菱形ABCD＝1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；15．如图1，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．（1）求证：△CDE≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△POA的面积等于△ACE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN ＝2QN ＝2．（3）解：当MN 过点D 时，如图3所示，此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为S ＝S 菱形CMPN ＝×4×4＝4，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大为S ＝×5×4＝5， ∴4≤S ≤5，2．（1）证明：①如图1中，∵∠BAC ＝60°，BA ＝BA 1， ∴△ABA 1是等边三角形， ∴∠AA 1B ＝60°， ∵∠A 1BD 1＝60°， ∴∠AA 1B ＝∠A 1BD 1， ∴AC ∥BD 1．②如图2中，连接BD 1，BD ，DD 1．∵BA ＝BA 1，BD ＝BD 1，∠ABA 1＝∠DBD 1， ∴∠BAA 1＝∠BDD 1， ∵∠BAA 1＝∠BDC ， ∴∠BDC ＝∠BDD 1，∴D ，C ，D 1共线，∵∠BCD 1＝∠BAD 1＝90°，BD 1＝D 1B ，BC ＝A 1D 1，∴Rt △BCD 1≌Rt △D 1A 1B （HL ），∴CD 1＝BA 1，∵BA ＝BA 1，∴AB ＝CD 1，∵AC ＝BD 1∴四边形ABD 1C 是平行四边形，∴OC ＝OB∵CD ＝BA ，∠DCO ＝∠ABO ，∴△DCO ≌△ABO （SAS ），∴DO ＝OA ．（2）①如图3中，作A 1E ⊥AB 于E ，A 1F ⊥BC 于F ．在Rt △A 1BC 中，∵∠CA 1B ＝90°，BC ＝15．AB ＝9，∴CA 1＝＝＝12， ∵•A 1C •A 1B ＝•BC •A 1F ，∴A 1F ＝，∵∠A 1FB ＝∠A 1EB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形A 1EBF 是矩形，∴EB ＝A 1F ＝，A 1E ＝BF ＝＝＝， ∴AE ＝9﹣＝，在Rt △AA 1E 中，AA 1＝＝＝．故答案为．②如图4中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAN＝90°，AD＝BC＝15，CD＝AB＝9，在Rt△A1BE中，∵BA1＝BA＝9，∠A1BE＝45°，∴BE＝EA1＝，∵∠DAN＝∠BEN＝90°，∠AND＝∠BNE，∴△DAN∽△BEN，∴＝＝＝．故答案为．3．解：（1）观察猜想结论：BC＝BD+CE，理由是：如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE；故答案为：BC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）同理得：△ABC≌△DEA，∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，Rt△BDE中，BE＝9，由勾股定理得：BD＝＝＝3；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，∴CE＝AF，ED＝DF，设AF＝x，DF＝y，则，解得：，∴BF＝3+＝，DF＝，由勾股定理得：BD＝＝．4．解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，∵菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，BC＝AB＝2，∴AE＝，∴S＝BC×．菱形ABCD故答案为：2；②如图2，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA．∵∠B＝60°，∴∠D＝60°，∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CB＝AB．②由①知，当点E与点B重合时，点P为AC的中点，当点E由点B运动到点C时，点P运动路线为△ACD的中位线，长度为＝1．故答案为：1．（3）CF＝AB+CE．如图3，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA．∵∠B＝60°，∴∠D＝60°，∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴AB＝AD＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ADC＝∠ACD＝∠B＝60°．∴∠ACE＝∠ADF＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠CAE＝∠DAF，在△ACE和△ADF中，，∴△ACE≌△ADF（ASA），∴CE＝DF，∴CF﹣CE＝CF﹣DF＝CD＝AB．即CF＝AB+CE．故答案为：CF＝AB+CE．5．解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）成立，BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE．∵BC＝DE＝10，∴BG＝10+5＝15．∴AE＝15．如图4，当旋转角为90°时，AE取得最小值为5．6．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．7．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．8．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝∠ECF＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，∴，∴AC2＝AG•AH．（3）如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，∵GC＝GH，∴∠GCH＝∠GHC＝45°，∴∠CGH＝90°，∴∠BGC+∠BGH＝90°，且∠BGC+∠BCG＝90°∴∠BGH＝∠BCG，且∠GBC＝∠GAH，GC＝GH，∴△BCG≌△AGH（AAS）∴AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝，∴AE＝AB＝；如图2中，当CH＝HG时，∵HC＝GH，∴∠GCH＝∠CGH＝45°，∴∠CHG＝90°，∴∠CHD+∠AHG＝90°，且∠CHD+∠DCH＝90°∴∠AHG＝∠DCH，且∠CDH＝∠GAH，CH＝GH，∴△DHC≌△AGH（AAS）∴AH＝CD＝4，∵BC∥AH，∴＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，∵∠AHC＝∠ACG，∠ACH＝∠AGC，且CG＝CH，∴△ACH≌△AGC（ASA）∴AC＝AH＝4，AG＝AC，∵BC∥AH，∴＝，∴AE＝BE，∵BE+AE＝AB＝4，∴BE＝4﹣4，∴AE＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．9．解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5 ∴DB2＝DC2+DA2∴点D是△ABC关于点B的勾股点∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4∴点E不是△ABC的勾股点∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5∴FA2＝FB2+FC2∴点F是△ABC关于点A的勾股点∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8∴点G不是△ABC的勾股点故答案为：B；F．（2）①证明：如图3中，∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2＝CB2+CE2∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2∴CB2+CE2＝CB2+CD2∴CE＝CD②如图3中，设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α∵∠AEC＝120°∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α∵DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°解得：α＝50°∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°（3）∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE＝CD＝5i）如图1，若DE＝DA，则DE＝6过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N∴∠AME＝∠MND＝90°∴四边形AMND是矩形∴MN＝AD＝6，AM＝DN设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2解得：x＝，∴EN＝＝＝，AM＝DN＝，∴ME＝MN﹣EN＝6﹣＝，∴Rt△AME中，AE＝＝＝．ii）如图2，若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP＝DP＝AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°∴四边形CDPQ是矩形∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3∴Rt△CQE中，EQ＝＝＝4∴PE＝PQ﹣EQ＝1∴Rt△APE中，AE＝＝＝iii）如图3，若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2∴∠AEC＝90°取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠DAG＝∠DCE＝90°，∴∠DEC＝∠EDF，∵DE＝EF，∴∠EFD＝∠EDF，∴∠EFD＝∠DEC，∵DG⊥EF于H，∴∠GHF＝90°，∴∠AGH+∠AFH＝180°，∵∠AFH+∠EFD＝180°，∴∠DGA＝∠EFD＝∠DEC，在△DAG和△DCE中：∴△DAG≌△DCE（AAS），∴DG＝DE．（2）∵KE⊥EF，DG⊥EF，∴KE∥DG，且DG＝EF＝KE＝DE，∴四边形KEDG是平行四边形，且DG＝DE，∴四边形KEDG是菱形，∴GK＝DG＝KE＝DE，∵DG⊥EF，H是DG的中点，∴EG＝DE，∴EG＝DE＝DG＝GK＝KE＝EF．11．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5，由题意BP＝t，DQ＝t，∵PQ∥AD，∴＝，∴＝，∴t＝，∴满足条件的t的值为．（2）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．∵QE∥AD，∴＝，∴＝，∴QE＝（5﹣t），∵QF∥CD，∴＝，∴＝，∴QF＝（5﹣t），∴S＝S△PBQ +S△BCQ＝•PB•QE+•BC•QF＝•t•（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6．（3）由题意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，解得t＝2或﹣1（舍弃），∴满足条件的t的值为2．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，∴＝，解得t＝，∴满足条件的t的值为．12．解：（1）如图1，连接AC交BD于O，连接B′C．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝BD＝2OA，∠CAB＝ADB＝45°，∵AE＝BD，∴AC＝AE＝2OA，在Rt△AOE中，∠AOE＝90°，AE＝2OA，∴∠E＝30°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°﹣30°＝15°，由旋转有，AD＝AB＝AB′∠BAB′＝30°，∴∠DAE＝15°，在△ADE和△AB′C中，，∴△ADE≌△AB′C（SAS），∴DE＝B′C．（2）补充图形如图2所示：由旋转得，AB′＝AB＝AD，AE′＝AE，在△AEB′和△AE′D中，，∴△AEB′≌△AE′D（SSS），∴∠DAE′＝∠EAB′，∴∠EAE′＝∠DAB′，由旋转得，∠EAE′＝∠BAB′，∴∠BAB′＝∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′＝90°，∴α＝∠BAB′＝45°，或α＝360°﹣90°﹣45°＝225°．（3）如图3，连接AC交BD于O，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝4，OA＝OD＝OC＝OB＝2在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ＝OA＝2（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ＝AQ﹣AP＝2﹣2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合时，PQ的值最大，∴AE'＝AE＝4，∴PE'＝AE'+AP＝4+2，∴2﹣2≤PQ≤4+2故答案为2﹣2≤PQ≤4+2．13．解：（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．理由：延长FC交AE于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∠DEF＝90°，∵AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠HCE＝∠DCF，∴∠HCE+∠AED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴AE⊥CF，∵AM＝EM，CN＝NF，∴DM＝AE＝AM＝ME，DN＝CF＝CN＝NF，∴DM＝DN，∠ADM＝∠MAD，∠DCN＝∠NDC，∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（2）如图2中，结论成立．理由：延长FC交AE于H．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵AD＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠DCF+∠DCH＝180°，∴∠DAH+∠DCH＝180°，∴∠ADC+∠AHC＝180°，∵∠ADC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AE⊥CF，∵△ADE≌△CDF，DM，DN是三角形的中线，∴DM＝DN，AM＝CN，∵AD＝DC，∴△ADM≌△CDN（SSS），∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（3）如图3中，△ECF的面积在旋转过程中有变化．①当DE与DC重合时，DM的长最小，此时△DMN的值最小，DM最小值＝•＝•＝，此时△DMN的面积＝××＝．②当旋转角为45°时，DM的值最大，此时△DMN的面积最大．如图3中，DA＝3，DE＝5，∠ADM＝45°，作EH⊥DA交DA的延长线于H，MK⊥AH于K．则HE＝DH＝，∵MK∥EH，AM＝ME，∴AK＝KH＝（DH﹣AD）＝（﹣3），MK＝EH＝，∴DM2＝MK2+DK2＝（）2+[3+（﹣3）]2＝+，∴△DMN的面积的最大值＝DM2＝+．14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝8cm，OD＝OB＝6cm，∴AD＝＝＝10cm，∵0＜t＜5，∴点Q在线段DC数运动，点P在线段AD上运动，∵AP∥EC，∴∠APO＝∠CEO，∵∠AOP＝∠EOC，OA＝OC，∴△AOP≌△COE（AAS），∴PA＝EC＝t，∵QE⊥AC，BD⊥AC，∴QE∥BD，∴＝，∴CD＝CB，∴CQ＝EC，∴10﹣2t＝t，∴t＝，∴t＝时，QE⊥AC．（2）作OH⊥BC于H．∵•OB•OC＝•BC•OH，∴OH＝，∵FQ∥OC，∴＝＝，∴DF ＝t ，FQ ＝t ，∴S ＝S △ECO +S 梯形CQFO ＝×t ×+（t +8）•（6﹣t ）＝﹣t 2+t +24（0＜t ＜5）．（3）由题意：（﹣t 2+t +24）：96＝1：5， 整理得：2t 2﹣5t ﹣10＝0，解得t ＝或（舍弃），∴满足条件的t 的值为．15．解：（1）证明：∵四边形OABC 为矩形， ∴AB ＝OC ，∠B ＝∠AOC ＝90°，∴CD ＝OC ＝AB ，∠D ＝∠AOC ＝∠B ，又∠CED ＝∠ABE ，∴△CDE ≌△ABE （AAS ），∴CE ＝AE ；（2）∵B （8，4），即AB ＝4，BC ＝8．∴设CE ＝AE ＝n ，则BE ＝8﹣n ，可得（8﹣n ）2+42＝n 2，解得：n ＝5，∴E （5，4）；（3）∵S △ACE ＝•CE •AB ＝×5×4＝10， ∴S △POA ＝•OA •y P ＝10，P∴y P＝，∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．。
四边形培优提高训练复习
四边形培优提高训练复习1．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
（1）求证：△PQS 是等边三角形；（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。
（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。
2 <1> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF 。
2 <2> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF 。
2 <3> 过正方形ABCD 的顶点B 引对角线AC 的平行线BE ，在BE 上取一点F ，使AF=AC ，若作菱形CAFÉ，求证：AE 及AF 三等分∠BAC 。
3.如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说理；（3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =，并说理。
4.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF 。
（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形；②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在．5．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。
初中数学四边形提高练习(辅助线)
四边形 常见辅助线 提高【题型一】若一个四边形的一组对角为直角,且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形其实，这个图也可以看做是把AND 旋转以后得到的正方形,应用举例1．如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C ．D ．发散思维：也可以连接BD ，旋转BDC 会得到一个什么形？2。
如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，∠ ABC 与∠ADC 互补。
(1）求∠C 的度数;(2）若BC ＞CD 且AB =AD ，请在图5上画出一条线段，把四边形ABCD 分成两部分,使得这两部分能够重新拼成一个正方形,并说明理由；(3）若CD =6，BC =8，S 四边形ABCD =49，求AB 的值。
3．在△ABC 中，∠ACB 为锐角,动点D （异于点B ）在射线BC 上,连接AD ，以AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ，连接CF 。
DCB A（1)若AB=AC,∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是 (直接写结论）②如图二，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由。
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°。
点D在线段BC上,那么当∠ACB等于多少度时，线段CF与BD之间的位置关系仍然成立。
请画出相应图形，并说明理由。
图（一) 图（二）【题型二】四边形一边上的动点到两对角线距离之和1．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F．(1）如图1，当P点在线段AB上时,求PE+PF的值．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．2．如图，矩形ABCD的两边AB=3，BC=4,P是AD上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.求PE+PF的值。
培优专题02 四边形压轴题综合(解析版)
培优专题02 四边形压轴题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。
（2022年攀枝花中考试卷第16题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形ADFE 是矩形，故结论②正确；③由①知AB ＝AE ，AC ＝AD ，四边形AEFD 是平行四边形，∴当AB ＝AC 时，AE ＝AD ，∴平行四边形AEFD 是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB ＝AC ，且∠BAC ＝150°时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD 是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．特殊四边形综合题是中考数学中的一大重点，也是一大难点。
八年级数学下《四边形》培优练习卷
八年级数学下《四边形》培优练习卷一、选择题1．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形2．如图，在△ABC，∠ACB=90°中，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形A CEB的周长。
A．4 B.10+ 4 C. 10+2 D. 23．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE＝ ( )A．30° B．22．5° C．15° D．以上都不对4．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD'＝30°，则∠AED' 等于 ( )A．30° B．45° C．60° D．75°第6题5．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 ( ) A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.46．平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA三等分点，若四边形A4B2C4D2面积为1．则平行四边形ABCD面积为 ( )A．2 B．35C．53D．157.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EB的长为（）A．1 B．4C．4﹣2D．4﹣4第7题二、填空题8．在□ABCD中，一角的平分线把一条边分成3 cm和4 cm两部分，则□ABCD的周长为______．9．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与较短边的和为15，则较长边的长为_______．10．已经△ABC中，∠C=90°，C=10，a:b=3:4 ,则a= b=11．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE为矩形．第11题第12题第13题第14题12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F．连接CE，则CE的长是_______．13．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是_______厘米．14．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③CEBFSSCEDBFD=∆∆；④EF∥BC．其中正确的是_______．15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，7=∆ABCS，DE=2，AB=4，则AC长为．三、解答题16．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．17.已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若AC=8,CD=1，求ED的长．18.如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F.求证：∠BEN=∠NFC. (提示：连结AC并取中点)19.如图，在Rt⊿ABC中，∠B=90°，AC=100cm,BC=80cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿边BC向点C以1.5cm/s的速度运动.(1)20s后，点P与点Q相距 cm.(2)在（1）的条件下，若P、Q两点同时在直线PQ上相向而行，多少秒后，两点相遇？(3)多少秒后，AP=CQ?20.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线．．AC、直线．．BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置(如图1)，将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α (0°＜α＜90°)．(1)在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时(如图2)，①试判别△DEF的形状，并说明理由；②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．(2)设直线．．ED交直线．．BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；D DEADEDA。
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四边形培优提高训练复习
1．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
（1）求证：△PQS 是等边三角形；
（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。
（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。
2 <1> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF 。
2 <2> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF 。
2 <3> 过正方形ABCD 的顶点B 引对角线AC 的平行线BE ，在BE 上取一点F ，使AF=AC ，若作菱形CAFÉ，求证：AE 及AF 三等分∠BAC 。
3.如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．
（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说理；
（3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件
14DG DA =，并说理。
4.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF 。
（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；
(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)
①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形；
②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在．
5．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。
求证：AH ＝AD 。
1图
H G F E
D
C B A
6．若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
7.在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q 分别是AD、BC中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：PQ⊥MN。
∆
8.平行四边形ABCD中，EF平行于对角线AC，且与AB、BC分别交于E、F，求证：S ADE
∆=S CDF
9.在梯形ABCD中，AB∥CD，M是BC边的中点，且MN⊥AD于N，求证：S ABCD=MN·AD。
10、如图，在直角ABC中，B=90，BC=，C=30。
点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发油田AB方向以每秒1 个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。
设点D、E运动的时间是T秒（T>0）。
过点D作DFBC于点F，连接DE、EF。
（1）求证：AE=DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的T值；如果不能，说明理由。
（3）当T为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由。
11．过正方形ABCD的顶点A作线段AE使DC=DE，交DC于G，作DF⊥AE，连接CE。
（1）若∠CDE=60°，AB=1，求DF的长；
（2）作∠CDE平分线，交AE于P，交CE与Q，连接BP，求证：DP+BP=AP；
（3）若AD=2，DF=1，求PQ的长。