第6章 西姆松定理及应用(含答案)

第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）．证明如图6-1，设P 为ABC △的外接圆上任一点，从P 向三边BC ，CA ，AB 所在直线作垂线，垂足分别为L ，M ，N ．连PA ，PC ，由P ，N ，A ，M 四点共圆，有βαγβLMAPBNC图6-1PMN PAN PAB PCB PCL ∠=∠=∠=∠=∠．又P ，M ，C ，L 四点共圆，有PML PCL ∠=∠． 故PMN PML ∠=∠，即L ，N ，M 三点共线． 注 此定理有许多证法．例如，如下证法：如图6-1，连PB ，令PBC α∠=，PCB β∠=， PCM γ∠=，则PAM α∠=，PAN β∠=，PBN γ∠=，且cos BL PB α=⋅，cos LC PC β=⋅，cos CM PC γ=⋅， cos MA PA α=⋅，cos AN PA β=⋅，cos NB PB γ=⋅．对ABC △，有cos cos cos 1cos cos cos BL CM AN PB PC PA LC MA NB PC PA PB αγββαγ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知L ，N ，M 三点共线．西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）．西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上． 证明如图6-1，设点P 在ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的射影分别为L ，M ，N ，且此三点共线．由PN AB ⊥于N ，PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，知P ，B ，L ，N 及P ，N ，A ，M 分别四点共圆，而AB 与LM 相交于N ，则PBC PBL PNM PAM ∠=∠=∠=∠，从而P ，B ，C ，A 四点共圆，即点P 在ABC △的外接圆上． 【典型例题与基本方法】1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例1如图6-2，过正ABC △外接圆的AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D ，作PE AC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ．求证：111PF PD PE+=．PEFABCD图6-2证明由PD ⊥直线AB 于D ，PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于F ，知A ，E ，P ，D 及E ，F ，C ，P 分别四点共圆，则60DPE BAE ∠=∠=︒，60EPF ECF ∠=∠=︒． 由西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线，从而以P 为视点，对PDF △应用张角定理，有sin sin sin DPF DPE EPF PE PF PD ∠∠∠=+，即sin120sin60sin60PE PF PD ︒︒︒=+，故111PF PD PE+=． 例2如图6-3，设AD ，BE ，CF 为ABC △的三条高线，自D 点作DP AB ⊥于P ，DQ BE ⊥于Q ，DR CF ⊥于R ，DS AC ⊥于S ，连PS ．求证：Q ，R 在直线PS 上． QHES R ABDCPF 图6-3证明由于BFH △的外接圆为BDHF ，而D 为该圆上一点，且D 在BFH △三边所在直线上的射影分别为P ，Q ，R ，于是，由西姆松定理知P ，Q ，R 三点共线． 同理，可证Q ，R ，S 是HEC △的西姆线上三点．由于直线PQR 与直线QRS 有两个公共点Q ，R ，所以这两直线重合，故Q ，R 在直线PS 上． 例3如图64-，设P 为ABC △外接圆上一点，作PA BC '⊥交圆周于A '，作PB '⊥直线AC 交圆周于B '，作PC AB '⊥交圆周于C '．求证：AA BB CC '''∥∥．L MPNAB C C 'B'A'图6-4证明设PA BC '⊥于L ，PB '上直线AC 于N ，PC AB '⊥于M ，则由西姆松定理知L ，M ，N 三点共线．注意到L ，B ，P ，M 及A '，B ，P ，A 分别四点共圆，连BP ，则 AMN BML BPL BPA BAA ''∠=∠=∠=∠=∠，于是AA LN '∥．同样，注意到A ，B ，P ，B '及A ，M ，P ，N 分别四点共圆，连PA ，则ABB APB APN AMN ''∠=∠=∠=∠，于是BB LN '∥．由A ，P ，C '，C 四点共圆，知180ACC APC ''∠+∠=︒．注意到APC APM ANM CNM '∠=∠=∠=∠，则180ACC CNM '∠+∠=︒，于是CC LM '∥，故AA BB CC '''∥∥．例4如图6-5，设P 为ABC △外接圆上BC 内一点，过P 作PD ⊥BC 于D ，作PF ⊥直线AB 于F ，设H 为ABC △的垂心．延长PD 至P '，使PD P D '=．求证：HP DF '∥．（1979年山西省竞赛题改编） MA'H P'PABCD FE H '图6-5证明连AH 并延长交BC 于A '，交圆于H '，则由HCB BAH BCH ''∠=∠=∠，知HA A H '''=．又由已知PP BC '⊥，且P D DP '=，连PH '，则知PH '与P H '关于BC 对称，从而PH H P HH '''∠=∠． 由于从P 点已向ABC △的两边所在直线AB ，BC 引了垂线PF ，PD ，再过点P 向边AC 所在直线作垂线PE ，垂足为E ，则由西姆松定理，知F ，D ，E 三点共线，设西姆松线EF 与HA '交于M ．此时，又由P ，C ，E ，D 四点共圆，有CPE CDE ∠=∠．在Rt PCE △中，CPE ∠与PCE ∠互余；在Rt MDA '△中，A DM CDE '∠=∠与DMA '∠互余．故DMA PCE PCA PH H P HH ''''∠=∠=∠=∠=∠，由此即知HP EF '∥，故HP DF '∥．例5如图66-，设P 为ABC △外接圆上一点，过点P 分别作PL BC ⊥于L ，作PN ⊥直线AB 于N ，直线LN 交BC 边上的高线于K ，设H 为ABC △的垂心．求证：PK LH ∥．FPM HS Q BD G L CA K 图6-6N证明由于从P 点引了ABC △的边BC ，BA 所在直线的垂线，再过P 点作PM AC ⊥于M ，则由西姆松定理，知L ，M ，N 三点共直线，即L ，M ，N ，K 四点共线．设BC 边上的高线为AD ，延长AD 交圆于F ，连PF 交BC 于G ，交西姆松线NL 于Q ，连PH 交西姆松线NL 于S ．由P ，C ，L ，M 四点共圆及A ，F ，C ，P 共圆，连PC ，则MLP MCP AFP LPF ∠=∠=∠=∠，从而QP QL =，即Q 为Rt PLG △的斜边PG 的中点．连HG ，由DFC ABC DHC ∠=∠=∠，知HD DF =，有HGD DGF LGP QLG ∠=∠=∠=∠，从而HG ML ∥，即SQ 是PHG △的中位线，亦即HS SP =． 又PL KH ∥，有LPS KHS ∠=∠及PSL HSK ∠=∠，于是PSL HSK △△≌，即有PL KH ∥，亦即四边形PKHL 为平行四边形，故PK LH ∥．注由此例可得，三角形外接圆周上一点P 与垂心H 的连线段PH ，被关于P 点的西姆松线所平分，这是西姆松线的一条重要性质．2．注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理例6如图67-，延长凸四边形ABCD 的边AB ，DC 交于E ，延长AD ，BC 交于F ．试证：BCE △，CDF △，ADE △，ABF △的四个外接圆共点．EMPRSDB CA 图6-7FQ证明设BCE △与CDF △的两个外接圆除交于点C 外，另一交点为M ．设点M 在直线BE ，EC ，BC 上的射影分别为P ，Q ，R ，则由西姆松定理，知P ，Q ，R 三点共线．同样，M 点在直线DC ，CF ，DF 上的射影Q ，R ，S 也三点共线，故P ，Q ，R ，S 四点共线． 在ADE △中，P 在AE 上，Q 在DE 上，S 在边AD 所在直线上，且P ，Q ，S 三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知M 点在ADE △的外接圆上．在ABF △中，P 在直线AB 上，R 在BF 上，S 在AF 上，且P ，R ，S 三点共线，由西姆松定理的逆定理，知M 点在ABF △的外接圆上．故BCE △，CDF △，ADE △，ABF △的四个外接圆共点．注此例题的结论实际为宪全四边形ABECFD 的四个三角形AED △、BEC △、CFD △、ABF △的外接圆共点，此点称为密克尔(Miquel )点，直线PQRS 称为完全四边形的西姆松线． 【解题思维策略分析】 1．证明点共线的又一工具例7如图68-，设P 为四边形1234A A A A 外接圆上任一点，点P 在直线12A A ，23A A ，34A A ，41A A ，上的射影分别为1B ，2B ，3B ，4B ，又点P 在直线12B B ，23B B ，34B B ，41B B 上的射影分别为1C ，2C ，3C ，4C ．求证：1C ，2C ，3C ，4C 共线．Q PB 1B 4B 3B 2C 4C 3C 2C 1A 2A 3A 4A 1图6-8证明连13A A ，过P 作13A A 的垂线，垂足为Q ．从而，点P 关于123A A A △的西姆松线为12B B Q 同样，点P 关于134A A A △的西姆松线为34B QB ．由14111A B P AQP A B P ∠=∠=∠，知点P 在14QB B △的外接圆上，由西姆松定理，知点P 在14QB B △三边上的垂足1C ，3C ，4C 共线． 同理，1C ，2C ，4C 三点也共线．故1C ，2C ，3C ，4C 四点共线（此直线称为P 点圆内接四边形关于1234A A A A 的西姆松线）． 2．注意西姆松线在转化问题中的媒介作用例8如图69-，设P 为ABC △外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在直线的对称点分别为1P ，2P ．求证：直线12P P 经过ABC △的垂心H ．P 2P 1BHLC P图6-9N证明由于1P ，2P 分别为P 点关于直线BC ，AC 的对称点，设1PP 交直线BC 于L ，2PP 变直线AC 于N ，则L ，M 分别为P 点在ABC △的边BC ，CA 所在直线上的射影，且L ，N 分别为线段1PP ，2PP 的中点．由西姆松定理，知LN 为西姆松线，此时2LN PP ∥．又由前面例5知，当H 为ABC △的垂心时，直线LN 平分线段PH ．于是，可知H 点在直线12P P 上，即直线12P P 经过H 点．例9如图610-，一条直线L 与圆心为O 的圆不相交，E 是l 上一点，OE l ⊥，M 是l 上任意异于E 的点，从M 作O 的两条切线分别切圆于A 和B ，C 是MA 上的点，使得EC MA ⊥，D 是MB 上的点，使得ED MB ⊥，直线CD 交OE 于F ．求证：点F 的位置不依赖于M 的位置．（IMO 35-预选题）图6-10M l E证明令OE a =，O 的半径为R ，连结EA ，EB ，OA ，OB ，OM ，AB ，设AB 交OM 于G ，交OE 于Q ，则，OA MA ⊥，OB MB ⊥，OM ⊥AB ．由射影定理，得2OG OM OB ⋅=，又由M ，E ，Q ，G 四点共圆，有22OQ OE OG OM OB R ⋅=⋅==，从而知2R OQ a=，由2OB OQ OE =⋅，有OEB OBQ △∽△，既有BEO OBQ BAO ∠=∠=∠，即123∠=∠=∠．由此得(901)903180MEB MAB ∠+∠=︒+∠+︒-∠=︒（），故A ，B ，E ，M 四点共圆．作EN AB ⊥交AB 的延长线于N ，由西姆松定理，知C ，D ，F ，N 四点共线．注意到A ，N ，E ，C 与A ，O ，E ，M 均四点共圆，有ENF EAM EOM ∠=∠=∠又由EN OM ∥，有ENF NEF ∠=∠，故ENF NEF ∠=∠．在Rt NEQ △中，由上推知F 为EQ 的中点，因此，()2211===222a R EF EQ OE OQ a--．故F 的位置不依赖于M 的位置．例10已知锐角ABC △，CD 是过点C 的高线，M 是边AB 的中点，过M 的直线分别与CA 、CB 交于点K 、L ，且CK CL =．若CKL △的外心为S ，证明：SD SM =．(2003年波兰奥林匹克题)证明如图6-11，作ABC △的外接圆，延长CS 交ABC 于点T ，联结TM ，作TK AC '⊥于点K '，TL BC '⊥于点L '．图6-11L'LSDB MAK 'K C注意到S 为KLC △的外心，且KC LC =，所以CS 为KCL ∠的平分线．于是T 为弧AB 的中点． 又M 为AB 的中点，则TM AB ⊥．由西姆松定理，知K '、M 、L '三点共线．又CT 是K CL ''∠的角平分线，且K '、L '、M 三点共线，则CK CL ''=．即直线K ML ''是过M 与CT 垂直的直线，又直线KML 也是过M 与CS 垂直的直线，从而K '与K 重合，L '与L 重合．即90CKT CLT ∠=∠=︒，亦即知C 、K 、T 、L 四点共圆．故S 为四边形CKTL 的外接圆圆心，即有SC ST =，于是S 为TC 的中点．又CD AB ⊥，则CD MT ∥．故SM SD =． 3．注意西姆松线性质的应用三角形外接圆上一点的西姆松线平分该点与三角形垂心的连线． 此性质已在例5给出一种证法，现另证如下： 如图6-12，设H 为ABC △的垂心，P 为其外接圆上一点，作HBC △的外接圆HBC ，则该圆与ABC 关于BC 对称(参见垂心性质7)．P'LHQM PABCN图6-12设点P 的垂足线（即西姆松线）为LMN ，由P 、B 、L 、M 四点共圆，有PLM PBM ∠=∠ 设HBC 与直线PL 交于点P '、Q ，则L 为PP '的中点，连HP '，由LP H QH '∠=的度数PA =的度数PBA PBM PLM =∠=∠=∠，知P H LMN '∥．由此即知PH 被直线LMN 平分． 例11如图613-，由ABC △的顶点A 引另两顶点B 、C 的内、外角平分线的垂线，垂足分别为F 、G 、E 、D ，则F 、G 、E 、D 四点共线，且此线与ABC △的中位线重合．IFGE DBCKLA图6-13证明延长BE 、CD 相交于点K ，设CG 与BE 相交于点I ，则I 为ABC △的内心．由1=2CAI A ∠∠，1119090222CKI CIK B C A ⎛⎫∠=︒-∠=︒-∠+∠=∠ ⎪⎝⎭，知A 、I 、C 、K 四点共圆．对ICK △及点A 应用西姆松定理，知G 、E ．D 三点共线．图6-13同理，对BCL △及点A 应用西姆松定理，知F 、G 、E 三点共线． 故F 、G 、E 、D 四点共线．由于C 为ICK △的垂心，则由西姆松线的性质知直线GED 平分AC ．同理，直线FGE 平分AB ，故直线FD 与ABC △的中位线重合．注由例11再回过来看例2，在例2中，是由点D 引DEF △另两个顶点E ．F 的内、外角平分线的垂线，垂足分别为P 、Q 、R 、S ．4．注意西姆松定理与托勒密定理的等价性 可用西姆松定理证明托勒密定理：如图614-，ABCD 为任意圆O 内接凸四边形，连AC ，过D 向ABC △各边作垂线，AB ，AC ，BC 所在直线上的垂足分别为1C ，1B ，1A ，连11C B ，11B A ，由西姆松定理，知111111C B B A C A +=．①图6-14由A ，1C ，1B ，D 四点共圆，且AD 为该圆直径及正弦定理，有111111sin sin C B AD C DB AD C AB =⋅∠=⋅∠，设R 为O 半径，则11sin sin 2BC C AB BAC R ∠=∠=,故 112AD BCC B R⋅=． 同理，112CD AB B A R ⋅=，112AC BDC A R⋅= 于是，由①式有AD BC CD AB AC BD ⋅+⋅=⋅．此即为托勒密定理． 也可用托勒密定理证明西姆松定理：设ABCD 是O 的内接四边形，则由托勒密定理，有 AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅=⋅．②作1DC ⊥直线AB 于1C ，作1DB ⊥直线AC 于1B ，则由1A ，1C ，1B ，D 四点共圆，且AD 为该圆直径及正弦定理，有11111111sin sin C B C B AD C DB C AB ==∠∠，即1111sin 2BCC B AD C AB AD R=⋅∠=⋅．（R 为O 半径），亦即112AD BC R C B ⋅=⋅．同理，112AB CD R A B ⋅=⋅，112AC BD R AC ⋅=⋅． 把上述三式代入②式，有111111C B A B AC +=，故1A ，1B ，1C 三点在一条直线上，此即为西姆松定理，因此，在应用中，我们应当注意灵活处置，若应用哪个定理方便，就应用哪个定理．【模拟实战】习题A1．设P 为ABC △外接圆周劣孤BC 上一点，P 在边BC ，CA ，AB 上的射影分别为L ，M ，N ， 令PL l =，PM m =，PN n =，BC a =，CA b =，AB c =．求证：mna lnb lmc =+．2．设PA ，PB ，PC 为O 的三条弦，分别以它们为直径作圆两两相交于D ，E ．F ．求证：D ， E ，F 三点共线．3．自ABC △的顶点A 作B ∠的内、外角平分线BE ，BF 的垂线，垂足为E ，F ，再作C ∠的内、外角平分线CG ，CD 的垂线，垂足为G ，D ．求证：F ，G ，E ，D 四点共线． 4．求证：正三角形外接圆周上任一点到三边距离的平方和为定值．5．若三圆均经过其三圆心所成的外接圆上任何一点，则此三圆两两相交于三个共线点．习题B1．点P ，Q 是ABC △的外接圆上的两点(异于A ，B ，C )，点P 关于直线BC ，CA ，AB 的对称 点分别是U ，V ，W ，连线QU ，QV ，QW 分别与直线BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ．求证： (Ⅰ)U ，V ，W 三点共线；(Ⅱ)D ，E ，F 三点共线．2．设ABCD 是一个圆内接四边形，点P ，Q 和R 分别是D 到直线BC ，CA 和AB 的射影． 证明：PQ QR =的充要条件是ABC ADC ∠=∠的角平分线的交点在AC 上．（IMO -44试题）3．（卡诺定理）过ABC △外接圆上一点P ，向三边所在直线引斜线分别交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且PDB PEC PFB ∠=∠=∠．求证：D ，E ，F 共线．4．过ABC △的三顶点引互相平行的三直线，它们和ABC △的外接圆的交点分别为A '，B '，C '．在ABC △的外接圆上任取一点P ，设PA '，PB '，PC '与BC ，CA ，AB 或其延长线分别交于D ，E ，F ．求证：D ，E ，F 共线． 5．（清宫定理）设P ，Q 为ABC △外接圆上异于A ，B ，C 的任意两点，P 点关于BC ，CA ，AB 的对称点分别为U ，V ，W ，而QU ，QV ，QW 和BC ，CA ，AB 分别交于D ，E ，F ．求证：D ，E ，F 共线．6．设P ，Q ，为ABC △外接圆半径OK 或延长线上两点，2OP OQ R ⋅=，其中R 为外接圆半径，P 点关于BC 、CA 、AB 的对称点分别为U ，V ，W ，而QU ，QV ，QW 分别交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ．求证：D ，E ，F 共线．第六章西姆松定理及应用答案习题A1．由西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线，注意到P ，L ，N ，B 及P ，M ，C ，L 分别四点共圆，知LPN B ∠=∠，LPM C ∠=∠．又由张角定理，有()sin sin sin B C B CPL PM PN∠+∠∠∠=+，即 sin sin sin mn A ln B lm C ⋅∠=⋅∠+⋅∠再应用正弦定理，得mn a ln b lm c ⋅=⋅+⋅． 2．根据直径所对的圆周角是直角，知90BDP ADP ∠=∠=︒，90BFP CFP ∠=∠=︒，90CEP AEP ∠=∠=︒，即知D ，A ，B ；B ，F ，C ；C ，E ，A 分别三点共线．又PD AB ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于F ，P 是ABC △外接圆周上一点，由西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线．3．延长BE ，CD 相交于点K ，延长CG ，BF 相交于点L ．设CG 与BE 相交于点I ，则I 为ABC △的内心．由12CAI BAC ∠=∠，而()11909022CKI CIK B C BAC ∠=︒-∠=︒-∠+∠=∠，从而A ，I ，C ，K四点共圆．又AD CK ⊥于D ，AE KB ⊥于E ，AG CI ⊥于G ，A 是ICK △外接圆上任一点，由西姆松定理，知D ，E ，G 三点共线．同理，B ，I ，A ，L 四点共圆，AE BI ⊥于E ，AG IL ⊥于G ，AF BL ⊥于F ，由西姆松定理，知E ，G ，F 三点共线．故F ，G ，E ，D 四点共线．4．设正ABC △外接圆弧AB 上任一点P 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为a h ，b h ，c h ，其垂足分别为D ，E ，F ，正三角形边长为a ．由面积等式可得a b c h h h +-=．此式两边平方，得()2222324a b c a b b c a c h h h h h h h h h a +++--=．由sin sin b a h hPAC PBD PA PB =∠=∠=，有a b h PA h PB ⋅=⋅． 同理，a c h PA h PC ⋅=⋅，故a b h PA h PB k PC ⋅=⋅=⋅．又P ，F ，E ，A 及P ，D ，B ，F 分别四点共圆，有PFD PBD PAC ∠=∠=∠，PDF PBF PCA ∠=∠=∠， 得PFD PAC △△≌，故c h PA a DF =⋅，同理，a h PB a DE =⋅,b hPC a EF=⋅，即 a c b a c bh h h h h h k EF DE EF⋅⋅⋅===由西姆松定理，知D ，E ，F 共线，即DF FE DE +=．于是 £()0a b a c b c hb h h h h h h DE DF EF k ®---=--=⋅，故222234a b c h h h a ++=．5．设以ABC △的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M ，而M 在ABC △的外接圆上，A 与B 另交于D ，A 与C 另交于E ，B 与C 另交于F ． 注意到A 与B 中，公共弦MD ⊥连心线AB ；A 与C 中，公共弦ME ⊥连心线AC ；B 与C 中，公共弦MF ⊥连心线BC ．对ABC △及其外接圆周上一点M ，应用西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线．习题B1．(Ⅰ)设从点P 向BC ，CA ，AB 作垂线，垂足分别为X ，Y ，Z ．由对称性，知XY 为PUV △的中位线，故UV XY ∥同理，VW YZ ∥，WU XZ ∥．由西姆松定理，知X ，Y ，Z 三点共线，故U ，V ，W 三点共线．(Ⅱ)由P ，C ，A ，B 四点共圆，有PCE ABP ∠=∠．亦有22PCV PCE ABP PBW ∠=∠=∠=∠． 又PCQ PBQ ∠=∠，则PCV PCQ PBW PBQ ∠+∠=∠+∠． 即QCV QBW ∠=∠，从而QCV QBWS CV CQS BQ BW⋅=⋅△△．同理，QAW QCUS AW AQS CQ CU ⋅=⋅△△，1QBU QCV QAW QBU QAV QBW QCU QAVS S S S BQ BU S AQ AV S S S ⋅=∴⋅⋅=⋅△△△△△△△△． 于是，1QBU QCV QAWQCV QAV QBWS S S BD CE AF DC EA FB S S S ⋅⋅=⋅⋅=△△△△△△ 由梅勒劳斯定理的逆定理，知D ，E ，F 三点共线．2．由西姆松定理知P ，Q ，R 三点共线．而90DPC DQC ∠=∠=︒，则D ，P ，C ，Q 四点共圆．于是，DCA DPQ DPR ∠=∠=∠．同理，由D ，Q ，R ，A 共圆，有DAC DRP ∠=∠．故DCA DPR △∽△． 类似地，DAB DQP △∽△，DBC DRQ △∽△，从而//DA DR DB QR BC QP BA DC DP DB PQ BA PQ BC ⋅⋅===⋅⋅,故DA BAPQ QR DC BC=⇔=,而ABC ∠和ADC ∠的角平分线分AC 的比分别为BA BC 和DADC．即可证． 3．设P 在BC ，由PDB PFB PEC PEA ∠=∠=∠=∠，知B ，P ，D ，F 四点共圆，P ，F ，A ，E 四点共圆，从而PFD PBD PBC PAE PFE ∠=∠=∠=∠=∠，故F ，D ，E 共线（当90PBD PEC PFB ∠=∠=∠=︒时，即为西姆松定理）． 4．由PCE A '∠=∠及AA BB ''∥，有A BGD '=∠ (G 为PA '与BB '的交点)，即PCE BGD ∠=∠．又 CBB CPB ''∠=∠，从而在BGD △和PCE △中，有BDP CEP ∠=∠，即知D ，P ，E ，C 四点共圆，有PDE PCE A '∠=∠=∠，故AA DE '∥．同理，AA DF '∥，所以D ，E ，F 共线（当PA BC '⊥时，即为西姆松定理）． 另证设P B '与AB 交于点X ．注意到BB CC ''∥，则知B BC C ''为等腰梯形，有B C BC ''=，即有B PC BAC ''∠=∠．从而AXP XAC AXP XPC ∠+∠=∠+∠．于是E F ∠=∠．同理E D ∠=∠，F D ∠=∠．故E D F ∠=∠=∠．由卡诺定理（即上一题）知D 、E 、F 三点共线．5．设Q ，P 顺次在BC 上，由PCE PBA ∠=∠．有PCV PBW ∠=∠．又PCQ PBQ ∠=∠，有 QCV QBW ∠=∠．故QCNQBW S VC QC PC QC S WB QB PB QB⋅⋅==⋅⋅△△． 同理，QAWQCU S PA QA S PC QC ⋅=⋅△△,QBV QAV S PB QB S PA QA⋅=⋅△△． 于是，1QBU QCU QAW QCU QAV QBW S S S BD CE AF PB QB PC QC PA QA DC EA FB S S S PC QC PA QA PB QB⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅△△△△△△ 由梅勒劳斯定理的逆定理，知D ，E ，F 共线（当P ，Q 重合时，即为西姆松定理）．6．设K 点在BC 上，连OC ，则2OP OQ OC ⋅=，又POC COQ ∠=∠，则OPC COQ △∽△，有 OCP OQC ∠=∠．又OKC OQC KCQ ∠=∠+∠，OCK OCP KCP ∠=∠+∠，而OKC OCK ∠=∠，O CP OQC ∠=∠，知PCK KCQ ∠=∠，即2QCV KCE ∠=∠． 同理，2QBW KBA ∠=∠．又KCE KBA ∠=∠，则QCV QBW ∠=∠，有 QCVQBW S CV CQ PC QC S QB WB PB QB ⋅⋅==⋅⋅△△．同理QAW QCU S PA QA S PC QC ⋅=⋅△△,QBU QAV S PB QB S PA QA ⋅=⋅△△．故1QBU QCV QAW QCU QAV QBWS S S BD DE AF DZ EA FB S S S ⋅⋅=⋅⋅=△△△△△△，故D ，E ，F 共线[当P （或Q ）在圆周上时，即为西姆松定理]。