自由电荷、束缚电荷
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
第2章习题答案
第2章2-1 半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρ=r2，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。
解：Q=∬ρ∙rdφdrS =∫r3∙dra∙∫dφ2π=πr42。
2-2 半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度ω绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。
解：J V⃗⃗⃗ =3qωrsinθ4πa3φ⃗⃗ 。
2-3 无限薄的导电面放置于z=0平面内的0<x<0.05m的区域中，流向y⃗方向的5A电流按正弦规律分布于该面内，在x=0和x=0.05m处线电流密度为0，在x=0.025m处线电流密度为最大，求J S⃗⃗ 的表达式。
解：电流分布如下图所示：x0.025 0.05J S⃗⃗ =5sin(πx0.05)a y⃗⃗⃗⃗ 。
2-4 三根长度为l、电荷均匀分布、线密度分别为ρl1，ρl2和ρl3的线电荷构成的等边三角形，设ρl1=2ρl2=2ρl3，计算三角形中心处的电场。
解：E y⃗⃗⃗⃗ =ρh4πε0∫√(h2+x2)3l2−l2=4πεh√4h2+l2，由电荷密度关系可知：2|E1|=|E2|=|E3|，|E2|=2E，|E1|=E，|E3|=2E，因此，E1⃗⃗⃗⃗ +E2⃗⃗⃗⃗ +E3⃗⃗⃗⃗ =0。
2-5 两无限长的同轴圆柱壳面，半径为a 和b ，内外导体上均匀分布电荷，密度分别为ρS1，ρS2，求r <a ，a <r <b ，r >b 时各点的电场及两导体间的电压。
解：用高斯定理求E 。
做高斯面（闭合面）， ∵轴对称∴高斯面为圆柱闭合面，为左图所示 ①E1（r ＜a ,内导体内） 设导体为理想导体，则E 1=0；②E2（a ＜r ＜b ，内导体与外导体之间圆柱空间）∵同轴无限长,∴圆柱侧面（高斯面）上E 2处处相等，且E只有ρ方向分量d 矢量为高斯封闭面的外法线n ds n s,=E 2·d s : 上下底面：E 2·d s =0（∵E 2⊥d s，cos90°=0） 侧面：E 2·d s =E 2·ds （∵E 2∥d s，cos 0°=1）10222222επρεπρalQlE dS E dS E S d E s S=====⋅∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰侧侧∴ρρερˆ012aE s = ③3E( r ＞b ，外导体壳外)E 32πl ρ=212επρπρblal s s +∴3E =ρρερρˆ021ba s s + （2）两导体内电压ab Va ba d a d E d E l d E V sb a s b aba b a ab ln 10101ερρρερρρρρ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰ 当r <a 时，E⃗ =0；当a <r <b 时，E ⃗ =ρS1a+ρS2brε0r ，U =∫E ⃗ ∙dr b a =(ρS1a +ρS2b )ε0ln ab 。
关于极化电荷
关于极化电荷
1、说说极化电荷与自由电荷的区别。
约束在电介质的分子、原子范围内的电荷因受到外电场作用而发生集体微观位移，结果在电介质表面出现净余的面电荷层，甚至在电介质内部出现净余的体电荷分布，这种电荷加做束缚电荷，也叫做极化电荷。
叫做束缚电荷，是因为这种电荷被捆绑在电介质表面或者内部，不能用与导体接触的方式取出来，也不能用与导体接触的方式加进去。
叫做极化电荷，是因为这种电荷是电介质在电场中发生极化而出现的。
自由电荷是导体内受到的约束微弱的电荷，在电场的作用下，它们能够在整块导体中移动。
自由电荷能够用与导体接触的方式取得出来，也能够用与导体接触的方式加得进去。
2、极化电荷能影响电位移的分布吗？
能。
比如在带电导体的周围放入一块电介质，那么电介质就发生极化，并且导体周围的电场分布将发生改变，电位移的分布也将发生改变，这就说明电介质上的极化电荷能影响电位移的分布。
1、电介质内部能出现体分布的极化电荷吗？
能。
体极化电荷密度与极化强度的关系是
P P
ρ=-∇⋅ 。
2、从激发电场的角度来说，极化电荷与自由电荷有区别吗？
没有区别。
大理大学工程学院教授罗凌霄
2020年3月18日
1。
大学物理第11章第二次课11(3-4)
→ε，
1 q0 U 4 r
[例] 点电荷在介质场中：
讨论: D 1、 无物理意义，只是为了简化公式而引入的辅助物理量。 D线从自由正电荷出发，终止于自由负电荷。
E线
D线
2、有介质的高斯定理与真空中的高斯定理都是普遍适用的。
3、闭合面上电位移矢量 D 的通量只与面内自由电荷q 0 有关。 但 D 并不是只由 q0 产生。因为 D的通量和 D是两个 不同的概念。
则此时： P2 n21 P2 n
（４）、极化强度与体电荷密度的关系：
在介质内如取一闭合曲面S，因极化而越过dS面向外移出 闭合面S的电荷为
d q出 P d S
S
于是，通过整个闭合曲面S向外移动的极化电荷总量为：
由电荷守恒定律 ：
q出＝ P d s
三、 电介质的极化规律
1、电介质中的场强: ( E —总场； E0 —外场； E — 极化场）
E E0 E
2、P、 关系： E
实验证明： （
P 0 e E
e — 电介质的极化率）
e r 1
若介质中各点 e 相等，则称为均匀介质 。
P = 常矢，则称为均匀极化 。
导体： 0 P
2) 真空：P 0
2、极化强度与极化电荷的关系： 在外电场作用下，电介质被极化．产生束缚电荷， , ．
描述电介质极化程度的物理量是极化强度 P ． 所以，束缚电荷 , 与极化强度 P 之间必有一定关系．
pe 0
ⅱ] 在外电场中，分子中的正、负电荷受到 相反方向的电场力，因正、负电荷中心 发生微小相对位移，形成电偶极矩沿外 场方向排列起来。 ⅲ] 沿电场方向的两侧面也将分别呈正、 负束缚电荷，介 质的这种极化称为 位移极化 。 注意
导体静电场
电解电容器
3.1 孤立导体的电容
对于孤立带电小球
V
q 4 0 R
R
q
可以证明，电势与电荷的正比关系对任意形状的导体都成立。 因此有：
q CV
比例常数C叫孤立导体的电容
q C V
3.2电容器及其电容
q q ---- 一极板带电量（电容器的电量） c uA uB uAB ---- 两极板电势差（电容器的电压）
q
+
q
+
+
q
+
结论
1.不接地空腔导体，腔外电场对腔内无影响，
腔内电场对腔外有影响。
+q
-q
+q
2.接地空腔导体，则内外电场都无影响.
+q
-q
静电屏蔽的应用
例 1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 8 属球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
导体静电场
§2-1 静电场中的导体
一.导体的电结构 ： 导体中有大量自由电荷（自由电子）
和带正电晶体点阵。 . 通常情况下，正负电荷总量相等，导 体呈电中性。
,
放入电场中后,自由电荷发生移动，产
生静电感应现象。
导体与电介质相比： 电结构不同:导体中有大量自由电荷， 介质中为束缚电荷。
电阻率不同:导体: 108 ~ 106 m
8 18 10 ~ 10 m 介质:
二.导体的静电感应 静电平衡
1. 静电感应现象 (electrostatic induction） a)现象:导体在电场中，其自由电荷受电场力
电磁学2章(3-9)new
二、 极化强度矢量：
1、定义：
P
pe
V
( 单位C / m2 )
ΔV: 宏观上足够小,使得其中所有分子的极化程度都相同。 微观上足够大，使得其中含有足够多的分子。
电介质中某点的极化强度矢量等于该点处单位体积内
分子电矩的矢量和.
说明： 1）若某区内各点 P = 常矢， 则称为均匀极化。 2) 真空：P 0 导体： P 0
取半径为 r的同心球面做高斯面
则： D d S D 4r2 S
由高斯定理 SD d S q0
所以
4r 2 D
电位移的分布为：
D
q0 1 4r
2
q0
由电介质的性质方程可知场强的分布为：
E
1
4 r 2
q0
由电介质的极化规律可知极化强度的分布为：
P
0eE
0 ( r
1)
1
4r 2
q0
a) r R1,
tg1
D1t D1n
tg2
D2t D2n
tg1 D1t 0 E r1 1t r1 tg2 D2t 0 r 2 E2t r 2
光学折射定律
tg1 r1 tg2 r2
称为电位移的折射定律
sin1 n2 sin2 n1
四、电介质的击穿
介电强度：使电介质击穿所需的最小电场强度。
§2.8 电容和电容器
q0 0 所以 D E P 0
b) 当 R1 r R 时 q0 Q 1 0 r1
Q
D 4r 2
D
Q
E 0 r1 4 0 r1r 2
r2 r1
P
0 ( r1
1)E
( r1 1)Q 4 r1r 2
电磁场试题含答案
ˆ V/m,则位移电流密度 14、 空气中的电场强度 E 10 sin( 2t z ) x J d = 20 0 cos (2t z ) x _A/m2。
15、在线形和各向同性的导电媒质中，电流密度 J 、电导率 和电场强度 E 之间的关系 为 J E ，此关系式称为欧姆定律的微分形式。 16、在两种媒质分界面的两侧，电场 E 的切向分量 E1t－E2t＝_0_；而磁场 B 的法向 分量 B1n－B2n＝_0_。 三、判断与选择（判断题正确时在括号内打√，错题打╳，选择题直接选） 1.电场强度相同的地方电位也一定相等。 （ × ） 2.电力线与磁力线在任何情况下都相互垂直。 （ × ） 3.电感的大小由流过导体的电流确定。 （ × ） 4.电场磁场在通过不同媒质界面会发生突变。 （ √ ） 5.任意时变电磁场在空间都形成电磁波。 （ × ） 6.电场强度相同的地方电位不一定相等。 （ √ ） 7.电容的大小由导体的电位确定。 （ × ） 8.在通电线圈旁放一铜块，对线圈的自感几乎无影响。 （ √ ） 9.静电场中放入导体将改变原电场分布。 （ √ ） 10.静电场中若放入介质，则原电场不会发生变化。 （ × ） 11.电位为零的导体都不带电。 （ × ） 12.静电场中电场强度与导体表面处处垂直。 （ √ ） 13.恒定电场导体内部没有电荷没有电场 （ × ） 14.电容的大小由导体的电位确定。 （ × ） 15.静态场中，如果边界条件确定，则空间各处的场就唯一确定。 （ √ ） 16.静电场中导体和介质都要受电场力的作用。 （ √ ） 17.当电位不变时，带电体受电场力作用发生位移时，电场能量会增加。（ × ） 18.当电荷不变时，带电体受电场力作用发生位移时，电场能量回减少。（ √ ） 19.当电流不变时，通电导体受磁场力作用发生位移时，磁场能量增加。（ × ） 20.当磁链不变时，通电导体受磁场力作用发生位移时，磁场能量减少。（ × ） 21.用镜像法分析稳态电磁场的依据是唯一性定理。 （ √ ） 22.场强大的地方电位一定高。 （ × ） 四选择题： 1、恒定电场中，已知在两种不同媒质的分界面上，E2 平行于分界面，那么这两种媒质
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自由电荷是一种等效概念，通常指存在于物质内部，在外电场作用下能作定向运动的电荷。
中文名
自由电荷
包括
自由阳离子
特点
物体内部对它们的束缚比较弱
通常指
存在于物质内部
电路中自由电荷的移动
包括自由阳离子（正电荷），自由阴离子（负电荷）和自由电子。
如金属中的自由电子，电解质溶液中的正、负离子，稀薄气体中的电子和离子等。
自由电荷的特点是物体内部对它们的束缚比较弱，可以在物体内部自由移动；同时，自由电荷并非真实存在，而只是用来描述自由电子移动的一种模型。
物体内部的自由电荷的多少决定了物体导电性能的强弱；
物体内部自由电荷的种类可以不同，既可以是负电荷（如电子、电解溶液中的氯离子等），也可以是正电荷（如溶液中的氢离子）。
在处理实际问题时，常常根据需要将不同的带电微粒等效为某种电荷，比如将导线中的自由电子等效为等量反向移动的自由正电荷。
电介质中的正负电荷，在电场力作用下只能在原子或分子范围内做微小位移，它们叫束缚电荷。
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。
称它为束缚电荷或极化电荷。
中文名
束缚电荷
导体
电介质极化
产生
附加电荷
介质
引入极化
电介质极化后可在电介质内部和表面上产生附加电荷，由于这种电荷不像导体中的自由电荷那样可用传导的方法引走，它在电场力作用下只能在原子或分子范围内做微小位移，故称作束缚电荷或极化电荷。
它不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走,在外电场中,出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化。
极化(束缚)电荷与极化强度的关系：
可证明对于均匀的电介质,极化电荷集中在它的表面。
电介质产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷来体现.下面导出束缚电荷分布与极化强度的关系。
在介质中引入极化强度线来描述它在外场中的极化。
沿着此曲线取一长度为dl在其内部极化可视为是均匀的。
垂直于此曲线的横截面dS组成一个小圆柱体，因而该体元具有电偶极矩
, 根据定义它可视为两端具有
电荷的偶极矩。