《二分法》

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解案例撰写：乔梁北京市第166中学【导语】求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程的解。

但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。

本课重点是学习一种思维。

【教学设计】1、教材分析本节课注重从学生已有的基础(基本初等函数图像、零值定理)出发，从具体到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系。

在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.2、目标分析学生已学习过的函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，同时已掌握了求函数零点准确值的一些方法，对函数与方程的关系有了一定的认识。

用二分法求函数零点的近似解是利用了函数图像的连续性，不断逼近函数零点从而求得对应方程近似解的一种计算方法，因此通过学习二分法可以进一步培养学生有意识地运用函数图像及其性质去分析并解决问题的能力。

在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生能熟练地运用计算器演算。

由此得出本节课的教学目标为：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

3、重难点分析重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．4、教法分析本节课突出方法的讲授与思维的训练，遵循“实例导入→揭示课题→实践探究→总结提炼→回归定义→视野拓展→学生感悟”的教学环节，由特殊到一般，由具体到抽象，循序渐进训练学生思维，给学生更多独立思考的空间。

采用教师启发引导与学生自主探究相结合的教学方法。

【教学实录】一、【实例导入】首先我们来进行一个猜数字游戏：我和A 同学一起背对着黑板，面对大家，请一名同学上黑板写下一个数，这个数是在1到100以内的自然数，写完以后马上擦掉，然后让A 同学先猜，我后猜，我一定内在7次以内（包括7次）猜中。

需要在座的同学们协助我完成以下项目：1、 每次得一个结果，大家给一次提示，提示语言是以下三种：对了、大了、小了。

2、 请一名同学上黑板出数、另一名同学在黑板上记录下猜的过程以及提示语言。

（板书内容：分两列呈现猜得的数字、学生提示语言）师生互动：为什么我的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依此类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中。

） 上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。

这种思想就体现了数学中的二分法思想。

（板书内容：一分为二、逼近）给出数字0x ，用二分法的思想完成猜数字游戏的步骤如下： 1、 给出初始区间（a ，b ） 2、 求区间（a ，b ）的中点2b ac +=（设计意图：引入中点值的公式）3、 比较c 与0x ：①若0x c <，那么∈0x （c ，b ），则令a c =②若0x c >，那么∈0x （a ，c ），则令b c =4、 直到0x c =，结束游戏，否则重复操作步骤2~3设计意图：通过游戏的形式，来提高学生的学习兴趣，让他们从中初步体会二分法的一分为二以及逼近的思想。

二、【揭示课题】那我们能否借用这种一分为二以及逼近的思想来解决一些数学问题呢？在中学数学中我们常常需要解方程，我们会求一元一次、一元二次的方程的解，可是更多的方程我们不知道如何求解，比如x x x x 26ln 313-=-=、等等。

今天我们类比猜数字游戏的这种思路来研究用二分法求方程的近似解.（板书内容：§3.1.2用二分法求方程的近似解）三、【实践探究】例、①判断方程x x 313-=在区间（0，1）内是否有解？若有，有几解？方法一: 方程x x 313-=的解⇔函数3x y =与x y 31-=图象交点的横坐标作出函数3x y =与x y 31-=图象，并由此知在区间（0，1）内有且只有一解。

方法二：方程x x 313-=的解⇔函数13)(3-+=x x x f 与x 轴交点的横坐标 ⇔函数13)(3-+=x x x f 的零点对于函数13)(3-+=x x x f ，首先，0)2()1(<⋅f f ，利用零值定理，函数13)(3-+=x x x f 在（0，1）内至少有一解。

然后，利用函数13)(3-+=x x x f 是定义域R 上的增函数知它在（0，1）内有唯一解。

②借助计算器或计算机，用二分法求出这个方程的近似解。

（指导学生进行前3次操作，然后请学生使用计算器进行后续操作，每2人一组互相配合，其中一人按计算器，一人记录数据，每一个结果与前一个结果都是环环相扣，因此一定小心谨慎，在确保准确无误的情况下再强调速度，先慢后快，何时停止操作听我的口令）解：记13)(3-+=x x x f ，设方程0133=-+x x 的实数解为0x ，0x ∈(0,1)用二分法操作如下：师生互动：同学们的操作速度有很大差别，最快的两人小组已经进行到第八次了，大家看看自己的操作记录单，可以发现：区间长度越来越短，从而使得方程的解所在范围越来越小。

如果操作到第四次的话，那么方程的近似解可以是0.3125，当然，[a，b]中任意一个数均可以作为近似解。

如果进行到第五次的话，那么方程的近似解可以是0.34375。

对操作次数的探讨：那么到底应该操作到第几次才可以停止？我们知道，在表示一个小数时，如果小数位数过多，我们一般都会在题目中用小括号给出条件，例如：（保留两位小数），（精确到0.01）等。

同样，在二分法的操作中，我们也有类似的作法，题目会给定精确度，这是一个全新的概念，简而言之，精确度指的是每一次操作的区间长度，即a=bε-根据精确度的定义，我们计算每一次操作的精确度分别得多少。

如下表（幻灯片演示）：大多数题目给出的精确度为0.1或0.01，若精确度为0.1，算到几次就可以了？若精确度为0.01呢？回答：若精确度为0.1，算到第五次；若精确度为0.01，算到第八次。

对精确度的再思考：我们还可以看出每一个精确度是上一次操作精确度的21倍，如果初始区间长度是1，那么进行到第五次才能符合题目精确度为0.1的要求； 如果初始区间长度是1，那么进行到第八次才能符合题目精确度为0.01的要求；思考1：如果初始区间长度是2，进行到第几次才能符合题目精确度为0.1的要求？ （答案：第六次）思考2：二分法的操作次数与什么有关？（答案:①初始区间的长度（越小，操作次数越少）；②所给精确度（越小，操作次数越多）电脑演示：借助几何画板用准确的函数图像演示这个实数解的精确过程（用鼠标拖动横轴的单位长度，使得单位长度不断变大）。

变题1：借助计算器或计算机，用二分法求方程x x 313-=的近似解（精确度为0.1）。

变题2：借助计算器或计算机，用二分法求函数13)(3-+=x x x f 的零点（精确度为0.1）。

思考: 若分别就初始区间为（0，2）和（0，3）进行求解，这两种情况会有什么不一样。

让学生感知初始区间的不同对结果无影响，只是操作次数的多少而已。

设计意图1、例1的①实际上是为了给②作铺垫，目的是为了给出初始区间；2、变题1需要学生自己确定初始区间；3、变题2体现方程)()(x g x f =的根与函数)()(x g x f y -=零点的等价关系。

4、在上述例题的基础上，引导学生归纳二分法求方程的近似解的基本步骤。

四、【回归定义】对于区间[ a , b ]上连续不断、且f (a ) f (b )<0的函数y = f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法揭示二分法的定义：（指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间） 五、【总结提炼】给定精确度ε，用二分法求方程的近似解，步骤如下： 1、 确定初始区间),(b a ； 2、 求区间),(b a 的中点)(2b ac c +=；3、 计算)(c f ，观察)()()(c f b f a f 、、的正负（1）若0)()(<⋅c f a f ，那么0x ∈),(c a ，则令b c =； （2）若0<⋅)()(c f b f ，那么0x ∈),(b c ，则令a c =；4、 直到ε<-a b ，停止操作，c x ≈0（或a 、b 皆可），否则重复操作步骤2~3。

六、【视野拓展】我们体会到了二分法在猜数字游戏中的应用，其实它在实际生活中也有很广泛的应用，请同学们为以下实际情况设计方案：应用1：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？ 应用2：一天，我们初中部校区与高中部校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？设计意图：通过列举实例，让学生进一步领悟二分法的思想，既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识，并感受到数学与生活的密切联系。

七、【自主练习】借助计算器或计算机，用二分法求方程ln x =6-2x 的近似解（精确度为0.1）分析：判断某根所在的初始区间，我们可以作y =ln x ，y=6-2x 的图象；从图象上可以发现，这个方程有惟一解，且在区间（2，3）内。

判断出了根所在区间后，利用函数f (x )= ln x +2x -6用二分法算出方程的近似解解: 记f (x )= ln x +2x -6，设方程ln x =6-2x 的实数解为x 0， f (2)=1.3069<0，f (3)=1.09806>0，f (2) f (3)<0，所以x 0∈ (2,3)， f (2.5)= - 0.084<0，f (3)=1.09806>0，f (2.5)f (3)<0，从而x 0∈ (2.5,3)，f (2.75)=0.512>0 ，f (2.5)= - 0.084<0，f (2.5)f (2.75)<0，从而x 0∈ (2.5,2.75)， f (2.625)=0.215>0 ，f (2.5)= - 0.084<0，f (2.5)f (2.625)<0，从而x 0∈ (2.5,2.625)， f (2.5625)=0.066>0 ，f (2.5)= - 0.084<0，f (2.5)f (2.5625)<0，从而x 0∈ (2.5,2.5625)。