北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案

高一数学（必修1）期中模拟卷
一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ）
A 、0{0}∈
B 、 0{0}=
C 、0{0}⊆
D 、{0}∅=
2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ）
a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。

b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。

c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。

d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。

3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）
A
、y B 、2
x y x
= C 、
log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11
{|,},{|,}2442
k k M x x k Z N x x k Z ==
+∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ⊆ C 、N M ⊆ D 、M N =∅
5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13
6、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1）
7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）
a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。

b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。

c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。

d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。

8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ）
A 、115a -<<
B 、15a >
C 、1a <-或1
5
a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取1
4,1,(5)2
x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （
A 、有最大值2，最小值1，
B 、有最大值2，无最小值，
C 、有最大值1，无最小值，
D 、无最大值，无最小值。

11、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)
的关系:t y a =,有以下叙述:
① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ;
③ 浮萍从2
4m 蔓延到2
12m 需要经过1.5个月;
t/月
④ 浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤ 若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=.其中正确是 ( ) A. ①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤ 12、函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
1.
12A a <<或1a > . 1B a > 1. 14C a << 1. 08D a << 二、填空题：（每小题5分，共4小题，合计20分） 13、已知函数(3)x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()y f x =的定义域为_________。

14、将11
13
2
2
2.1,2.2,0.3这三个数从小到大排列为__________________。

15、已知{2,1,0,1,2,3}n ∈--，若11
()()25
n n ->-，则______n =。

16、下列几个命题
①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <。

②函数y =是偶函数，但不是奇函数。

③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-。

④ 设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称。

⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1。

其中正确的有___________________。

三、解答题：（17、18，19每题10分，20每题12分，21、22每题14分，合计70分） 17、已知2{2,3},{|0},{2},A B x x ax b A B A B A ==++===，求a b +的值。

18、计算：（1）已知1
1,a a --=求2244
3a a a a
--+--的值。

（2）33
(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+的值。

19、已知函数21()log 1x
f x x
+=-，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。

20、已知函数11
()()142
x x y =-+的定义域为[3,2]-，求函数的单调区间；求函数的值域。

21、定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数。

求：（1）(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)()02
f f x +-≤。

22、已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时有()()
0f a f b a b +>+。

（1） 判断函数()f x 的单调性，并给予证明；
（2） 若2(1)1,()21f f x m bm =≤-+对所有[1,1],[1,1]x b ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

二、填空题： 13、]3,3
1
[ 14、21
21
21
2.21.2
3.0<< 15、－1或2 16、①⑤
三、解答题： 17、解：B={2} ∴方程x 2+ax+b=0有两个相等实根为2 ∴a=－4,b=4 ∴a+b=0 18、解：(1) a+a -2=(a －a -1)2=3 ∴原式=0
(2) 原式=(lg2+lg5)[(lg2)2－lg2lg5+(lg5)2]+3lg2lg5 =(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2 =(lg2+lg5)2 =1
19、解：(1)定义域为(－1,1) (2)f(-x)=1
211log -⎪⎭
⎫
⎝⎛-+x x =-f(x) ∴函数是奇函数
(3) 在x ∈(－1，1)时 y=1－x 是减函数 x y -=12是增函数 112--=x
y 是增函数 x
x
x f -+=11log )(2是增函数
20、解：(1)令t=x )2
1
(，则y=t 2－t+1=(t －21)2+43
当时x ∈[1,2]，t=x )2
1
(是减函数，此时t ]21,41[∈，y=t 2－t+1是减函数
当时x ∈[－3,1]，t=x )2
1
(是减函数，此时t ]8,21[∈，y=t 2－t+1是增函数
∴函数的单调增区间为[1,2]，单调减区间为[－3,1]
(2)∵x ∈[－3,2]，∴t ]8,41[∈ ∴值域为]57,4
3
[
21、解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+ f(1) ∴f(1)=0 令x=y=－1，则f(1)=f(－1)+ f(－1) ∴f(－1)=0 (2)令y=－1，则f(－x)=f(x)+f(－1)=f(x) ∴f(－x)=f(x) (3)据题意可知，函数图象大致如下：
12
1
,2101120,01210
)12()2
1
()2(≤<<
≤∴≤-<<-≤-∴≤-=-+x x x x x f x f f 或或
22、(1)证明：令－1≤x 1<x 2≤1，且a= x 1，b=－x 2 则
0)
()(2
121>--+x x x f x f
∵x 1－ x 2<0，f(x)是奇函数 ∴f(x 1)－f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2) ∵x 1<x 2 ∴f(x)是增函数
(2)解：∵f(x)是增函数，且f(x)≤m 2－2bm+1对所有x ∈[－1,2]恒成立 ∴[f(x)]max ≤m 2－2bm+1 [f(x)]max =f(1)=1
∴m 2－2bm+1≥1即m 2－2bm ≥0在b ∈[－1,1]恒成立 ∴y= －2mb+m 2在b ∈[－1,1]恒大于等于0
∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+⨯-≥+-⨯-0
120
)1(22
2
m m m m ∴⎩⎨⎧≥≤-≤≥2020m m m m 或或 ∴m 的取值范围是)2[}0{]2-(∞+-∞，，。