《函数与方程、不等式之间的联系》教学设计说课稿
《一次函数与方程、不等式》--说课稿1
19.2.3《一次函数与方程、不等式》第一课时说课稿一、教材分析1、说教材地位和作用本课内容是初中数学人教版八年级下册第19章第2.3节第一课时，它是学生在学习一次函数的基础上，从运动变化的角度，用函数的观点来认识已学习的一次函数与方程、不等式的知识，发挥函数的统领作用，构建和发展相互联系的知识体系。
提高灵活分析问题和解决问题的能力。
2、教材的重点与难点教学重点：理解一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。
教学难点：从函数图像的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。
（由于从图像的角度认识方程与不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想，对学生来说有一定困难。
）二、说教学目标知识目标：（1）理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。
会根据一次函数的图像解决一元一次方程、一元一次不等式的问题。
（2）学习用函数的观点看待一元一次方程、一元一次不等式的方法，理解函数的统领作用。
（3）经历方程与函数问题的探讨，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
技能目标：初步培养学生的观察、想象、分析、概括的能力过程与方法目标：培养学生思维的严谨性、灵活性、深刻性，从特殊到一般的认识观。
态度与情感目标：（1）通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系的探索，培养学生的探究精神，体会事物之间的相互联系；（2）通过利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系解决实际问题，进一步感受数学的价值。
增强学生学数学、用数学、探索数学奥妙的愿望。
三、说教学理念培养学生的合作探究精神，自主学习、创新精神是新课程标准的重要理念。
课堂教学中渗透了数学的转化思想，数形结合思想、分类讨论思想。
体现新课程标准的知识与能力、过程与方法、情感与态度的三统一。
四、说学情分析（1）从知识掌握上看，学生刚学习变量与函数，对函数及一次函数的概念理解不一定深刻。
再来学习用函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式，容易造成迷茫，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
方程函数不等式间的关系教案
方程、函数及不等式间的关系教学目标：1、能熟练地求解一元一次方程；2、能熟练地作出一次函数的图象；3、能熟练地求解一元一次不等式；4、理解方程、函数及不等式间的关系5、通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力。
教学重点：方程、函数及不等式间的关系教学难点：方程、函数及不等式间的关系课时安排：一课时（40分钟）教学过程：问：1、方程？（含有未知数的等式）2、一元一次方程？（一个未知数、未知数的最高次数为1）3、怎样解一元一次方程？（去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数划为1）例1：解下列方程：（请学生解）（1）21Ｘ－31=0, （2）1－21X=0， （3）21X －(32X －21)=0， （4）23X+32=32X －１ （指出：如何用集合来表示方程的解）问：1、一次函数？（y=kx+b ，k ≠0）2、怎样画函数的图象?(列表、描点、连线)３、一次函数图象的特点？（一条直线）例２：画出下列函数的图象（草图）（1）Y=21Ｘ－31,（2）Y=1－21X,（3）Y=21X －(32X －21),（4）Y=23X+32－（32X －１） 引导：观察一元一次方程的解与对应的一次函数图象之间的关系：（方程的解恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标）问：１、不等式？（用不等号连接起来的式子）２、一次不等式？（一个未知数、未知数的最高次数为1）３、不等式的基本性质？（性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc,性质４: :如果a>b ， c>d,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. . ）４、怎样解一元一次不等式？（去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数划为1）例３：解下列不等式：（请学生解）（1）21Ｘ－31＜０,（2）1－21X ＞０,（3）21X －(32X －21)＞０,（4）23X+32－（32X －１）＜０ （强调：用集合来表示解集）引导：观察一次函数的图象与对应的一元一次不等式的解集之间的关系：（在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式0ax b +>(0)a >的解集0{|}x x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式0ax b +<(0)a >的解集0{|}x x x <）归纳：一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；（2）不等式0ax b +<(0)a >的解集是函数y ax b =+在x 轴下方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x <．总结：由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0ax b +>与0ax b +<的解集．（在解一次不等式时这种思维的优点体现得还不是很突出，今后我们解二次不等式时用这种思维方式就显得非常必要。
八年级数学下册第19章一次函数 一次函数与一元一次方程不等式说课稿新版新人教版
一次函数与一元一次方程、不等式一、教材分析1、地位和作用本大节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论,是站在更高起点上的动态分析。
通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识,加强知识间的横向和纵向联系,发挥函数的统领作用,构建和发展相互联系的知识体系。
本节课的主要内容是对前两小节内容的复习,但不是简单的回顾复习,而是居高临下的进行动态分析,使新旧知识融会贯通,加大学生对已经学习过的相关内容之间联系的认识,进一步体验函数的重要性,提高灵活分析问题和解决问题的能力。
2、教材的重点与难点：本节的教学重点是巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系；由于从图象的角度认识方程及不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想,这对学生来说有一定困难,所以本节的教学难点为从函数图象的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。
二、目标分析：1、知识技能：充分利用图象巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。
2、数学思考：通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。
3、解决问题：能利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系,解决实际问题。
4、情感态度：（1）、通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探索,培养学生的探究精神,体会事物之间的相互联系；（2）、通过利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系解决实际问题,进一步感受数学的价值。
三、学法分析1、学生自主探索,思考问题,获取知识,掌握方法,真正成为学习的主体。
2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。
合作交流的友好氛围,让学生更有机会体验自己与他人的想法,从而掌握知识,发展技能,获得愉快的心理体验。
四、教法分析本节课以启发激励为主,让学生在习题的逐层升华中乐学、会学、善学。
函数、方程与不等式教学设计
函数、方程与不等式教学设计教学基本信息：课题：函数与方程、不等式学段：初中年级九年级是否属于地方课程或校本课程：无信息学科领域：数学教材：初三复课书名：无信息指导思想与理论依据：本课程基于建构主义研究理论，认为研究是一个积极主动的建构过程。
学生应该根据原有知识背景、个人活动经验自主建构自己对数学知识的理解，突出研究者的主体作用。
数学研究过程是一个富有个性、体现多样化研究需求的过程，同时又是与他人交流和反思后生成对数学的理解的过程。
学生在主动建构知识的过程中不断地修正、调整自己的认识，以达到对事物的理解。
课程标准指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识间的关系。
”“教师应揭示知识的数学实质及体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等”；“数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，体会对某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”。
教学背景分析：1.教学内容：函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位，初中代数内容“方程”、“函数”是核心。
同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系。
中考考试说明对于函数一章的C级要求是“能解决函数与其他知识结合的有关试题”。
函数与方程、不等式的综合题，历年来是中考热点之一，主要采用以函数为主线将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用，渗透数形结合和转化的思想方法。
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系。
例如，代数式2a^2+3a+1，可以看成是函数y=2x+3x+1在x=a时的值；方程ax^2+bx+c=0的根可以看成是函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式…2.教学目标：本节课的复目标不是简单地重复知识，而是整理知识逻辑体系，使各部分知识成为一个有机的整体。
函数方程与不等式教学设计
函数方程与不等式教学设计引言：函数方程与不等式是高中数学中的重要内容，它们在数学的应用中有着广泛的应用。
通过学习函数方程与不等式，可以帮助学生培养和提高他们的逻辑思维能力、解决问题的能力和抽象思维能力。
为了有效地教授函数方程与不等式，本文将提供一个教学设计，以帮助教师更好地组织课堂教学和提高学生的学习兴趣和成绩。
一、教学目标本教学设计的主要目标是使学生能够：1.了解函数方程与不等式的基本概念和定义；2.掌握函数方程与不等式的解法和求解方法；3.掌握函数方程与不等式在实际问题中的应用；4.培养学生的逻辑推理和问题解决能力。
二、教学内容本教学设计主要包括以下内容：1.函数方程的概念和定义；2.一次函数方程与二次函数方程的解法；3.函数方程在实际问题中的应用；4.不等式的概念和定义；5.一元一次不等式与一元二次不等式的解法；6.不等式在实际问题中的应用。
三、教学方法本教学设计采用了多种教学方法，包括讲授法、示范法、实践演练法和讨论交流法。
1.讲授法：通过讲解函数方程与不等式的基本概念、定义和解法，引导学生掌握相关知识点。
2.示范法：通过展示函数方程与不等式的解题过程，让学生了解解题的基本步骤和方法。
3.实践演练法：通过大量的练习题和实际问题的解决，让学生巩固已学的知识，并培养解决问题的能力。
4.讨论交流法：通过小组讨论和整体讨论，促进学生之间的互动与合作，提高学生的解题思维能力和沟通表达能力。
四、教学过程本教学设计将结合具体的教学过程，来说明如何有效地教授函数方程与不等式。
1.引入（5分钟）通过提出一个与函数方程与不等式相关的问题，引起学生的兴趣和思考。
例如：你能想到一个实际问题，可以用函数方程或不等式来表示吗？2.概念讲解（15分钟）介绍函数方程与不等式的基本概念和定义，并通过具体的例子进行解释。
3.解题示范（20分钟）示范一道函数方程或不等式的解题过程，以清晰明了的步骤和方法，帮助学生理解解题思路。
《函数与方程、不等式》教学设计
《函数与方程、不等式》教学设计一、内容分析函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位，函数是初中数学教学的重点和难点之一，方程、不等式与函数综合题，历年来是中考热点之一，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法。
二、教学目标1、理解函数与方程，不等式之间的关系；2、会解决与函数的交点有关的问题。
.3、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况； 三、教学重点 交点问题 四、 教学难点用数形结合的思想理解函数交点与方程（组），不等式的关系。
五、 学情分析教学班为中等层次的班，学生的学习基础比较均衡，学习积极性高，但是拔尖的学生不多。
本节课设想在学生第一轮复习了方程、不等式与函数有关知识的基础上，进一步研究函数与方程、不等式之间的关系并应用它解决与之相关的数学问题。
六、 教学过程设计 知识考点：1、理解函数与方程，不等式之间的关系；2、会求函数的交点.3、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况； 环节一：“形”中读“数”——从图象中体现函数、方程和不等式之间的联系： 【做一做】（这部分的练习为后面从图形中读信息提供铺垫） （1）62-=x y 与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 。
（2）22y x x =--与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 。
（3）观察一次函数b kx y +=的图象并根据图象回答：一次函数kx y =轴的交点坐标为 ，方程0kx b +=•的解为x=_______。
（4）如上题图为一次函数332y x =-+的图象，当0y <时，x 是 。
（5）如图所示是函数1y x =+与210y x =-+的图象，函数y =210y x =-+的交点坐标是： ，方程组1210y x y x =+⎧⎨=-+⎩设计意图：本组题的设计是为了让学生感知函数与方程之间的联系，（3）（4）（5）题设计目的是通过图象，渗透数形结合的思想。
(教案)函数与方程、不等式之间的关系
函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x 的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋1x的零点是（）A．（－1，0）B．x＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0答案：B解析：令1＋1x ＝0解得x ＝－1， 故选B ．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －（x ＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）答案：C解析：令f （x ）＝e x －（x ＋2），则f （－1）＝0．37－1<0，f （0）＝1－2<0，f （1）＝2．72－3<0，f （2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f （1）·f （2）<0，∴方程e x －（x ＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f （x ）＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜3答案：A解析：∵f （x ）＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2．4．不等式1＋x1－x ≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x ＋1）（x －1）≤0，且x －1≠0，∴－1≤x ＜1． 三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f （x ）＝x 3－7x ＋6的零点． 解：令f （x ）＝0，即x 3－7x ＋6＝0， ∴（x 3－x ）－（6x －6）＝0，∴x （x －1）（x ＋1）－6（x －1）＝（x －1）·（x 2＋x －6）＝（x －1）（x －2）（x ＋3）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝2，x 3＝－3，∴函数f （x ）＝x 3－7x ＋6的零点是1，2，－3． 规律方法求函数y ＝f （x ）的零点通常有两种方法：一是令y ＝0，根据解方程f （x ）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f （x ）的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y ＝f （x ）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f （－4）·f （－1），f （0）·f （2）与0的大小关系． 解：（1）由图像可知，函数f （x ）的两个零点分别是－3，1． （2）根据图像可知，f （－4）·f （－1）＜0，f （0）·f （2）＜0． 类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 例2：利用函数求下列不等式的解集： （1）x 2－5x －6＞0；（2）（2－x ）（x ＋3）＜0； （3）4（2x 2－2x ＋1）＞x （4－x ）．解：（1）方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6． 结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）． （2）原不等式可化为（x －2）（x ＋3）＞0． 方程（x －2）（x ＋3）＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3． 结合二次函数y ＝（x －2）（x ＋3）的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）． （3）由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2， 即9x 2－12x ＋4＞0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23． 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞．规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a 的符号化为正； 2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ； 3．求其对应一元二次方程的根； 4．写出解集大于取两边，小于取中间． 跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集： （1）2x 2＋7x ＋3＞0； （2）－x 2＋8x －3＞0； （3）x 2－4x －5＜0； （4）－4x 2＋18x －814＞0．解：（1）对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12． 又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．（2）对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13． 又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下， 所以原不等式的解集为（4－13，4＋13）． （3）原不等式可化为（x －5）（x ＋1）＜0， 所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0， 所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f （x ）＝（x －1）（x －2）（x ＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f （x ）≥0和f （x ）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f （x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－1x零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－1x的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f （a ）f （b ）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f （x 0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断且f （a ）f （b ）＜0． （2）二分法的过程：通过不断地把函数f （x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f （x ）在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a ，b ]的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步． 第三步 若f （a ）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f （b ）＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步． 二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ） A ．f （x ）＝x 3－1 B ．f （x ）＝ln x ＋3 C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2 D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1答案：C解析：因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上不可能有零点B ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上一定有零点C ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则必有f （a ）·f （b ）＜0D ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0 答案：D解析：函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，如果f （a ）·f （b ）＜0，可知函数在（a ，b ）上有一个零点，如果f （a ）·f （b ）＞0，可知函数在[a ，b ]上没有零点，所以函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能没有零点，也可能有零点，所以A 不正确； 函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能有零点，也可能没有零点；所以B 不正确；若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则可能f （a ）·f （b ）＜0，也可能f （a ）·f （b ）＝0所以C 不正确；若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0，正确；故选D ．] 3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（ ） A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是ε D ．重复计算次数与ε无关 答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f （x ）的图像是连续不断的，且f （0）>0，f （1）·f （2）·f （4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1）B．（1．9，2．3）C．（4．1，5）D．（5，6．1）答案：B解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0．1）解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，区间中点的值中点函数近似值（－3，－2）－2．51．25（－2．5，－2）－2．250．0625（－2．25，－2）－2．125－0．4844（－2．25，－2．125）－2．1875－0．2148由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，所以函数的一个近似负零点可取－2．25．规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f（x）在[1，2]内是增函数，所以函数在因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．解：令f（x）＝2x3＋3x－3，经计算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f（0．5）<0，又f（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（）A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点答案：B解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．2．用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1．5）＝0．625，f（1．25）≈－0．984，f（1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．3125）答案：C解析：由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）．故选C．3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）答案：B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当|a n－b n|＜ε时，函数的近似零点a n＋b n2与真正零点的误差不超过A．εB．1 2εC．2εD．1 4ε答案：B解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n－b n|＜ε时，区间[a n，b n]的中点x n＝12（a n＋b n）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε．故选B．。
《一次函数与方程、不等式的关系》教学设计-01
《一次函数与方程、不等式的关系》教学设计一、教材分析及设计思路本节内容着重建立了一次函数与一次方程、一次不等式的联系，并利用一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，这对发展学生“数形结合”的思想和辩证思维能力具有重要的意义。
在本节课教学内容之前，学生已学过一元一次方程和一次不等式的解法以及一次函数的相关知识，但是把它们利用函数图象联系在一起，结合数形结合的思想，来理解它们之间的关系，这对于八年级学生来说，理解起来还是会有点困难，因此，在本节课的教学中，要让学生反复实践，引导学生观察、思考、探究、交流，然后再启发学生归纳得出结论，以发展学生数形结合的思想和方法。
二、教学目标：1、知识与能力：理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识；2、过程与方法：通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力;3、情感态度与价值观：通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，让学生体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。
三、教学重点、难点：教学重点：理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系；教学难点：根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。
四、教学过程设计：（一）回顾延伸，引入课题首先，让我们重新观察一下平面直角坐标系，思考：（1）x 轴上，点的纵坐标有何规律呢？（2）x 轴的上方，点的纵坐标有何规律呢？（3）x 轴的下方，点的纵坐标有何规律呢？（说明：先让学生观察、回答，然后结合图形补充、明确）（1）x（2）x y>0；（3）x y<0。
（二）动手操作 请画出一次函数y=2x+6的图象（说明：让学生独立完成画图，并请学生上讲台展示，给予鼓励）问题：1 2y=0？ ） （四）归纳 x 轴交点坐标为（-3，0）,而-3 x y=0y<0y>0因为，任何一个一元一次方程都可以化简为kx+b=0的形式，所以解一元一次方程kx+b=0，都可转化为求函数y=kx+b中y=0时的x的值。
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课程标准分析 : 通过用函数观点统一理解函数、方程与不等式的联系，逐渐学会利用函 数思想解决相关的数学问题，体会数学内容之间的关联性。利用函数方 法，借助一元二次函数的图象的直观展示，得到求解一元二次不等式的 程序性步骤。
学情分析： 学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，
同时也熟练
二、 知识与技能
概念引入
函数的零点：一般地，如果函数 y f x 在实数 处的值等于零，即 f
0，
则 叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与 x 轴的公共点是 ,0 点。
说明：（1）函数的零点并不是点。
（ 2）函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根，亦即函数 y f x 的图 象与 x 轴交点的横坐标。
展示交流、学习习惯等方面进行评价。
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段： 情境与问题 、知识与技能 、思维与表达 、交流与反思
一、 情境与问题
情境引入、定向导学
在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多
6 米的矩形。
假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为
的掌握求解一元二次方程的方法， 但是对它们以及不等式之间的关系还没有
深刻的理解，在他们的头脑中函数、方程、不等式都是模糊的，通过这节课
的学习能让学生真正的体会数学内容之间的关联性和互化性，
知道可以用函
数解决相关的数学问题， 重点提升学生数学抽象、 直观想象和数学运算素养。
重难点分析： 理解函数、方程、不等式三者关系
通过函数图象被 x 轴分割成几部分的直观， 借助一元二次函数零点区分出方程与 不等式。会由函数零点解出对应的不等式。感受到函数对应的方程与不等式，会用相等
研究不等。理解从特殊到一般的思维过程。使学生获得未来发展所必需的四基，提高四
能。 2、 核心素养达成
让学生体会数学内容之间的关联性，感受函数值的变化过程中经历的不同状态。形成转化
思想和化归思路，体会事物间的普遍联系性，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。
3、 学科和社会价值观视角
通过合作探究，展示，增强学生的交流能力，通过数学直观，让学生更好的感悟事物的本
质。
教学思路
1、 从函数观点看方程。 重点会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根 的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
2、 从函数观点看不等式。 重点经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程， 不等式的解集的端点值可由其对应方程中得出，得到求解一元二次不等式的程
序性步骤。
评价思路 通过从实际情境中抽象出数学概念和运算法则，进而得到解决一元二次不等式的程
序性步骤，对学生数学抽象，直观想象，逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究，
设计意图： 由于情境问题中的函数图象与 x 轴有两个交点， 因此这里我分别设计了图象 与 x 轴有一个交点和没有交点两种情况。 通过直观演示让学生感知， 为学生提供思维方 法与策略的引导。能够了解运算法则，正确进行运算，在运算过程中，能够体会运算法 则的意义和作用， 发展数学运算素养。 通过归纳、类比，经历从特殊到一般的推理， 发 展逻辑推理素养。
学生构造一元二次函数并作出相应的函数的图象。抽象出一元二次函数与 一元二次方程的关系，即当函数值为 0 时，即对应为方程，教师通过方程 的根引出零点的概念；本节课将通过该情境的设计贯穿课堂教学的始终， 由学生的自主观察、交流、探索、归纳，让学生直观的认识到函数与方程、 不等式之间的关联，提升学生的 数学抽象、数学建模和直观想象的核心素 养。通过发现问题并转化为数学问题，知道数学问题在现实生活中价值与 作用。
数学内容分析 : 用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本节课通过梳理 初中数学所学的二次函数与方程的相关内容，理解函数、方程和不等式
之间的关系，即当函数值为零时即对应为方程
f x 0 ，函数值不为零
时即对应为不等式。未知不等关系的问题通过相等关系来化归，体会数 学的转化思路。本节课借助一元二次函数图象，提升直观想象素养，能 正确求解一元二次不等式，来提升数学运算素养。
《函数与方程、不等式之间的联系》教学设计说课稿
各位专家、老师，大家下午好！ 本节课是主题二函数中《函数与方程、不等式之间的联系》的第一课时。下面， 我将从 前期准备 、开发设计 两个阶段对本节课的教学设计进行说明。 首先，在前期准备阶段，我将分别从数学内容、课程标准、学情、重难点、教学 方式这五个方面进行分析。
40 平方米的空地。
（ 1）写出绿化带剩余面积 y(平方米 )与绿化带长 x（米）之间的函数关系式。 并画
出对应函数的图象。
（ 2）当矩形绿化带长为多少时，树苗刚好栽满面积为
40 平方米的空地？
学生完成这两个问题， 发现函数与方程的关系。 教师对学生的学习习惯方面给予评 价。 设计意图 : 这一环节主要是为了激发学生的学习兴趣。能够在实际问题的情境中，让
教学目标
1、理解和构建函数与方程、不等式之Байду номын сангаас的联系，发展数学抽象素养（水平二）
。
2、能够在关联的情境中，借助一元二次函数图像，发展直观想象素养（水平二）
。
3、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，得出求解一元二次不等式的程序性步骤，
发展数学运算素养（水平二） 。
评价目标
1、 “四基”、“四能”
教学方式分析： 本节课主要采用问题教学法，通过合作探究的方式让学生感受函数、方 程、不等式之间的关系。整节课通过围绕“植树”的情境，开发学生的数学建模能力， 引导学生发现方程与不等式间的关联。
接下来对开发设计阶段进行说明：新课改前，我们从知识与技能、过程与方法和情 感态度与价值观；三个方面对教学目标进行分析。 由于新课改的教学目标指向数学的核 心素养，因此本节课我设置了如下教学目标：
本环节由教师给出概念并解析
设计意图： 体现教师的主导作用， 能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念。 知道零
点与方程根的关系，能够理解和构建函数和方程之间的联系，提升
数学抽象素养。
有效训练 求出下列二次函数的零点
y x2 6x 9
y x2 x 1
y ax2 bx c(a 0)
本环节由学生独立完成，然后展示交流。通过展示、归纳、类比得出一般方程的零 点。教师从学生逻辑推理、思维习惯、学习习惯等方面进行评价。