2007年浙江省温州中学自主招生数学试题(A)

2007年浙江省温州中学自主招生数学试题（A ）（本卷满分150分;考试时间：110分钟）一、选择题（每小题6分，共计36分） 1、方程2|68|1xx -+=实根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（ ） A ．95B ．89C ．79D ．753、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列6个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -中，其值为正的式子的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A ．2p q+ B ．22p q p q++ C ．2pq p q+ D ．22p q pqp q ++++5、已知直角三角形有一条直角边的长是质数n ，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（ ） A ．21n +B ．21n-C ．2nn + D ．2n n -6、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ， 使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心，则∠BPC=（ ） A ．145°B ．135°C ．120°D ．105°二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分） 7、设直线(1)10kx ky ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积为k S ，则122008S S S +++= ．8、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围是 ．9、已知11x x -=，则24220071x x x =++ ． 10、如图，电路中有4个电阻和一个电流表A ，若没有电流通过电流表A ，问电阻器断路的可能情况共有 种？11、已知,m n 为正整数，若2006200720072008n m <<，当m 最小时分数nm= ．12、如图所示，在ABC ∆中，已知BD=2DC ，AM=3MD ，过M 作直线交AB,AC 于P,Q 两点．则2AB ACAP AQ+= ．三、解答题（共6题，共78分） 13、（本题满分12分, 共2小题） 已知二次函数2y x qx p =++的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且△ABC 的面积1S ≤． ⑴求24q p -的取值范围；⑵若,p q 分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数pq ．14、（本题满分12分, 共3小题）如图，在半径为6，圆心角为90° 的扇形OAB 的 AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，∆OPH 的重心为G ． ⑴设PH= x ，S △PGH = y ，求y 关于x 的函数解析式.⑵∆PGH 的面积是否有最大值？如果有，求出最大面积，并求出此时PH 的长度；如果没有，请说明理由．⑶如果∆PGH 为等腰三角形，试求出线段PH 的长．15、（本题满分12分，共2小题）2001年某月某日午夜，某校师生收看在莫斯科即将产生的2008年夏季奥林匹克运动会主办城市的电视现场直播，结果北京获得主办权，欣喜之余，他们发现：在场的师生人数恰是该天日数，男生数就是该月月数，且师、生、月、日数皆为质数，男生数多于教师数，男生数多于女生数，女生数多于教师数．经计算，学生数、月数、日数的和与教师数的差恰是2008年奥运会的届数，又知届数也是一个质数．试D OA第14题图问：⑴北京获2008年奥运会主办权是几月几日？ ⑵2008年奥运会是第几届？16、（本题满分12分,共3小题）黑板上有三个正整数a b c 、、（不计顺序）．允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个数，写上剩下的两个数的平方和．如：擦去a ，写上22bc +，这次操作完成后，黑板上的三个数为22b c b c +、、．问：⑴当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，58（不计顺序）．若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由；⑵是否存在三个小于2000的正整数a b c 、、，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2007．若能，写出正整数a b c 、、，并给出操作方法；若不能，请说明理由；⑶是否存在三个小于2000的正整数a b c 、、，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2008．若能，写出正整数a b c 、、，并给出操作方法；若不能，请说明理由；17、（本题满分15分）如图，已知⊙O 2交⊙O 1于A 、B 两点，且过⊙O 1的圆心O 1，AC 是⊙O 1的弦，直线CB 交⊙O 2于点D （异于A 、B ）．求证：DO 1⊥AC ．18、（本题满分15分）已知,,a b c为实数，且222222121,()8a b c a b a b a b c +++=++=，一元二次方程2()(2)()0a b x a c x a b +-+-+=的两根为,αβ．试求3512αββ--+-的值．备 用 题二次函数2(0)y ax a =>的图像上两点A 、B 的横坐标分别为1,2-，O 是坐标原点．如果△AOB是直角三角形，求△AOB 的周长．数学试卷答案一、选择题（每小题6分，共计36分）1．解：方程|x-6x+8|=1可化为两个方程，分别为x2-6x+8=1 (1)x2-6x+8=-1 (2)（1）化简为x2-6x+7=0△=（-6）2-4×7=8＞0即（1）有两个不相等的实数根．（2）化简为x2-6x+9=0△=（-6）2-4×9=0即（2）有两个相等的实数根∴方程|x2-6x+8|=1共有三个不相等的实数根．故选C2．解：设答对x道题，不答y道题，则答错（25-x-y）道题．即分数是4x-（25-x-y）=5x+y-25．若5x+y-25=95，则y=120-5x，又x+y≤25，y≥0．则23.75≤x≤24，即x=24，y=0；若5x+y-25=89，则y=114-5x，又x+y≤25，y≥0则22.25≤x≤22.8，即不可能；若5x+y-25=79，则y=104-5x，又x+y≤25，y≥0，则19.75≤x≤20.8，即x=20，y=4；若5x+y-25=75，则y=100-5x，又x+y≤25，y≥0则18.75≤x≤20，即x=19，y=5或x=20，y=0．故选B．3．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＞0，∵对称轴为x= ＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴ab＜0，当x=1时，y=a+b+c＞0，当x=-1时，y=a-b+c＜0，∵对称轴为x= ＜1，a＜0，∴2a+b＜0，∴a ＜0，b ＞0， ∴2a-b ＜0 ∴有2个正确． 故选A ．4．解：设瓶子的容积，即酒精与水的和是1．则纯酒精之和为：1×+1×=+；水之和为： +∴混合液中的酒精与水的容积之比为：（ + ）÷（ + ）= ．5．解：设另外两个数是x 、y （x ＞y ） 则x 2-y 2=n 2即（x+y ）（x-y ）=n 2， ∵x-y=1，∴x+y=n 2，∴三角形的周长是x+y+n=n 2+n ． 故选C ．6．解：△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°； ∴∠ABC=∠ACB=70°； ∵P 是△ABD 的内心，∴P 点必在等腰△ABC 底边BC 的垂直平分线上， ∴PB=PC ，∠BPC=180°-2∠PBC ； 在△CBD 中，CB=CD ，∴∠CBD=∠D= ∠ACB=35°； ∵P 是△ABD 的内心， ∴PB 平分∠ABD ，∴∠PBD= ∠ABD= （∠ABC+∠CBD ）=52.5°， ∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°； ∴∠B PC=180°-2∠PBC=145°． 故选A ．1．答案：C ，分类讨论去绝对值符号之后再求解之；另外，可以借助图像法； 2．答案：B3．答案：A ，由图像可知a <0，012ba<-<，∴0b >且20a b +<，从而0,20ab a b <-<， 又0c<，∴0ac >，令1x =得0y a b c =++>，令1x =-得0y a b c =-+<；4．答案：D ，由比例性质，21111211p q p q pq p q p q p q+++++=+++++．5．答案：C ：()()222222111,,22n n n c a c a c a c a c a n a c -+=-=-+⇒-=+=⇒== ∴2a c n nn ++=+．6．答案：A ，连结PD ，由内心性质知∠BPD=90° +12∠A ，又∠BCD=90° +12∠A ，从而B 、D 、C 、P 四点共圆易知，∠D=35°，故∠BPC=180°-35° =145°．二、 填空题（每小题6分，共36分）7．解：∵kx+（k+1）y-1=0 ∴当x=0时，y=；当y=0时，x=∴Sk= ××=根据公式可知，S 1+S 2+…+S 2008=[-+-+…+-]= （1-）=．8．解：（1）x≤1时，原式可化为1-x+2-x+10-x+11-x=m ，m ＜20； （2）1＜x≤2时，原式可化为x-1+2-x+10-x+11-x=m ，m ＜18或m≥20； （3）2＜x≤10，原式可化为x-1+x-2+10-x+11-x=m ，m≠18；（4）10＜x≤11时，原式可化为x-1+x-2+x-10+11-x=m ，m ＜18或m≥20； （5）x ＞11时，原式可化为x-1+x-2+x-10+x-11=m ，m≤20； 综上可知：实数m 的取值范围是m ＜18． 9．解：∵x- =1，∴x 2+ -2=1， ∴x 2+=1+2=3，=== ．故应填：．10．解：本题分两种情况：①若主路的电阻不通，那么这个电路必为断路．因此共有2×2×2=8种可能； ②若主路的电阻通电，那么两条支路必须同时为断路，因此共有3种可能． 故电阻器断路的可能情况共有8+3=11种．7．答案：10042009，直线与两坐标轴交点分别为11(,0),(0,)1k k +， ∴111111||(),2121k S k N k k k k +=⋅=-∈++， 故1220081111111004(1)2223200820092009S S S +++=-+-++-= ；8．答案：m<18，由绝对值的几何意义知，函数||||||()y x a x b a b a b =-+-≥-<当且仅当a xb ≤≤时等号成立，∴121011(111)(210)y x x x x x x x x =-+-+-+-=-+-+-+-|111||210|18≥-+-=，当且仅当210x ≤≤时等号成立．故由方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，得18m <．9．答案：12010，242222111112007*********()2009x x x x x x x ===++++-+另解：由210xx --=，得x =代入计算，较烦！ 10．答案：11种，分类讨论：若最右边的电阻断路，则左边并联的三个电阻，无论断路与否，电流表没有电流通过，共8种情况；若最右边的电阻通路，则左边并联电阻将断路，共3种情况． 11．解：由题意，得-＞0，-＞0；即2007n-2006m ＞0，2008n-2007m ＞0；设2007n-2006m=x ，2008n-2007m=y ；（x 、y 是正整数）则有：，解得；当m 最小时，x=y=1；即m=4015，n=4013；此时m 、n 互质，故= ．故答案为．12．由B ，A ，D ，C 分别向PQ 做垂线，设长度分别为x ，3a ，a ，y 由BD=2DC ，可以得到= ，化简得3a=2y+x而原式= +=+=3+ =4．故答案填4．11．答案：40134015，若,,,,,m n a b c d 均为正整数，且a n c b m d <<，求m 最小时的分数nm由题意知nb>m a ，mc>nd ，可设bn am x cm dn y -=⎧⎨-=⎩（,x y 为正整数），解得dx by m bc adcx ayn bc ad +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩∵22007200620081bc ad-=-⨯=，∴2008200720072006m x yn x y =+⎧⎨=+⎩，当1x y ==时，4015,4013m n ==，又,m n 互质，故40134015n m =． 12．解：法1：（特殊值法）考虑到P 、Q 的任意性，取点P 与点B 重合，由梅涅劳斯定理，有1AQ CB DMQC BD MA⋅⋅=， 又31,23CB DM BD MA ==，∴32,2AQ AC QC AQ ==，24AB ACAP AQ+=； 法2：延长QP 交BC 于点N ，利用梅涅劳斯定理可得．三、解答题（共6题，共78分） 13．解：⑴设1212(,0),(,0)()A x B x x x ≠，则12,x x 是方程20x qx p ++=的两个不同的实根．有21212,,40x x q x x p q p +=-=->，又点C 的纵坐标244C p q y -=因此，21214124C p q S x x y -=-=≤ ， 即()322464,44q p q p -≤-≤，故2044q p <-≤．⑵由⑴知，241,2,3,4q p -=．因为2q 被4除余数为0或1，故24q p -被4除余数也为0或1．从而241,4qp -=．这两个方程中符合题意的整数解有2638,,,3546p p p p q q q q ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩．故所求两位数pq 为23，65，34，86．14．解：⑴延长PG 交OH 于点D ，∵PG:GD = 2:1，∴S △PGH =23S △POH =13S △POH由勾股定理得OH∴1116)326y PH OH x =⨯⋅=<<；⑵∵2221(36)(06)36y x x x =-<<，令2t x =，则2211(36)(036)3636y t t t t t =-=-+<<，是关于t 的二次函数，当18t =时，2y 取最小值为9，此时3,y x ==即当PH=，∆PGH有大面积3；⑶延长HG 交OP 于点E ，则HE =12OP = 3，∴HG =23HE = 2，又DH =12，∴==，∴PH =236)x << ∆PGH 为等腰三角形，有三种可能情况：1°GP = PH ，即x =解得x =2°GP = GH 2=解得0x =，不合； 3°PH = GH ，即2x =综上，若PH 为2，∆PGH 为等腰三角形．15．解：设教师数为a ，学生数为b ，月数为c ，日数为d ，女生数为e ，奥运会届数为f ，由题意得(1)(2)(3)(4)a b d c e b b c d a f a e c b+=⎧⎪+=⎪⎨++-=⎪⎪<<<⎩ 在⑴中，由,,a b d 皆为质数，故,a b 中必有偶质数2，又ab <，∴2a =；在⑵中，由,c b 为质数，故,c e 中必有一个是偶数，由c a >得e 为偶数； 又 12c ≤，∴c = 3, 5, 7,11． 当3c=时，由23e <<知无解；当5c =时，由25e <<及“e 为偶数”得4e =，9b =，不合；当7c =时，由27e <<及“e 为偶数”得4e =或6e =．若6e =，则13,15b d ==，不合；若4e=，则11b =，13d =，29f =．当11c=时，由211e <<及“e 为偶数”得{}4,6,8,10e ∈．若4e =，则15b =，不合；若6e =，则17b =，19d =，45f =，不合；若8e =，则19b =，21d =，不合；若10e =，则21b=，不合综上，2,11,7,13ab c d ====，29f =．答：北京获得2008年奥运会主办权是2001年7月13日，2008年奥运会是第29届． 注：该题只给出答案而没有相应过程，不应给分！16．解：⑴不能；当黑板上的三个数为1、2、3时，不论进行哪种操作都不能改变3个数的奇偶性，即三个数必为2个奇数1个偶数，因此不能变为56、57、58。