温州中学自主招生数学试卷及答案

温州中学2006年自主招生考试数学试卷说明:1、 本卷满分150分;考试时间：110分钟.2、 请在答卷纸上答题.3、 考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交.一、选择题（每小题6分，共计36分）1、方程2560x x --=实根的个数为……………………………………………（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线AXY ，若4A X A Y ⋅=，则图中圆环的面积为…………………………………………………………………（ ）A 、16πB 、8πC 、4πD 、2π图 １ 3、已知0m n ⋅<且1101m n n m ->->>++，那么n ，m ，1n ，1n m+的大小关系是（ ） A 、11m n n n m <<+< B 、11m n n m n <+<<C 、11n m n m n +<<<D 、11m n n m n<+<<4、设1,2,3,4p p p p 是不等于零的有理数，1,2,3,4q q q q 是无理数，则下列四个数①2211p q +，②()222p q +，③()333p q q +，④()444p p q +中必为无理数的有…………………………（ ）A 、0个B 、1 个C 、2个D 、3个5、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了５场，乙已经赛了４场，丙已经赛了３场，丁已经赛了２场，戊已经赛了１场，小强已经赛了……………………………………………………………………………………………（ ） A 、１场 B 、２场 C 、３场 D 、４场6、将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同．．数的个数的最小值和最大值分别是…………………………………………………………………………………………………（ ） A 、7，9 B 、6，9 C 、7，10 D 、6，10二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分）7、设()11,A x y ，()22,B x y 为函数21k y x-=图象上的两点，且120x x <<，12y y >，则实数k的取值范围是8、已知abc 是一个三位数，且567bca cab +=，则abc =9、已知12344x x x x -+-+-+-=，则实数x 的取值范围是10、如图2，⊙O 外接于边长为2的正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，则PA PCPB+=图２11、如图3所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为12，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为图３12、如图4所示，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=，3AB =，4BC =，,,D E F 分别是三边,,AB BC CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为图４三、解答题（共5题，共78分）13、（本题满分15分,共2小题）已知四个互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，其中12x x <，34x x <. ① 请列举1x ，2x ，3x ，4x 从小到大排列的所有可能情况.②已知a 为实数，函数24y x x a =-+与x 轴交于()1,0x ，()2,0x 两点，函数24y x ax =+-与x 轴交于()3,0x ，()4,0x 两点.若这四个交点从左到右依次标为A ,B ,C ,D ,且AB BC CD ==，求a 的值.14、（本题满分15分,共2小题）如图5所示，//AD BC ,梯形ABCD 的面积是180， E 是AB 的中点，F 是BC 边上的点,且//AF CD ,AF 分别交,ED BD 于,,G H 设BCm AD=,m 是整数. ① 若2m =，求GHD ∆的面积.② 若GHD ∆的面积为整数，求m 的值.图5 15、（本题满分15分, 共2小题）n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如：① 能否通过若干次操作完成图6-1中的变换？请说明理由.图6-194543522113+2+4=9-34543522113-2-4=-3-200710032006001② 能否通过若干次操作完成图6-2中的变换？ 请说明理由.图6-2③ 能否通过若干次操作完成图6-3中的变换？ 请说明理由.图6-316、（本题满分15分）如图６所示，在ABC ∆中，已知D 是BC 边上的点，O 为ABD ∆的外接圆圆心，ACD ∆的外接圆与AOB ∆的外接圆相交于A ，E 两点.求证：OE EC ⊥.图717、（本题满分18分,共3小题） 已知方程()()3212352350mnm n x x x -+⋅++⋅-=.① 若0n m ==，求方程的根.② 找出一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数. ③ 证明:只有一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数.57943532112006年温州中学自主招生考试数学答卷纸答案一、 选择题（每小题6分，共计36分）二、 填空题（每小题6分，共36分）7、 11x -<< 8、 4329、 23x ≤≤ 10、11、38 12、 245三、解答题（共5题，共78分）13、（本题满分15分,共2小题）已知四个互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，其中12x x <，34x x <. ② 请列举1x ，2x ，3x ，4x 从小到大排列的所有可能情况.②已知a 为实数，函数24y x x a =-+与x 轴交于()1,0x ，()2,0x 两点，函数24y x ax =+-与x 轴交于()3,0x ，()4,0x 两点.若这四个交点从左到右依次标为A ,B ,C ,D ,且AB BC CD ==，求a 的值.解：①1234x x x x <<<，1324x x x x <<<，1342x x x x <<<，3412x x x x <<<，3142x x x x <<<,3124x x x x <<<………………………………………………（6分）②上述6种情况中第3，6种情况不可能出现。

否则，两个函数的对称轴相同，则4a =-，从而13x x =，24x x =，这与题意不符。

……………………………………………（9分）在其他4种情况中，都有2143x x x x -=-…………………………………（12分）04a =-或（舍去），经检验0a =满足题意……………………………………………………………（15分）14、（本题满分15分,共2小题）如图5所示，//AD BC ,梯形ABCD 的面积是180， E 是AB 的中点，F 是BC 边上的点,且//AF CD ,AF 分别交,ED BD 于,,G H 设BCm AD=,m 是整数. ② 若2m =，求GHD ∆的面积② 若GHD ∆的面积为整数，求m 的值.解：① //AF CD ，∴AFCD 四边形为平行四边形，∴12FC AD BC ==，∴F 是BC 的中点，∴H 为BD 中点，又 E 是AB 的中点，故G 为 图5ABD ∆的重心，因此12GH AG =．………………………………………………………（3分）所以有1603ABD ABCD S S ∆==,1302AHD ABD S S ∆∆==,1103GHD AHD S S ∆∆==……………（6分）③ 作//BK AF 交ED 于K ，则KEB GEA ∆≅∆. 1GH GH HD FC AD AG KB BD BC BC m=====………………………………………………………（9分） 118011ABD ABCD S S m m ∆==++()11801AHD ABD S S m m m ∆∆==+ ()2118011GHD AHD S S m m m ∆∆==++…………………………………………………………（12分） 即()21801m m +为整数，所以()21180m +，因为22180235=⨯⨯,所以1m +=2，3或6经验证，1m +=3或6，即m =2或5. ……………………………………………………（15分）15、（本题满分15分, 共2小题）解：①……………………………………………………………………………………………(6分)②不能.()62620620062mod4≡≡≡≡,因此不管如何操作,变换后的4个数仍然除4余2.不可能出现0. ………………………………………………………………………………(12分)③不能．如果３个奇数２个偶数的圈能变出５个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则５个奇数的圈通过有限次操作后能变成３个奇数２个偶数．但不管如何操作，５个奇数的圈变换后仍然是５个奇数．故要求的变换不能实现……………………………………………………(18分) 16、（本题满分15分）证明：如图，在 AB 上取点F ，连接AF ，BF ，AO ，BO ，AD ，AE ，BE 则因为A ，D ，B ，F 共圆，A ，D ，E ，C 共圆，因此12AEC ADC F AOB ∠=∠=∠=∠．…………………………………………(6分) 因为AO BO =，所以 AO BO=，所以12AEO BEO AEB ∠=∠=∠…………(12分) 所以1()22CEO AEC AEO AOB AEB π∠=∠+∠=∠+∠=所以OE EC ⊥．………………………………………………………………………(15分)11112011002100210031100210032006-20071003200617、（本题满分18分,共3小题） 已知方程()()3212352350mnm n x x x -+⋅++⋅-=.④ 若0n m ==，求方程的根.⑤ 找出一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数. ⑥ 证明:只有一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数.解：①若0n m ==，则方程化为323310x x x -+-=，即()310x -=.所以1231x x x ===．…………………………………………………………………（３分）②方程化为()()212350m nx x x --⋅+=……………………………………………（６分）设方程22350m nx x -⋅+=的两个解为12,.x x则1,23m x ==±．当1m n ==时，方程的三个根均为整数.……………………………………………（９分） ③设295m n k -=（其中k 为整数）所以295m nk -=，即()()335m mn kk -+=，不妨设3535m i m jk k ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩（其中i j n +=，i ，j 为非负整数），因此()23551m i j i-⋅=+ 又因为5不能整除23m，所以0i =，因此有2351m n⋅=+．……………………（12分） 若1m =，有1n =；当2m ≥时，951n +．又()55mod9≡，()257mod9≡，()358mod9≡，()454mod9≡，()552mod9≡，()651mod9≡，()755mod9≡因此()3mod6n ≡，设63n r =+（r 为自然数）． 则()216332151511251r r r ++++=+=+又()1251mod126≡-，()21251mod126≡，()31251mod126≡-，所以()211251mod126k +≡-，所以()211261251k ++，又因为126718=⨯，所以()2171251k ++而7不能整除23m，所以()2351m n ⋅≠+ 故要使三根均为整数，则0m n ==，此时121x x ==，35x = ………………（15分）。