2019届北师大版(理科数学) 离散型随机变量及其分布列 单元测试
6.2.2离散型随机变量的分布列(课件)-高二数学(北师大版2019选择性)【02】
实例分析：
对于一个随机试验，仅仅知道试验的可能结果是不够 的，还要能把握每一个结果发生的概率.
抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的
概率是多少？
解：X的取值有1、2、3、4、5、6
1
则
P(X
1)
6
P( X 2) 1
6
P( X 3) 1
6
P( X 4) 1 P( X 5) 1 P( X 6) 1
X
0
1
P
0.7
0.3
抽象概括
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称
为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p,每次“失败”
的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分
布列如表6-5:
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两 点分布(又称0-1分布或伯努利分布).例3中篮球运动员每次罚 球所得的分值服从p=0.7的两点分布.两点分布不仅是最简单 的,也是最重要的概率分布模型,在实际生活中有着广泛的应 用.
显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是 1 .
36
由上表，X的可能取值为2，3，…，12，
使X=2有1种：（1，1），则 P X 2 1
.
36
使X=3有2种：（1，2）、（2，1），则.P X 3 2
36
使X=4有3种：（1，3）、（2，2）、（3，1），则.P X 4 3
36
同可求得随机变量X取其他值的概率,最后可得X的分布列如
1 3
P(2 1) P(
P(2 4) P( 2) P( 2)
2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第11章 第4节
第四节 离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y来表示．随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.2．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)．或把上式列成表称为离散型随机变量X (2)离散型随机变量分布列的性质 ①p i ＞0(i ＝1,2，…)；②p 1＋p 2＋…＝1. 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 提醒： 辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ＞0(i ＝1,2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (4)如果随机变量X 的分布列如下表给出：则它服从两点分布．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．(教材例题改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的基本事件是( )A ．一颗是3点，一颗是1点B ．两颗都是2点C ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点解析：选D 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D ．3．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A ．16B ．13C ．14D ．112答案：C离散型随机变量分布列的性质 [明技法]要充分注意到分布列的两条重要性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n . (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性． [提能力]【典例】 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________；P (x ≤解析：由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤52q －1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝⎛⎭⎫52q －1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎫q －12(q ＋2)＝0， 解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12.由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12＝34. 答案：12 34(2)随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13，此即公差d 的取值范围．答案：23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [刷好题]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A ．316B ．14C ．116D ．516解析：选A P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.2．设随机变量X 的概率分布为则P (|X －3|＝1)＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1得m ＝14，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512.答案：512离散型随机变量分布列的求法 [析考情]与离散型随机变量分布列有关的问题在高考中经常出现，多以解答题形式考查，常与概率知识相结合，难度中档．[提能力]【典例】 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是[悟技法]求离散型随机变量分布列的步骤[刷好题]为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)(2)当产品中微量元素x ，y 满足x ≥175，y ≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列． 解：(1)设乙厂生产的产品为m 件，依题意得1498＝5m ，∴m ＝35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件， ∴估计乙厂生产的优质品为35×25＝14(件)．(3)依题意，ξ可取0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝610，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴ξ的分布列为：超几何分布 [析考情]超几何分布问题是高考重点考查的内容之一，多以解答题形式出现，难度中档． [提能力]【典例】 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为[悟技法]超几何分布的2个特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．[刷好题]1．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列．解：(1)依题意，设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 事件，“选取一等品通过检测或者是选取二等品通过检测”P (A )＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知：X 可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 34C 06C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 04C 36C 310＝16.所以X 的分布列为2．一袋中装有102个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得1个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布为。
高中数学北师大版 2.2 离散型随机变量的分布列 课后练习、课时练习
一、单选题1. 已知随机变量的分布列为，则（）A．B．C．D．2. 设随机变量的分布列如下表，则实数的值为（）X-1 0 1PA．B．C．D．3. 随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则的值为（）A．B．C．D．4. 已知随机变量X的分布列如表所示，则（）X 1 2 3P a2a3aA．B．C．D．5. 已知为正数，随机变量的分布列为则（）A．B．C．D．6. 已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X0 1 2 3 4 5P0.1 0.1 a0.3 0.2 0.1则等于（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7二、多选题7. 下列是离散型随机变量的是（）A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为C．一天内的温度为D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分8. 下列变量中，是离散型随机变量的是（）．A．某机场明年5月1日运送乘客的数量B．某办公室一天中接到电话的次数C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数D．一瓶净含量为的果汁的容量三、填空题9. 设离散型随机变量X的概率分布列为：则P(X≤2)＝________.X 1 0 1 2 3P m10. 设随机变量ξ的概率分布列为，，则____.11. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ．12. 设随机变量X的概率分布列如下表所示：X0 1 2P a若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______四、解答题13. 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.14. 在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得分，取到黑球者得分，一人比另一人多分或取满次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．15. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望．（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？16. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？。
(完整版)离散型随机变量及其分布列测试题
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。
2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练60 离散型随机变量及其分布列 Word版含解析
课时规范练离散型随机变量及其分布列
基础巩固组
.袋中装有除颜色外其他完全相同的个红球、个黑球.每次随机抽取个球,若取得黑球则另换个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为,则表示“放回个红球”事件的是()
≤
.已知随机变量的分布列为(),…,则(<≤)等于()
. .
. .
.(湖北武汉江夏区模拟)若随机变量的分布列如下:
则当(<)时,实数的取值范围是()
≤≤≤
<≤<<
.(河北邯郸模拟)从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛,设随机变量表示所选人中女生的人数,则(≤)等于()
. .
. .
.在个村庄中有个村庄交通不方便,现从中任意选个村庄,用表示这个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是()
() (≤)
() (≤)
.一袋中有个白球、个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现次时停止,设停止时共取了次球,则()等于()
. .
. .
.从名男生和名女生中选人参加演讲比赛,则所选人中女生人数不超过人的概率是.
.甲、乙两人射击,已知甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.
()两人各射击一次,求至少有一人击中目标的概率;
()若制定规则如下:两人轮流射击,每人至多射击次,甲先射,若有人击中目标即停止射击.
①求乙射击次数不超过次的概率;
②记甲、乙两人射击次数和为,求的分布列和数学期望.。
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业43离散型随机变量的分布列【含答案】
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业43离散型随机变量的分布列(原卷版)一、选择题1.设随机变量η的分布列如下表所示，则P(｜η－1｜＝2)＝()η－1134P aA. B.C. D.2.设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n＝()A.3B.4C.9D.103.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则P＝()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.554.设随机变量X等可能地取值为1，2，3，4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y＜10)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.25.随机变量ξ的分布列如下：ξ012P a b c其中2b＝a＋c，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A. B.C. D.6.抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于()A. B.C. D.7.(多选题)下列随机变量不属于离散型随机变量的有()A.某超市5月份每天的销售额B.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξC.长江某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξD.某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度8.(多选题)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有()A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数B.ξ取所有可能值的概率之和是1C.ξ的取值与自然数一一对应D.ξ的取值是实数二、填空题9.随机变量ξ服从两点分布，且P(ξ＝1)＝0.8，η＝3ξ－2，则P(η＝－2)＝0.2.10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于0.3.ξ012P0.4p0.311.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则P(X＜3)＝0.2.三、解答题12.某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增.已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题0.60.80.70.7第2题0.50.70.70.6第3题0.40.50.50.3第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立.(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1，2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列.13.某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试(即共9项测试，随机选取3项)考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其他选项小李均可一次性通过.(1)求小李第一次考试即通过的概率P1；(2)求小李参加考核的次数ξ的分布列.14.一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A. B.C. D.15.设随机变量X的分布列为X1234P m则P(｜X－3｜＝1)＝0.2.16.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.专业中文英语数学体育性别男n1m1女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求m，n的值；(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列.北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业43离散型随机变量的分布列(解析版)一、选择题1.设随机变量η的分布列如下表所示，则P(｜η－1｜＝2)＝(C)η－1134P aA. B.C. D.解析：由随机变量η的分布列，可知＝1，解得a＝.P(｜η－1｜＝2)＝P(η＝－1)＋P(η＝3)＝，故选C.2.设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n＝(D)A.3B.4C.9D.10解析：P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0. 3，故n＝10.3.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则P＝(B)A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55解析：根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，解得x＝2，y＝5.故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.故选B.4.设随机变量X等可能地取值为1，2，3，4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y＜10)的值为(B)A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2解析：Y＜10，即2X－1＜10，解得X＜5.5，即X＝1，2，3，4，5，所以P(Y＜10)＝0.5.故选B.5.随机变量ξ的分布列如下：ξ012P a b c其中2b＝a＋c，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(B)A. B.C. D.解析：由题意知解得b＝.∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P(ξ＝1)＝.故选B.6.抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(A)A. B.C. D.解析：根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).抛掷两颗骰子，试验可能结果所构成的样本空间中共36个样本点，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所以P(X≤4)＝.故选A.7.(多选题)下列随机变量不属于离散型随机变量的有(BCD)A.某超市5月份每天的销售额B.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξC.长江某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξD.某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度解析：选项A，某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量；选项B，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；选项C，不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举；选项D，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.故选BCD.8.(多选题)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有(ABD)A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数B.ξ取所有可能值的概率之和是1C.ξ的取值与自然数一一对应D.ξ的取值是实数解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.故选ABD.二、填空题9.随机变量ξ服从两点分布，且P(ξ＝1)＝0.8，η＝3ξ－2，则P(η＝－2)＝0.2.解析：因为η＝－2时，ξ＝0，所以P(η＝－2)＝P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝0.2.10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于0.3.ξ012P0.4p0.3解析：由离散型随机变量ξ的分布列得0.4＋p＋0.3＝1，解得p＝0. 3.11.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则P(X＜3)＝.解析：依题意可知，一个杯子中球的最多个数X的所有可能取值为1，2，3.当X＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放三球的情形.P(X＝1)＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝.P(X＜3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.三、解答题12.某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增.已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题0.60.80.70.7第2题0.50.70.70.6第3题0.40.50.50.3第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立.(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1，2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列.解：(1)学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3，4题都做对，∴p＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝1×0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝1×0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝1×0.3××0.3×0.7＝0.126，P(X＝140)＝1×0.7××0.3×0.7＝0.294，P(X＝160)＝1×0.3×0.3×0.3＝0.027，P(X＝200)＝1×0.7×0.3×0.3＝0.063.∴X的分布列为X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.06313.某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试(即共9项测试，随机选取3项)考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其他选项小李均可一次性通过.(1)求小李第一次考试即通过的概率P1；(2)求小李参加考核的次数ξ的分布列.解：(1)根据题意小李第一次考试即通过包括①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过.∴P1＝.(2)根据题意小李参加考核的次数ξ可能为1，2，3，4，则P(ξ＝1)＝P1＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝1－，分布列为ξ1234P14.一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(A)A. B.C. D.解析：因为从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，即旧球的个数增加了2个，所以取出的3个球中必有2个新球，即取出的3个球必有1个旧球2个新球，P(X＝4)＝.故选A.15.设随机变量X的分布列为X1234P m则P(｜X－3｜＝1)＝.解析：由＝1，解得m＝，所以P(｜X－3｜＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝.16.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.专业中文英语数学体育性别男n1m1女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求m，n的值；(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列.解：(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，则P(A)＝，解得m＝3.因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(B)＝.(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝.所以ξ的分布列为ξ0123P。
高中数学选修2-3 北师大版 离散型随机变量的分布列 基础检测(含答案)
第二课时 离散型随机变量的分布列一、基础过关1． 若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中的a 的值为( )A.1B.12C.13D.162． 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0B.12C.13D.233． 抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.234． 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，55． 随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6． 抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为( )A.1112B.3136C.536D.1127． 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________. 二、能力提升8． 若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )A ．(1－a )(1－b )B ．1－a (1－b )C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )9． 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220B.2755C.27220D.212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，并求其概率分布列． 11．已知随机变量ξ的分布列为(1)求η1＝12ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列． 三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．答案1．D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.898.C 9.C 10．解 分别用x 1，x 2，x 3表示“小于5”的情况，“等于5”的情况，“大于5”的情况．设ξ是随机变量，其可能取值分别为x 1、x 2、x 3，则P (ξ＝x 1)＝510＝12，P (ξ＝x 2)＝110，P (ξ＝x 3)＝410＝25.故ξ的分布列为11.解 (1)η1＝12ξ的分布列为(2)η2＝ξ212．解 X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的2张卡片， P (X ＝3)＝1C 24＝16；X ＝4表示取出分别标有1,3的2张卡片， P (X ＝4)＝1C 24＝16；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的2张卡片， P (X ＝5)＝2C 24＝13；X ＝6表示取出分别标有2,4的2张卡片， P (X ＝6)＝16；X ＝7表示取出分别标有3,4的2张卡片，。
2019届北师大版(理科数学) 离散型随机变量及其分布列 单元测试
(55) 离散型随机变量及其分布列1.若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916B.34C.1516D.15322.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p 1= ( )-1 2 A .0 B . C . D .13.在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是() A.14 B.13C.12 D.234.[2017·南宁二模] 设随机变量X 的分布列如下表,则P (|X-2|=1)= ( )A .B .C .D .5.设随机变量X 的分布列为则P(|X-3|=1)= .能力提升6.(2018·新乡模拟)设随机变量的概率分布如表所示:F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)= ( )A. B. C. D.7.袋子中装有大小相同的八个小球,其中白球五个,分别编号为1,2,3,4,5;红球三个,分别编号为1,2,3.现从袋子中任取三个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)等于()A.B. C.D.8.随机变量Y的分布列为则“≤Y≤”的概率为( )A. B. C. D.9.数学老师从6道习题中随机抽3道考试,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能解答正确其中的4道题,则他能及格的概率是.10.(13分)(2016·天津高考改编)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率.(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列.难点突破11.(12分)[2017·辽宁重点高中期末]在2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛中,某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项),报名情况如下:(注:半程马拉松21.0975公里,迷你马拉松4.2公里)(1)从10人中选出2人,求选出的2人赛程之差大于10公里的概率;(2)从10人中选出2人,设X为选出的2人赛程之和,求随机变量X的分布列.答案1.C [解析]两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.2.B [解析] 由分布列的性质可知,p 1=1--=.3.B [解析]将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 4.C [解析] 由所有概率和为1,可得m=.P (|X-2|=1)=P (X=1)+P (X=3)=+=.选C .5. [解析] 由+m++=1,解得m=, P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.答案:6.D [解析选D.因为a++=1,所以a=,又x ∈[1,2),所以F(x)=P(X ≤x)=+=.7.D [解析] 有一个3时,P 1==,有两个3时,P 2==,所以P (X=3)=P 1+P 2=+=,故选D . 8.C [解析] 选C.依题意知,+m+=1,则m=.故P =P(Y=2)+P(Y=3)=+=.9. [解析] 设该同学解答正确的题数为X ,则他能及格的概率P=P (X=2)+P (X=3)=+=.10.解:(1)由已知事件A:选出的2人参加义工活动次数之和为4,则P==.(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,P==,P==,P==,则X的分布列为:11.解:(1)选出的2人赛程之差大于10公里的概率P==.(2)P(X=8.4)===,P(X=14.2)===,P(X=20)===,P(X=25.2975)===,P(X=31.0975)===,P(X=42.195)==.随机变量X的分布列为2 5 5。
2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第11章 第6节
第六节 离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差设随机变量X 的可能取值为a 1，a 2，…，a r ，取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…，r )，即X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…，r )．(1)均值称EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r 为随机变量X 的均值或数学期望，均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”．(2)方差设X 是一个离散型随机变量，E (X －EX )2是(X －EX )2的期望，称之为随机变量X 的方差，记为DX .设离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2,3，…，r )，则DX ＝∑ri ＝1 (a i －EX )2p i .方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散.2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2DX .3．两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X 服从两点分布，则EX ＝p ，DX ＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p ). 提醒：求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．( ) (5)在正态密度曲线中，当μ一定时，σ越大，图象越瘦高；σ越小，图象越低矮．( ) (6)正态密度曲线与x 轴围成的面积为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ 2．(教材习题改编)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( A ．32B ．2C ．52D ．3答案：A3．已知X 的分布列为则DX 的值为________． 答案：594．设随机变量X ～B (8，p )，且DX ＝1.28，则概率p 的值是( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8D ．0.16解析：选C 由DX ＝8p (1－p )＝1.28， ∴p ＝0.2或p ＝0.8.离散型随机变量的均值与方差 [析考情]离散型随机变量的期望与方差是近几年高考的主要的概率题型，一般是计算量较大，特别是分布列一定不能出错．[提能力]【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．[悟技法]求离散型随机变量的均值和方差的两个步骤(1)定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；(2)定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．[刷好题]1．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为因为X ～B (3,0.6)×(1－0.6)＝0.72. 2．(2018·黄山质检)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，得分低于0分时记为0分(即最低为0分)，至少得15分才能入选．(1)求乙得分的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．解：(1)设乙的得分为ξ，则ξ的所有可能取值为：0,15,30.P (ξ＝0)＝C 05C 35C 310＋C 15C 25C 310＝12，P (ξ＝15)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝30)＝C 35C 05C 310＝112.ξ的分布列为Eξ＝0×12＋15×512＋30×112＝354.(2)设“甲入选”为事件A ，“乙入选”为事件B ，则P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫25＋C 33⎝⎛⎭⎫353＝81125， P (A －)＝1－81125＝44125，由(1)知，P (B )＝P (ξ＝15)＋P (ξ＝30)＝512＋112＝12，P (B －)＝1－12＝12.所求概率为P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)·P (B －) ＝1－44125×12＝103125.均值与方差的应用 [析考情]利用离散型随机变量的均值与方差，对现实生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合，以解答题的形式出现．[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X 的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为(2)由(1)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.[悟技法]利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．[刷好题](2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0, 1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望Eξ＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．二项分布的均值与方差 [明技法]与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，则用公式Eξ＝np ，Dξ＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aEξ＋b 以及Eξ＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b )．[提能力]【典例】 (2018·山西四校联考)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)设事件A 1表示甲选第22题，A 2表示甲选第23题，A 3表示甲选第24题， B 1表示乙选第22题，B 2表示乙选第23题，B 3表示乙选第24题，则甲、乙两人选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，所以P (A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝3×19＝13.(2)设ξ可能的取值为0,1,2,3,4,5. ∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ＝C k5·25－k35，k ＝0,1,2,3,4,5. ∴ξ的分布列为∴Eξ＝np ＝5×13＝53.[刷好题]某校设计了一个实验科学的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少准确完成其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．解：(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，∴考生甲正确完成题数的分布列为Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.又η～B ⎝⎛⎭⎫3，23， P (η＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k，k ＝0,1,2,3. ∴考生乙正确完成题数的分布列为∴Eη＝np ＝3×23＝2.(2)∵Dξ＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，Dη＝np (1－p )＝3×23×13＝23，∴Dξ＜Dη.∵P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，∴P (ξ≥2)＞P (η≥2)．从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.2.1-2.2离散型随机变量及其分布列(带答案)
§2离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练知识点一随机变量的概念1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( )A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)白炽灯的寿命X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.知识点二随机变量表示的结果和取值3.写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.4．[多选题]如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数B．ξ取所有可能值的概率之和是1C．ξ的取值与自然数一一对应D．ξ的取值是实数知识点三离散型随机变量的分布列5.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列．6．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．注：若三个数a ，b ，c 满足a≤b≤c，则称b 为这三个数的中位数．知识点四 离散型随机变量分布列的性质7.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q ＝( )A .1B ．1±22 8．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝i2a(i ＝1，2，3)，则P(X ≥2)＝( )A ．16B ．56C ．13D ．239．已知离散型随机变量X 的分布列P(X ＝k)＝k15，k ＝1，2，3，4，5，令Y ＝2X －2，则P(Y ＞0)＝________．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列随机变量是离散型随机变量的是( )A ．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数B ．一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数C ．某林场树木最高达30 m ，则此林场中树木的高度D ．某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差2．某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是( )A ．第10次击中目标B ．第10次未击中目标C ．前9次均未击中目标D ．第9次击中目标3．已知随机变量X 的概率分布为P(X ＝n)＝an （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12 ＜X ＜52 )＝( )A ．12B ．23C ．13D ．56 4．设随机变量X 的分布列为则P(|X －3|＝1)A ．712 B ．512 C ．14 D ．16 5．[易错题]若离散型随机变量X 的分布列为则常数c 的值为( A ．23 或13 B ．23 C ．13 D ．1 二、填空题6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的成功次数，则P(ξ`＝0)＝________．7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck （1＋k ），k ＝1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)＝________．8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则P(X<2)＝________． 三、解答题 9．[探究题]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23 ，34 ，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．学科素养升级练1.[多选题]下列说法正确的是( )A ．某网站中某歌曲一天内被点击的次数X 是离散型随机变量B ．一天内的温度X 是离散型随机变量C ．若随机变量X 服从两点分布，且P(X ＝1)＝0.2，Y ＝3X －2，则P(Y ＝－2)＝0.8D ．若离散型随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝m k ＋1 (k ＝0，1，2，3)，则m ＝12252．[学科素养——逻辑推理]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．§2 离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练1．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量． 答案：A2．解析：(1)白炽灯的寿命X 的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．3．解析：(1)X 的可能取值为1，2，3，…，10，X ＝k (k ＝1，2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝k 表示取出k 个红球，4－k 个白球，其中k ＝0，1，2，3，4.4．解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确； ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确．故选ABD. 答案：ABD5．解析：由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3， 且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X 的分布列为6.解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 4 ＋C 33 C 39 ＝584 . (2)X 的所有可能取值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24 C 15 ＋C 34 C 39 ＝1742， P (X ＝2)＝C 13 C 14 C 12 ＋C 23 C 16 ＋C 33 C 39 ＝4384 ， P (X ＝3)＝C 22 C 17 C 39 ＝112 ，故X 的分布列为7.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤0.5，q 2≤0.5， 解得q ＝1－22 .故选C.答案：C8．解析：由概率和为1可知，12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝26 ＋36 ＝56.故选B.答案：B9．解析：由已知得Y 的取值为0，2，4，6，8，且P (Y ＝0)＝115 ，P (Y ＝2)＝215 ，P (Y＝4)＝315 ，P (Y ＝6)＝415 ，P (Y ＝8)＝515.则P (Y ＞0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415 .答案：1415关键能力综合练1．解析：A 项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B 项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C 项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．答案：AB2．解析：射击次数ξ＝10，说明前9次均未击中目标，故选C. 答案：C3．解析：根据分布列的性质，得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a (11×2＋12×3 ＋13×4 ＋14×5 )＝1，解得a ＝54 .由12 ＜X ＜52 ，知X ＝1，2，所以P (12 ＜X ＜52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54 ×11×2 ＋54 ×12×3 ＝56. 答案：D4．解析：由13 ＋m ＋14 ＋16 ＝1，得m ＝14 .由|X －3|＝1，得X ＝2或X ＝4，所以P (|X－3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14 ＋16 ＝512.答案：B5．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1， ∴c ＝13 .答案：C6．解析：由题意知该分布为两点分布，又P (ξ＝1)＝2P (ξ＝0)且P (ξ＝1)＋P (ξ＝0)＝1，∴P (ξ＝0)＝13 .答案：137．解析：根据分布列中所有概率的和为1，得c 1×2 ＋c 2×3 ＋c 3×4 ＝1，解得c ＝43，即P (ξ＝k )＝43 ·1k （1＋k ） ，所以P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝43 ×(12×3 ＋13×4 )＝13. 答案：138．解析：P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 15 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＋C 23 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＝200216 ＝2527 .答案：25279．解析：(1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (A ̅̅̅ A ̅̅̅ A ̅̅̅̅̅)＝1－(1－23 )×(1－34 )×(1－35 )＝1－13 ×14 ×25 ＝2930 .(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，∴P (ξ＝0)＝13 ×14 ×25 ＝130 ；P (ξ＝1)＝23 ×14 ×25 ＋13 ×34 ×25 ＋13 ×14 ×35 ＝1360 ；P (ξ＝2)＝23 ×34 ×25 ＋23 ×14 ×35 ＋13 ×34 ×35 ＝920 ；P (ξ＝3)＝23 ×34 ×35 ＝310. ∴ξ的分布列为学科素养升级练1．解析：A 中X 满足离散型随机变量的四个特征，而B 中一天内的温度X 变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故A 正确，B 错误；因为Y ＝3X －2，所以X ＝13 (Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝0.8，故C正确；因为离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝mk ＋1(k ＝0，1，2，3)，所以m0＋1＋m1＋1＋m2＋1＋m3＋1＝1，解得m ＝1225，故D 正确．故选ACD.答案：ACD 2．解析：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1”为事件M ，则P (M )＝C 48 C 510 ＝518. (2)由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56 C 510 ＝142 ，P (X ＝1)＝C 46 C 14 C 510 ＝521 ，P (X ＝2)＝C 36 C 24 C 510 ＝1021 ，P (X ＝3)＝C 26 C 34 C 510 ＝521 ，P (X ＝4)＝C 16 C 44 C 510 ＝142 .因此X 的分布列为。
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一、选择题
1．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中为假命题的是( ) A ．X 取一个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1
C ．X 取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和
D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2．设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13
D.23
3．(2017·合肥质检)随机变量X 的分布列规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，
则P ⎝⎛⎭⎫12<X <5
2的值为( ) A.23 B.34 C.45
D.56
4．(2017·北京西城区模拟)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，
用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 6
8
C 1015
的是( )
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
5．设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<7
10等于( ) A.3
5
B.45
C.25
D.15
6．下列表达式中是离散型随机变量X 的分布列的是( ) A ．P (X ＝i )＝0.1，i ＝0,1,2,3,4 B ．P (X ＝i )＝i 2＋5
50，i ＝1,2,3,4,5
C ．P (X ＝i )＝i
10，i ＝1,2,3,4,5
D ．P (X ＝i )＝0.2，i ＝1,2,3,4,5
7．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k
，k ＝1,2,3，则m 的值为( ) A.1718 B.2738 C.1719
D.2719
8．随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56
二、填空题
9．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X 的分布列为P (X ＝k )＝________________.
10．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤7)＝________.(用分数表示结果)
11．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取的值有________个．
12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X 的分布列为________．
答案精析
1．D [X 取一个可能值的概率范围为[0,1]；X 取所有可能值的概率之和为1；由概率加法得X 取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和；X 在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D 错，故选D.] 2．C [因为某项试验成功率是失败率的2倍，所以失败率为1
3，
因此P (ξ＝0)＝1
3
.]
3．D [由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，得45a ＝1，∴a ＝5
4.
故P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝5
6
.] 4．C [此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，
C 47C 6
8表示选出的
10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P (X ＝4)＝C 47C 6
8
C 1015
.]
5．C [由已知，随机变量ξ的分布列为
由分布列的性质可得a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， ∴a ＝115
，∴P ⎝⎛⎫110<ξ<710＝115＋215＋315＝25.] 6．D [由离散型随机变量的分布列的性质可知，分布列的概率和为1，故选D.] 7．B [因为m ⎝⎛⎭⎫23＋49＋827＝1，所以m ＝27
38
，故选B.] 8．B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，
解得b ＝1
3
.
∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝1
3
.]
9.⎝⎛⎭⎫310k －1710，k ＝1,2,3，…
解析 由于每次取出的产品仍放回，每次取时完全相同， 所以X 的可能取值是1,2，…，k ，…， 相应的取值概率为 P (X ＝1)＝710
，
P (X ＝2)＝310×710＝21
100，
P (X ＝3)＝310×310×710＝63
1 000，
…，
P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫310k －17
10. 10.1335
解析 由题意可知，若得分不大于7，则四个球都是红球或三个红球一个黑球，若四个球都
是红球，P ＝1C 47＝135，此时得分为4分，若四个球有三个红球一个黑球，P ＝C 34C 1
3
C 47＝1235
，此时
得分为6分，故P (ξ≤7)＝13
35.
11．17
解析 2支竹签上的数字是1～10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2～10，相应X 可取得3～11，同理，一个为2，另一个可取3～10，相应X 可取得5～12，以此类推，可得X 可取得3～19间的所有整数，共17个． 12.
解析 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，
P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k 6
C 3
10
(k ＝0,1,2,3)， 所以随机变量X 的分布列是。