2018年高考数学一轮复习专题3.2利用导数研究函数的极值与最值讲

专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝e x－2x的单调递增区间是______________．【解析】 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )>0，解得x >ln 2，则函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．2．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－12x 的极小值是________，极大值是________． 【解析】 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，3．[教材改编] 一条长为2a 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．【解析】设两段铁丝的长分别为x ，2a －x .则两个正方形的面积之和为S ＝x 216＋（2a －x ）216＝x 28－ax 4＋a 24，则S ′(x )＝x 4－a4，令S ′(x )＝0得x ＝a .当x <a 时，S ′(x )<0；当x >a 时，S ′(x )>0.所以S 在x ＝a 处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a . 题组二 常错题4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为______________．【解析】 y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝（x －1）（x ＋1）x(x >0)．令y ′＜0，得0<x ＜1，∴单调递减区间为(0，1)．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是____________． 【解析】 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x<－1.6．已知f (x )＝x e x，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．题组三 常考题7． 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】 f ′(x )＝k －1x，由已知得f ′(x )≥0在(2，＋∞)上恒成立，故k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x max.因为x >2，所以0<1x <12，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.8．函数f (x )＝x －ln x 在(2，＋∞)上的单调性是__________________．【解析】 f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )>0，得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，所以函数f (x )在(2，＋∞)上是增函数．【知识清单】考点1 运用导数求函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．考点2 运用导数求函数的极值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 考点3 运用导数求函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【考点深度剖析】【重点难点突破】考点1 运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的 切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．【答案】(1) k ＝1. (2) 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．【1-1】 【1-2】已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________. 【答案】3【思想方法】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．【温馨提醒】在函数f (x )的定义域内研究函数单调性． 考点2 运用导数求函数的极值【2-1】 已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【答案】(1) a ＝e. (2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．【解析】(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．【2-2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝__________.【答案】18【思想方法】求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况．【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．考点3 运用导数求函数的最值【3-1】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【答案】(1) 单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2) (1－k)e. 【解析】(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.【3-2】设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e，＋∞)．【思想方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质【易错试题常警惕】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号． 如：已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求a ，b 的值．【分析】()236f x x ax b '=++，由题意得()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即2630310a b a a b -++=⎧⎨+--=⎩，解之得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥恒成立，所以()f x 在1x =-处无极值，舍去．所以2a =，9b =．【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误．。