2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算

课时作业(一) 第1讲 集合及其运算时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·课标全国卷 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋b 3，a ，b ∈Z }，x 1，x 2∈A ，则下列结论不正确的是( ) A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1－x 2∈A C ．x 1x 2∈A D ．当x 2≠0时，x 1x 2∈A3．2011·嘉和一中模拟 已知集合A ＝{y |y ＝lg x ，x >1}，B ＝{x |0<|x |≤2，x ∈Z }，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．A ∪B ＝{x |x <0}C ．A ∪B ＝{x |x ≥0}D ．A ∩B ＝{1,2}4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1()，其中为凸集的是( )图K1－1A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④ 能力提升5．2011·合肥模拟 已知集合M ＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M ，N 都是全集I 的子集，则图K1－2中阴影部分表示的集合为( )A ．{－1，－2，－3}B ．{0,1,2,3}C ．{2,3}D ．{0，－1，－2，－3}6．2011·江西卷 若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )7．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m <4 D ．2<m ≤48．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1且n <5B ．m <－1且n <5C ．m >－1且n >5D ．m <－1且n >59．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝1－4＋5x －x2，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)10．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．11．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝a ，b ，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．12．2011·洛阳模拟 已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为________．13．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．14．(10分)2012·安徽名校联考 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}． (1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B . (1)求证：函数f (x )的图像关于原点成中心对称；(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册 课时作业(一)【基础热身】1．B 解析 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}， 所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．D 解析 由于x 1，x 2∈A ，故设x 1＝a 1＋b 13，x 2＝a 2＋b 23，a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，则x 1±x 2＝(a 1±a 2)＋(b 1±b 2)3，由于a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，故a 1±a 2，b 1±b 2∈Z ，所以x 1＋x 2∈A ，x 1－x 2∈A ；x 1x 2＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3，由于a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，故a 1a 2＋3b 1b 2，a 1b 2＋a 2b 1∈Z ，所以x 1x 2∈A ；由于x 1x 2＝a 1＋b 13a 2＋b 23＝a 1a 2－3b 1b 2a 22－3b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22－3b 223，但这里a 1a 2－3b 1b 2a 22－3b 22，a 2b 1－a 1b 2a 22－3b 22都不一定是整数，如设x 1＝1＋3，x 2＝3－3，则x 1x 2＝1＋33－3＝(1＋3)(3＋3)(3＋3)(3－3)＝6＋439－3＝1＋233∉A ，故当x 2≠0时，x 1x 2不一定是集合A 中的元素．3．D 解析 A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}． 4．B 解析 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内． 【能力提升】5．C 解析 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可． 6．D 解析 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D. 方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.7．D 解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2＜m ≤4.8．A 解析 ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A. 9．B 解析 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.10．4 解析 a 只可能等于4.11．(－∞，－2 解析 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值范围．由题意，集合A ＝2,4，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2．12．5 解析 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5.13.112 解析 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是34＋13－1＝112.14．解答 A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－a －6≤0，f (3)＝32＋3a －6≤0，解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是－5，－1．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ， 由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ， 由(1)知若A ⊆B ，则a ∈－5，－1，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集，于是⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝(－3)2－3a －6≥0，f (5)＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－195，1， 综合a ∈－5，－1知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－195，－1满足条件． 15．解答 (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1－1>0， 由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝⎛⎭⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－xx ＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．即函数f (x )的图像关于原点成中心对称．(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝－1－a,1－a ． 若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1，或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2，故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥2} {a |a ≤－2或a ≥2}， 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件． 【难点突破】16．解答 (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A . ②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅， 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件． ②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。