文数模拟卷十三

1（文数） 2（文数）文数模拟卷十三（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里． 1．设集合{|M x y =，{|||2}N x x =<．则（ ）A ．M N φ=B ．M N M =C ．M N M =D ．M N =R2．已知实数a ，b 满足0a b <<．则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．2211ab a b <D ．11a b a<- 3．函数2()(s i n c o s )1f x x x =--的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 4．为了得到函数23l o g 2x y +=的图象，只需把函数2l o g y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度[来源:]D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．函数2y x=的图象在点(1,2)处的切线方程是 （ ）A ．2y x =B ．2y x =-C ．24y x =--D ．24y x =-+6．某单位购买了10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名职工每人从中抽1张，至少有1人抽到甲票的概率是（ ）A ．1112B ．12C ．310D ．1127．4(1)(1x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．78．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()2x f x =，那么1(0)f -的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-9．抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（2，0）D ．（0，2）10．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若αβ 、αγ ，则βγ② 若αβ⊥，m α ，则m β⊥ ③ 若m α⊥、m β ，则αβ⊥ ④ 若m n ，n α⊂，则m α其中真命题的序号是 （ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③11．已知焦点在x 轴上、中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为4椭圆的方程是（ ）A ．2214x y +=B ．2214y x += C ．22143x y += D ．22134x y +=12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个三棱柱的体积是（ ） A．9B．4C．2D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题纸相应题目的横线上．13．已知(1,2)a =，(2,)b x = ，且a b ⊥ ，则x 的值为 ．学校 姓名 座位号 准考证号密……………………………………………………封………………………………………………… 线3（文数） 4（文数）14．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >24y x = 的准线重合，则此双曲线的渐近线方程为 ．15．函数32()53f x x x x =++在区间[]4,0-上的最大值是 ． 16．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离是球直径的14，且3AB =，AC BC ⊥，则球面的面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤． 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ∠、B ∠、C ∠所对的边．已知24s i n c o s s i n 22BB B =+ （Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若4a =，△ABC的面积为b 的值．18．（本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱111A B C A B C -中，13A A =，2A B =，D 是11A B 的中点，E 在线段1C C 上且12C E =． （I ）证明：D C⊥面A B E ；（II ）求二面角D AE B --的大小．B OA 1 A OC 1B 1C OE O DO第18题图…………………………封………………………………………………… 线5（文数） 6（文数）19．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，且公比0q >． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21222log log ....log n n T a a a =++，求n T 的最大值及相应的n 值．20．(本小题满分12分）（文科做前两问；理科全做．）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换． （I ）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；（II ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；（III ）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．姓 座位 准考证号……………………封………………………………………………… 线7（文数） 8（文数）21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =，右准线方程为2x =．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M 、N两点，且22F M F N += l 的方程．22．（本小题满分12分）已知32()3f x x ax bx =--（其中a ，b 为实数）． （I ）若()f x 在1x =处取得极值为2，求a 、b 的值；（II ）若()f x 在区间[1,2]-上为减函数且9b a =，求a 的取值范围．………封………………………………………………… 线9（文数） 10（文数）参考答案：文数模拟卷十三1-5BCBCD 6-10ADCAD 10-12DAB 13. -114.y =15. 916. 12π17．解：（I）由已知24s i n c o s s i n 22BB B =+s i n B =3B π=或23B π=． （II）由1s i n 2a c B =5c = 由余弦定理得21625245c o s 4140c o sb B B =+-⨯⨯⨯=- 当3B π=时，b ==23B π=时，b ==18．解：（I ）证明：已知111A B C A B C -是正三棱柱，取AC 中点O 、11AC 中点F ，连OF 、OB ，则OB 、OC 、OF 两两垂直，以OB 、OC 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．如图所示．∵2A B =，13A A =，12C E =∴(0,1,0)A -,0,0)B (0,1,1)E (0,1,0)C1,,3)2D -∴3(,,3)2D C =-,1,0)A B = (0,2,1)A E = ∴0D C A B ⋅= 0D C A E ⋅=于是，有DC AB ⊥、DC AE ⊥． 又因AB 与AE 相交，故DC ⊥面ABE ．（II ）解：由（1）知，DC 是面ABE的一个法向量，1,32AD ⎫=⎪⎪⎝⎭设13022n AD x y z =++= ①20n AE y z =+= ②取2z=，联立式①②解得1,x y ==-则1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为二面角D AE B --是锐二面角，记其大小为θ，则第18题答案图座位号 准考证…封………………………………………………… 线11（文数） 12（文数）cos cos 68DC nDC n DC nθ=〈〉===所以，二面角D AE B --的大小a r c c o s θ=）．19．解：(Ⅰ) 由6821123264a q a ===，因为0q >，所以12q =．而21326412a a q ===，所以 通项公式为：1171164()2()2n n n n a a q n N ---*==⋅=∈ (Ⅱ)设2l o g n n b a =，则72l o g 27n n b n -==-．所以，{}n b 是首项为6，公差为1-的等差数列．22(1)1131131696(1)()222228n n n T n n n n -=+-=-+=--+因为n 是自然数，所以，6n =或7n =时，n T 最大，其最值是6721T T ==．20．解：（文科可以参考给分）（I ）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为1P ，则310.80.152P ==． （II ）对该盏灯来说，第1、2次都更换了灯棍的概率为2(10.8)-；第一次未更换灯棍而第二次需要更换灯棍的概率为0.8(10.3)-，故所求概率为：2(10.8)0.8(10.3)0.6P =-+-= （III ）ξ的可能取值为0，1，2，3； 某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为0.6p =．030333(0)(1)0.40.064P C p p C ξ==-==1121233(1)(1)0.60.40.288P C p p C ξ==-=⨯⨯=22122133(2)(1)0.60.40.432P C p p C ξ==-=⨯⨯=33033033(3)(1)0.60.40.216P C p p C ξ==-=⨯⨯=∴ξ的分布列为：此分布为二项分布ξ—B （3，0.6）．∴30.6 1.8E n p ξ==⨯=21. 解：（Ⅰ）有条件有22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11a c b ==∴==所以，所求椭圆的方程为2212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知()11,0F -、()21,0F 若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x=-将1x =-代入椭圆方程得：y =(M -、(1,N -，∴22((2,(4,0)F M F N +=-+-=- ∴224F M F N += ，与题设矛盾．所以，直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线的方程为(1)y k x =+．设11(,)M x y 、22(,)N x y ，联立方程组2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：2222(12)4220k x k x k +++-=由根与系数的关系知2122412k x x k -+=+，从而121222(2)12ky y k x x k +=++=+．…… 线13（文数） 14（文数）()()()2112222212121,,1,2F M x y F N x y F M F N x x y y =-=-∴+=+-+()()()42222222121222424169182221212441k k k k FM F N x x y y k k k k ++⎛⎫+⎛⎫∴+=+-++=+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()224241691441k k k k ++∴=+⎝⎭化简得：424023170k k --= 解得：22171140k k k ==-∴=±或 所以，所求直线l 的方程为1y x =+或者1y x =--． 22．解：（I ）由题意可知'2()36f x x a x b =--，所以，'(1)0f =，(1)2f =．即360132a b a b --=⎧⎨--=⎩ 解得：43a =，5b =-此时，3()45f x x x =-+．经检验，在1x =处有极小值，故43a =，5b =-符合题意． （II ）若()f x 在区间[1,2]-上为减函数，则'()0f x ≤对[1,2]x ∈-恒成立．即23690x ax a --≤对[1,2]x ∈-恒成立．∴(1)0(2)0f f '-≤⎧⎨'≤⎩即3690121290a a a a +-≤⎧⎨--≤⎩解得：1a ≥．∴a 的取值范围是1a ≥．。